Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
С 1 1 1 2 2 2 1 2 A B C D A B C D = = = Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 57 5.2.2. Неполные уравнения плоскостей Если в общем уравнении плоскости отсутствуют какие-то слагаемые, то оно называется неполным. Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени 0 Ax By Cz D + + + = D = 0: Ax + By + Cz = 0 - плоскость, проходящая через начало координат. Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно ко- ординатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нор- мального вектора плоскости равны нулю: А = 0: By + Cz + D = 0 - n ║YOZ → P ║ OX; B = 0: Ax + Cz + D = 0 - n ║XOZ → P ║ OY; C = 0: Ax + By + D = 0 - n ║XOY → P ║ OZ. Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно ко- ординатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ: A = 0, B = 0: Cz + D = 0 - n ║OZ → P ║ XOY; A = 0, C = 0: By + D = 0 - n ║OY → P ║ XOZ; B = 0, C = 0: Ax + D = 0 - n ║OX → P ║ YOZ. Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ: A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0 - плоскость XOY; A = 0, C = 0, D = 0: By = 0 - плоскость XOZ; B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0 - плоскость YOZ. 5.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках» Пусть плоскость не проходит через начало координат. Преобразуем общее уравнение плос- кости: Ax By Cz D + + = − , 1 By Cz Ax D D D + + = − − − , 1 z D x y D D A B C + + = − − − Лекция 5 58 Уравнение 1 x y z a b c + + = называется уравнением плоскости «в отрезках». Параметры , , D D a b c D A B C − − = = = − представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до зна- ка) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях. Пусть, например, точка лежит на оси Оx и плоскости Р, т.е. Тогда 0 0 0 y z = = 0 1 x a = , откуда 0 x a = Пример: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость 2x – 4y + 6z –12 = 0? Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»: 2 4 6 1 1 12 12 12 6 3 2 x y z x y z − + = ⇒ + + = − Отрезки, отсекаемые на осях, равны 6 a = , 3 b = − , c 2 = Отрицательный знак перед показывает, что плоскость пересекает от- рицательную полуось b Oy 5.2.4. Нормальное уравнение плоскости Пусть Р – основание перпендикуляра, опущен- ного из начала координат на плоскость, а ( ) , , M x y z – произвольная точка плоскости (OM { , , } x y z = ), длина вектора OP p = , – единичный вектор нор- мали к плоскости, 0 n 0 1 n = , n {cos ,cos ,cos } o α β γ = Проекция радиус-вектора любой точки плоско- сти на направление, задаваемое вектором 0 n – вели- чина постоянная, равная p: пр 0 n OM p = , пр 0 0 cos cos cos n OM OM n x y z α β γ = ⋅ = + + Уравнение cos cos cos x y z p α β γ + + = задает нормальное уравнение плос- кости в виде cos cos cos 0 x y z p α β γ + + − = , где cos ,cos ,cos α β γ - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат (длина нормали, опущенной на плоскость из начала координат). Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 59 Приведение уравнения плоскости к нормальному виду (нормализация) Приведем общее уравнение плоскости 0 Ax By Cz D + + + = к нормаль- ному виду: cos cos cos 0 x y z p α β γ + + − = . Так как эти уравнения определя- ют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: cos ,cos ,cos , A B C p D α µ β µ γ µ µ = = = − = Из условия , которому удовлетворяют направляю- щие косинусы вектора, следует, что 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + = 1 2 2 2 2 ( ) A B C µ + + = . Введем так называемый нормирующий множитель 2 2 2 1 , A B C µ = ± + + знак которого определяется из условия 0 D µ < , т.е. должен быть противопо- ложен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Умножением на нормирующий множитель µ общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: 0. Ax By Cz D µ µ µ µ + + + = ! 1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет уз- нать ее расположение относительно системы координат. 2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произволь- ного вектора нормали в уравнении плоскости единичным вектором нормали { , , } n A B C = {cos ,cos ,cos } | | o n n n α β γ = = 5.2.5. Расстояние от точки до плоскости Отклонением δ точки 1 1 1 1 ( , , ) M x y z от плоскости называется число, рав- ное длине перпендикуляра, опущенного из точки О 1 M на плоскость, взятое со знаком «-», если точка 1 M и начало координат находятся по одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны. Пусть дана точка 1 1 1 1 ( , , ) M x y z . Спроектируем точку 1 M на нормаль к плоскости n Отклонение PQ OQ OP δ = = − пр 1 , , OP p n OM = OQ = δ = n OM − OM x y z пр 1 , p пр n 1 1 1 1 cos cos cos α β γ = + + cos , 1 1 1 cos cos x y z p δ α β γ = + + − Лекция 5 60 Таким образом, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить ко- ординаты точки. Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки 1 1 1 1 ( , , ) M x y z от плоскости 0 Ax By Cz D + + + = вычисляется по формуле 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D A B C δ + + + = ± + + Расстояние от точки 1 1 1 1 ( , , ) M x y z до плоскости: 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D d A B C δ + + + = = + + Пример: Найти расстояние от точки ( ) 4,3,1 M до плоскости 3 4 1 2 14 x y z − + + = 0 2 2 2 1 1 ; 13 3 4 12 µ − = = + + − 1 (3 4 12 14) 0, 13 x y z − − + + = 1 (3 4 4 3 12 1 14) 2 2. 