Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
фокусами гиперболы) посто- янна и равна ( 2 ,0 F c − ) 2a ( ) a c < О Каноническое уравнение ги- перболы может быть получено непо- средственно из определения гипербо- лы. По определению 1 2 2 F M F M a − = и 1 2 2 , F F = c где а<с. Воспользуемся формулой рас- стояния между двумя точками: 2 2 1 1 ( ) F M x c y r = − + = , 2 2 2 2 ( ) F M x c y r = + + = По определению 1 2 2 r r a − = ± Подставим в это равенство найденные r 1 и r 2 : 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x c y x c y + + − − + = ± a . Проделаем очевидные преобразования: 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) , x c y a x c y + + = ± + − + 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 , x c y a x c y a x c y + + = + − + ± − + 2 2 ( ) cx a a x c y − = ± − + 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) c a x a y a c a − − = − Лекция 6 74 Так как c>a, то положим c -a =b , тогда b x -a y =a b или 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2 2 1 a b − = Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гипер А и В - вершины гиперболы; точки F болы; точки фокусное р стоян 1 (+ C,O) и F 2 (- C,O) - фокусы гиперболы; 2с - ас ие, которое вычисляется по формуле 2 2 c b a = + ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; 2 b c a = − 2 ; c e a = - гиперболы, который вычисляется по эксцентриситет формуле: 2 2 1 b e a = + , e 1 > Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Уравнения директрис гиперболы имеют вид: a x = ± . e Отметим, что a a e < , так как 1 e > Асимптоты гиперб ые, к которым ветви гиперболы неограни- С учёто олы - это прям ченно приближаются при удалении в бесконечность. м того, что tg b k a α = ± = ± , уравнения асимптот гиперболы принима- ют вид b y x a ⎛ ⎞ = ± окальный параметр гиперболы ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 b p a = Ф 6.3.4 . Парабола Параболой называется геометрическое место точек ( ) , M x y , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (называемо О й фо- кусом параболы) и от данной прямой (на- зываемой директрисой параболы). Аналитическая геометрия на плоскости 75 Каноническое уравнение параболы может быть получено непосредст- венно из определения параболы. По определению FM MK = 2 p MK x = + , 2 ( ) 2 p FM x y 2 = − + . Таким об- разом, получено равенство 2 2 ( ) 2 2 p p x y x − + = + или 2 2 ( ) ( 2 2 p p 2 ) x y x − + = + , откуда y 2 = 2 px. Полученное уравнение называется каноническим уравнени- ем параболы. Элементами параболы являются: точка О - вершина параболы; OX - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус параболы; 2 p x = − - уравнение директри- сы параболы; - эксцентриситет параболы; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей че- рез фокус перпендикулярно оси OX). 1 e = 6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос Перенесём начало координат из точки О в точку О 1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xOy точка М имеет координаты x и y. Система координат x ′O 1 y ′ получена из системы ко- ординат xOy параллельным переносом осей, при ко- тором начало координат О 1 имеет координаты x 0 и y 0 в системе координат xOy. Точка М в системе коор- динат x ′O 1 y ′ имеет координаты x′ и y′. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x ′,y′) в старой и новой системах координат задается форму- лами: 0 0 , , x x x y y y ′ = + ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ (1) 0 0 , x x x y y y ′ = − ⎧ ⎨ ′ = − ⎩ (2) Лекция 6 76 Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии нахо- дятся в точке с координатами O 1 ( x 0 , y 0 ), получаются с помощью преобразова- ния координат при параллельном переносе осей (2). 2 2 0 0 ( ) ( ) 2 x x y y − + − = R - уравнение окружности с центром в точке O 1 ( x 0 , y 0 ) и радиусом R. Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка: 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) 1 x x y y a b − − ± = 0 ) - уравнения эллипса и гипер- болы с центром симметрии в точке O 1 ( x 0 , y 0 ); 2 0 ( ) 2 ( y y p x x − = − - уравнение параболы с вер- шиной в точке O 1 ( x 0 , y 0 ). При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: 0 a x x e − = ± , а параболы: 0 2 p x x − = − . Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: 0 0 ( ) b y y x x a − = ± − 6.4.2. Поворот координатных осей Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей. Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x ′Oy′ равны x′ и y′. Найдём её координаты в системе координат xOy. В тре- угольнике CMD α = ∠CMD , OD = x ′, MD = y′. Следовательно, x = OA = OB – AB = OB - CD, y = MA = AC + CM = DB + CM. Поскольку cos , sin , cos , sin , OB x CD y CM y DB x α α α α ′ ′ = = ′ ′ = = то cos sin , sin cos . x x y y x y α α α α ′ ′ = − ⎧ ⎨ ′ ′ = + ⎩ (3) Эти формулы выражают старые координаты ( x,y) произвольной точки М че- рез новые координаты ( x ′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α Формулы, выражающие новые координаты ( x ′,y′) точки М через её старые координаты ( x,y), получим из следующих соображений: если новая система Аналитическая геометрия на плоскости 77 получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворо- том новой на угол (- α ), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (- α ). Выполнив это преобразование, получим cos sin , sin cos . x x y y x y α α α α ′ = + ⎧ ⎨ ′ = − + ⎩ При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид: cos sin ; cos sin 2 a x y e p x y α α α α ′ ′ − = ± ′ ′ − = − 6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x 0 по оси OX и на y 0 по оси OY и, кроме того, поворачиваются на угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразова- ния координат, выражающие старые координаты через новые: 0 0 , cos sin sin cos , x x y x y x y y α α α α ′ ′ = − + ⎧ ⎨ ′ ′ = + + ⎩ (4) и новые координаты через старые: 0 0 0 0 ( ) ( ) cos sin ( )sin ( )cos x x y x y y x x y y , α α α α ′ = − + − ⎧ ⎨ ′ = − − + − ⎩ (5) 6.4.4*. