Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
О 7.5.5. Гиперболический параболоид О Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением 2 2 2 2 x y pz a b − = , 0. p > Сечение плоскостью дает скрещивающиеся прямые 0 z = b y a = ± x , сечения - гиперболы. z h = При действительная ось гиперболы параллельна оси , мнимая ось параллельна оси , при 0 h > Ox Oy 0 h < оси меняются местами. Сечения плоско- стями x const = и - параболы. y const = Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид явля- ется линейчатой поверхностью и имеет два семейства прямолинейных обра- зующих – прямых, полностью лежащих внутри поверхности. Уравнения об- разующих получаются аналогично случаю однополостного гиперболоида и имеют вид: , , x y v upz a b x y u v a b ⎧ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ − = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ , , x y v upz a b x y u v a b ⎧ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ т.е. через каждую точку поверхности проходит две прямолинейных обра- зующих. Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка 89 Это свойство гиперболического параболоида также используется в строительных конструкциях: из прямолинейных металлических элементов создается каркас кровли в форме гиперболического параболоида. Такая по- верхность, благодаря своей кривизне, обладает собственной жесткостью, то- гда как жесткость кровли традиционной формы - в виде совокупности пло- ских участков – обеспечивается поддерживающими конструкциями (стропи- лами) и требует дополнительного расхода материалов. 7.5.6. Конус Эллиптическим конусом называется поверхность с каноническим уравнением 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = . Сечения плоскостями - эллипсы, размеры кото- рых возрастают по мере удаления от начала координат; сечения плоскостями, проходящими через ось , - скрещивающиеся прямые. z const = Oz О Цилиндры В выбранной системе координат образующие цилиндров параллельны оси и уравнения не содержат координаты z. Это свойство сохраняется и для уравнения общего вида (5): если уравнение не содержит какой-либо пе- ременной, то определяемая им поверхность – цилиндр, образующие которого параллельны соответствующей оси. Oz 7.5.7. Эллиптический цилиндр Эллиптический цилиндр задается каноническим уравнением: 2 2 2 2 1 x y a b + = . Осью цилиндра является координатная ось , попереч- ные сечения – эллипсы. Плоскости и являются плоскостями зеркальной симметрии поверхности. Oz Oxz Oyz О Лекция 7 90 7.5.8. Гиперболический цилиндр Гиперболический цилиндр задается каноническим уравнением: 2 2 2 2 1 x y a b − = . Осью цилиндра является координатная ось , попереч- ные сечения – гиперболы. Плоскости и являют- ся плоскостями зеркальной симметрии поверхности. Oz Oxz Oyz 7.5.9. Параболический цилиндр Параболический цилиндр задается каноническим уравнением: 2 2 , 0 y px p = > Плоскость является плоскостью зеркальной симмет- рии поверхности. Oxz О О В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: различные виды поверхностей, их свойства; канонические уравнения поверхностей второго порядка, уметь исследовать их методом сечений. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекции 8 - 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В лекциях 8 – 9 излагаются необходимые элементы теории множеств, рассматрива- ются наиболее часто встречающиеся числовые множества и их свойства. Вводится поня- тие числовой последовательности и ее предела, рассмотрены специальные виды последо- вательностей (бесконечно малые, бесконечно большие, монотонные) и их свойства. 8.1. Элементы теории множеств и математической логики 8.2. Числовые множества 8.3. Числовые промежутки 8.4. Ограниченные множества 8.5. Числовые последовательности 8.6. Свойства ограниченных последовательностей 9.1. Предел числовой последовательности 9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей 9.4. Свойства сходящихся последовательностей 9.5. Монотонные последовательности 9.6. Число е как предел монотонной последовательности 9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы 8.1. Элементы теории множеств и математической логики В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые понятия и операции теории множеств и математической логики. Понятие множества относится к основным понятиям математики и в си- лу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие. Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества. О Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами. Например, учащиеся школы № N образуют множество, каждый ученик (уче- Лекции 8 – 9 92 ница) – элемент этого множества. Это же множество можно организовать иначе: множество учащихся школы № N состоит из классов школы № N, а класс школы № N состоит из учеников (учениц) данного класса. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, эле- менты множеств – малыми латинскими буквами. Множества могут быть заданы: простым перечислением элементов (элементы заключаются в фигурные скобки): { } 1, 2, 3 A = ; указанием общего признака всех элементов: { } : 1 2 X x x = < < В первом примере множество состоит из 3 чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 2 x < < . О Множество, не содержащее элементов, называется пустым. О Если все элементы множества являются также элементами множества B A , то называется подмножеством множества B A . Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так назы- ваемые несобственные подмножества). О Множества A и равны, если одновременно B A - подмножество и - подмножество B B A . Равные множества состоят из одних и тех же элемен- тов. Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений от- носительно множеств и операций над множествами: ∅ пустое множество; a A ∈ « принадлежит множеству a A » (« содержится в множестве a A », «множество A содержит », «множество a A включает элемент »); a a A ∉ «элемент а не принадлежит множеству A »; A B ⊃ « - подмножество множества B A » (« A содержит », « со- держится в B B A », « A включает », « включается в B B A »); A B ⊂ « A - подмножество множества »; B A B = « A равно B», «А совпадает с В»; A B ∪ объединение (сумма) множеств А и В; вобъединение входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств; A B ∩ пересечение (произведение) множеств А и В; в пересечение входят элементы, каждый из которых принадлежит и множе- ству А, и множеству B. Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 93 Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических опера- ций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)): α β ⇒ импликация, логическое следствие; читается «из высказыва- ния α следует высказывание β », «высказывание β является следствием высказывания α »; α β ⇔ эквивалентность, равносильность; читается «высказывание α равносильно высказыванию β », « α эквивалентно β », « α и β равносильны»; означает, что α β ⇒ и β α , т.е. выска- зывани ⇒ я α и β либо оба верны, либо оба неверны; α отрицание высказывания α ; ∨ дизъюнкция, логическое «или»; α β ∨ означает « α или β »; ∧ конъюнкция, логическое «и»; α β ∧ означает « α и β »; ∃ квантор существования, A α ∃ ∈ – читается «существует эле- мент , принадлежащий множеству a A »; ∀ квантор всеобщности, A α ∀ ∈ – читается «для каждого эле- мента α , принадлежащего множеству A ». : читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место». Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: 1 2 1 n j n j a a a a = = + + + ∑ … , 1 2 1 n j n j a a a a = = ⋅ ⋅ ⋅ ∏ … Покажем на нескольких примерах применение символической записи: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) x A B x A x B ∈ ⇔ ∈ ∨ ∈ ∪ - определение объединения; 2) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B = ⇔ ⊃ ∧ ⊂ - определение равенства множеств; 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : A B x B x B x A ⊃ ⇔ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ - определение подмножества. 8.2. Числовые множества О Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются { } {1,2,3,..., ,...} n n = = О Числа { } 0, 1, 1, 2, 2, ... , , ... , n n = − − ± ∈ , образуют множество це- лых чисел. Лекции 8 – 9 94 Числа вида : , m q m n n ⎧ = = ∈ ∈ ⎨ ⎩ ⎭ ⎫ ⎬ образуют множество рациональ- ных чисел. О О Если m < n , то рациональная дробь называется правильной, если m ≥ n – неправильной. Рациональные дроби представляются в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаме- натель. ! Пример: 1 0,333... 0,(3) 3 = = , 2 0, 4 0,3999... 0,3(9) 5 = = = , 7 0,0707... 0,(07) 99 = = О Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дро- бью, составляют множество иррациональных чисел I . Например, 2 1,41... = , 3,14159265359... π = , e 2,71828 18284 59045... = . О Рациональные и иррациональные числа составляют множество действи- тельных чисел I = ∪ ! Между множеством действительных чисел и множеством точек число- вой прямой существует взаимно-однозначное соответствие. 8.3. Числовые промежутки Примеры числовых множеств: Множество элементов x: { } x Элемент множества: { } x x ∈ Отрезок (сегмент): { } [ ] , x a b = : , a x b ≤ ≤ где { } { } , a x b x ∈ ∈ Интервал: { } ( ) , : x a b a x b = < < Полуинтервал (полусегмент): ( ] [ ) { } , : , { } , : , x a b a x b x a b a x b ⎧ = < ≤ ⎨ = ≤ < ⎩ Луч: [ ) ( ) ( ] ( ) { } , : { } , : x a x a x b x b ⎧ = ∞ ≥ ⎨ = −∞ ≤ ⎩ Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 95 Окрестность точки c - это произвольный интервал (a,b), содержащий точку с. Эпсилон – окрестность точки с. { : } x x c ε − < или c x c ε ε − < < + . b c 8.4. Ограниченные множества Множество { } x называется ограниченным сверху, если существует та- кое число М, что { } : x x x M ∀ ∈ ≤ , где М называется верхней гранью мно- жества { } x (ВГ { } x ). О Пример: { } 1, 2,3, 4,5 − , 1 2 3 5, 6, 10,... M M M = = = Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних гра- ней. Т О Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гра- нью { } x Sup x = (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ { } x ). Пример: { } 1, 2,3, 4,5 − , 5 x = . Множество { } x называется ограниченным снизу, если существует та- кое число m, что { } : x x x m ≥ ∀ ∈ , где m – нижняя грань О { } x (НГ { } x ). Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних гра- ней. Т Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью { } x Inf x = (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { } x ). О Множество { } x называется ограниченным, если существует число М > 0такое, что { } : x x ∀ ∈ x M ≤ . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху. О Множество { } x называется неограниченным, если для любого сколь О угодно большого числа М > 0найдется элемент { } x x ∈ , удовлетворяю- щий неравенству: x M ≥ Лекции 8 – 9 96 Пример: Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество. Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу. ! { } x О Число М называется наибольшим элементом множества , { } max M x = , если 1) { } M x ∈ ; 2) { } : x x x M ∀ ∈ ≤ . О { } x Число m называется наименьшим элементом множества , , если 1) { } min m = x { } m x ∈ ; 2) { } : x x x m ∀ ∈ ≥ { Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наи- меньший) элемент, а может и не иметь его: ! } [ ] ; x a b = , { } max x b = , { } min x a = ; { } ( ) ; x a b = , { } ma , { } min x не существуют. x x 8.5. Числовые последовательности Если каждому натуральному числу n по определенному закону постав- лено в соответствие некоторое число n x , то множество нумерованных чисел называется чи- словой последовательностью. Элементы этого множества называются ами или элементами последовательности. { } { } 1 2 3 , , ,.... ,... n x x x x x = n , , x x x член 1 2 3 ,.... О Числовая последовательность может быть задана: ! 1) перечислением элементов; 2) заданием общего члена последовательности как функции номера ( ) n x f n = ; 3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае за- дается несколько первых членов последовательности и закон, по кото- рому вычисляются последующие члены: ( ) 1 1 , n n x f x x const + = = - одно- членная рекуррентная формула, ( ) 2 1 , , n n n x f x x + + = 1 1 2 , 2 x c x c = = - дву- членная рекуррентная формула, и т.д. |