13 d δ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ + = − → = 5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Пусть даны три точки 1 1 1 1 ( , , ), M x y z ( ) 2 2 2 2 , , M x y z , 3 3 3 3 ( , , ). M x y z M( x,y,z ) 1 } - текущая точка плоскости. Рассмотрим три вектора: 1 1 1 { , , M M x x y y z z = − − − , 1 2 2 1 2 1 2 1 { } M M x x , y y ,z z = − − − , 1 3 3 1 3 1 3 1 { } M M x x , y y ,z z = − − − Точка ( , , ) M x y z лежит в плоскости 1 2 3 M M M в том и только в том случае, ес- ли эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов 1 M M , 1 2 M M и 1 3 M M определяет плоскость, проходящую через три данные точки: Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 61 1 1 2 1 3 0 M M M M M M ⋅ ⋅ = . 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 0 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − − − − . = 2 5.2.7. Угол между двумя плоскостями Пусть плоскости и заданы уравнениями: 1 P 2 P 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными век- торами 1 1 1 1 2 2 2 { , , }, { , , } n A B C n A B C = = ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , cos | || | n n A A B B C C n n A B C A B C ϕ + + = = + + ⋅ + + Пример: Найти угол между плоскостями 0 , 0 6 2 = = − − − y z y x Нормальные векторы плоскостей } 2 , 1 , 1 { 1 − − = n , } 0 , 1 , 0 { 2 = n 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 2 0 1 cos 60 2 1 1 2 0 1 0 ϕ ϕ ⋅ − ⋅ − ⋅ = = − + + ⋅ + + → = ° 5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей Плоскости и параллельны, если их нормальные векторы и 1 P 2 P 1 1 1 { , , } n A B C = 1 2 2 2 2 { , , } n A B C = коллинеарны, то есть их координаты про- порциональны: 1 1 2 2 1 2 A B C A B C = = Плоскости и перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, 1 P 2 P 1 2 ( ) n n ⋅ = 0, следовательно, 1 2 1 2 1 2 0 A A B B C C + + = Лекция 5 62 5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой Рассмотрим некоторую прямую в простран- стве. Пусть L 0 M – фиксированная точка ( L ( ) 0 0 0 0 , , M x y z L ∈ ). M – произвольная точка ( L ( ) , , M x y z L ∈ ), { } , , a l m n = – направляющий век- тор прямой (любой вектор, лежащий на прямой ли- бо параллельный ей). Точка M принадлежит пря- мой L тогда и только тогда, когда 0 M M a и эти векторы пропорциональны: 0 M M t a = ⋅ . Так как 0 0 M M M M r r = − , где 0 , M M r r - радиус–векторы точек M и 0 M , то для произвольной точки на прямой имеем: 0 M M r r t a = + ⋅ – векторное уравнение прямой. 5.3.2. Параметрические уравнения прямой В координатном виде векторное уравнение прямой распадается на три: 0 0 0 , , x x l t y y m t z z n t = + ⋅ ⎧ ⎪ = + ⋅ ⎨ ⎪ = + ⋅ ⎩ - параметрические уравнения прямой. 5.3.3. Канонические уравнения прямой Исключая параметр t, получим 0 0 0 x x y y z z l m n − − − = = - канонические уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку ( ) 0 0 0 0 , , M x y z и имеющей направляющий вектор { , , }. a l m n = 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Пусть даны две точки 1 1 1 1 ( , , ) M x y z и 2 2 2 2 ( , , ) M x y z В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор 1 2 2 1 2 1 2 1 { , , } M M x x y y z z = − − − , и уравнение прямой примет вид: 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 63 5.3.5. Общие уравнения прямой Рассмотрим две плоскости: 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = ⎧ ⎨ + + + = ⎩ Если 1 1 2 2 1 2 A B C A B C = = , то плоскости параллельны. В противном случае плоско- сти пересекаются и соответствующие уравнения определяют прямую линию пересечения плоскостей. 5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую Пусть прямая L задана линией пересечения двух плоскостей: 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = ⎧ ⎨ + + + = ⎩ Возьмем любые отличные от нуля числа и β α и составим равенство 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( A x B y C z D A x B y C z D ) 0 α β + + + + + + + = Это равенство определяет плоскость, которая проходит через прямую L. Со- вокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, назы- вается пучком плоскостей. Если положить β λ α = , то уравнение 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) A x B y C z D A x B y C z D 0 λ + + + + + + + = определяет все плоскости пучка, кроме второй из задающих прямую. 5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть заданы направляющие векторы прямых ϕ 2 L 1 L 1 1 1 : { , L a l = 2 2 2 : { L a l 1 1 , } m n , 2 2 , , } m n = Угол между прямыми принимается равным углу между направляющими векторами: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 l l m m n n l m n l m n + + + + ⋅ + + cos ϕ = Лекция 5 64 Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы и парал- лельны, т.е. 1 a 2 a 1 1 2 2 l m n l m n = = 1 2 m m n n + + = Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпенди- кулярны, то есть, l l 1 2 1 2 1 2 0 5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости Пусть даны уравнения прямой и плоскости : L P 0 0 : , 0 x x y y z z L l m n − − − = = : 0. P Ax By Cz D + + + = Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновре- менно удовлетворять этим уравнениям. Перейдем к параметрическим уравне- ниям прямой: L P 0 0 0 , , x x lt y y mt z z nt = + = + = + Подставляя их в уравнение плоскости , получим значение параметра t, рав- ное P 0 0 0 , Ax By Cz D t Al Bm Cn + + + = − + + подстановка которого в параметрические урав- нения прямой даст координаты точки пересечения прямой и плоскости. |