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Пусть кривая второго порядка задана в общем виде: 0 2 2 2 2 2 = + + + + + F Ey Dx Cy Bxy Ax Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть дос- тигнуто переносом начала координат в центр кривой (x 0 ,y 0 ) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями. Алгебраиче- ски это приводит к исчезновению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формул (1) и (3). Лекция 6 78 Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + 0 , 0 0 0 0 0 E Cy Bx D By Ax (6) Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса начала координат в центр (x 0 ,y 0 ) уравнение кривой примет вид 0 2 1 2 2 = + ′ + ′ ′ + ′ F y C y x B x A , (7) где F Ey Dx F + + = 0 0 1 Чтобы получить каноническое уравнение кривой 0 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 = + ′′ + ′′ F y C x A , подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол α После преобразования получим: cos sin , sin cos , x x y y x y α α α α ′ ′′ ′′ = − ′ ′′ ′′ = + где - новые координаты. y x ′′ ′′, Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка: 2 2 ( cos sin ) 2 ( cos sin ) ( sin cos ) ( sin cos ) . A x y B x y x y C x y α α α α α α α ′′ ′′ ′′ ′′ − + − ′′ ′′ ′′ ′′ ⋅ + + + α ⋅ ) . Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение , коэффи- циент перед которым равен y x ′′ ⋅ ′′ 2 2 1 2 cos sin 2 sin cos 2 sin cos 2 cos2 sin2 B B( A C B ( C A ) α α α α α α α = − + − + + = + − α Найдём угол поворота из условия В 1 =0: 2 cos 2 ( ) sin 2 B A C α α = − Если А = С, то cos 2 0 α = и в качестве угла поворота можно выбрать 4 π α = ; если , то выбираем C A ≠ 1 2 2 B arctg A C α = − 6.5*. Линии в полярной системе координат 6.5.1*. Полярные координаты на плоскости Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ. Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора ρ = OM этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом ∞ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤ ϕ ρ 0 , 0 Аналитическая геометрия на плоскости 79 6.5.2*. Связь полярных координат с декартовыми Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось OX с полярной осью ρ Найдём связь координат точки M(x,y) и M( ρ , ϕ). Она выра- жается следующей системой уравнений: , 2 2 x y tg y x = + = ϕ ρ , sin , cos y x ⎩ ⎨ ⎧ = = ϕ ρ ϕ ρ } Если известны координаты точек A(x 1 ,y 1 ) и B(x 2 ,y 2 ), то проекции отрезка { } { ϕ ρ ϕ ρ sin , cos , 1 2 1 2 = − − = y y x x AB , а полярный угол отрезка по координатам его начала и конца находится по формулам: ) ( ) ( , , s , cos 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y x x x x y y tg y y in x x − + − = − − = − = − = ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ 6.5.3*. Уравнения линий в полярной системе координат Построим линию , cos ϕ ρ a = а = const>0. Координата ρ принимает только положительные значения. При 0 cos 1, a ϕ ϕ ρ = = = получаем точку А(а,0). Рассмотрим точку М( ρ , ϕ ). Из уравнения линии - a ρ ϕ = cos , значит угол ОМА - прямой. С возрастанием угла ϕ от 0 до π/2 косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, ρ убывает от а до 0 в точке О(0, π/2) и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при измене- нии ϕ от 3π/2 до 2π. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cosϕ, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию ρ от 0 до а и геометрическому замы- канию окружности. Итак, уравнение ϕ ρ cos a = задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Такой же результат получается, если в уравнении линии ϕ ρ cos a = перейти к декар- товым координатам. Тогда 2 2 2 2 x x y a x y + = + , 2 2 0, x y ax + − = 2 2 2 ( ) 2 4 a x y − + = a - каноническое уравнение окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения 1 p e cos ρ ϕ = − , если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); р - фокальный параметр, е - эксцентриситет кривой. Лекция 6 80 6.6*. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: - x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плос- кости. Методом исключения параметра уравнение линии приводится к уравнению в де- картовых координатах, и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрически. 6.6.1*. Окружность Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выбе- рем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью OX. Из треугольника ОМА: ⎩ ⎨ ⎧ = = , sin , cos t R y t R x - параметрические уравнения окружности. Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их: . Таким образом, получено урав- нение окружности в декартовых координатах. 2 2 2 2 2 2 ) sin (cos R t t R y x = + = + |