Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
аппроксимация). 10.2. Основные характеристики функции Функция ( ) f x с симметричной относительно нуля областью определе- ния X называется четной, если для любого x X ∈ выполняется равен- ство ( ) ( ) f x f x = − . О Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции 2 y x = , y x = являются чет- ными, их графики имеют вид: y y 2 x y = x y = y 0 –x 0 0 x 0 x 0 x Функция ( ) f x с областью определения X называется нечетной, если для любого x X ∈ выполняется равенство ( ) ( ) f x f x − = − О График нечетной функции симметричен относительно начала коорди- нат. Например, функции и 3 y x = 2 y x = являются нечетными, их графики имеют вид: Лекции 10 – 11 112 y y 3 x y = y 0 x y 2 = –x 0 0 x 0 x 0 x –y 0 Функция не является ни четной, ни нечетной, так как 2 y x x = + ( ) ( ) 2 2 x x x x − + − = − ≠ ± y . Функция ( ) y f x = называется периодической, если существует такое число , что для любого 0 T ≠ x X ∈ выполнены условия: 1) x T X + ∈ ; 2) ( ) ( ) f x T f x + = . Число T называется периодом функции ( ) y f x = О Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ог- раниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим под- разделяются и сами функции. Функция f называется ограниченной на множестве ( ) E D f ⊂ , если О ( ) : A x E f x A ∃ ∀ ∈ ≤ . Например, функция ( ) sin y = x ограничена на всей числовой оси; 3 y x = ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x ∈ . Функция f называется ограниченной сверху (снизу) на множестве ( ) E D f ⊂ , если ( ) : A x E f x A ∃ ∀ ∈ ≤ ; ( ( ) : A x E f x A ∃ ∀ ∈ ≥ ). О Например, 2 y x = ограничена снизу на всей области определения x ∈ . Точная верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на называется точной верхней (нижней) гранью функции E f на и обозначается su E p x E ( ) О ( ( ) inf x E f x ∈ ). f x ∈ Например, ( ) ;0 1 sup 0 x x ∈ −∞ = , 2 inf 0 x x ∈ = Если число ( ) sup x E f x ∈ ( ( ) inf О x E f x ∈ ) принадлежит множеству M значений функции f на , то оно называется наибольшим (наименьшим) зна- чением E f на и обозначается E ( ) max x E f x ∈ ( ( ) min x E f x ∈ ). Например, 2 min 0 x x ∈ = , ( ) ;0 1 max x x ∈ −∞ не существует. Пусть ( ) y f x = определена на множестве ( ) D f и множество ( ) E D f ⊂ Функции. Предел функции 113 Если 1 2 , x x E ∀ ∈ : О 1 2 x x < ⇒ ( ) ( ) 1 2 f x f x < - ( ) f x возрастающая на ; E 1 2 x x < ⇒ ( ) ( ) 1 2 f x f x ≤ - ( ) f x неубывающая на ; E 1 2 x x < ⇒ ( ) ( ) 1 2 f x f x > - ( ) f x убывающая на ; E 1 2 x x < ⇒ ( ) ( ) 1 2 f x f x ≥ - ( ) f x невозрастающая на . E Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а воз- растающие и убывающие - строго монотонными на . E E 10.3. Обратная функция. Сложная функция Функция ( ) y f x = , x X ∈ , y Y ∈ обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого y Y ∈ существует только одно значение x X ∈ такое, что ( ) y f x = О y ( ) x f y 1 − = x Тогда функции ( ) y f x = , осуществляющей отображение множества X в множество Y, может быть сопоставлена функция ( ) x g y = , осуществляющая отображение Y в X, такое, что ( ) ( ) g f x x = . Эта функция называется обратной к ( ) f x и обозначается ( ) 1 f y − С другой стороны, для функции 1 ( ) x f y − = обратной является функция ( ) y f x = , поэто- му функции ( ) y f x = и ( ) 1 x f y − = называют- ся взаимно обратными. Графики функций ( ) y f x = и ( ) 1 x f y − = сов- падают, но если мы хотим описать функцию ( ) 1 f y − обычным образом, то есть ее аргумент обозначить через x , а зависимую переменную че- рез , то графическая иллюстрация изменится. y Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симмет- y ( ) x f y = y ( ) y f x 1 − = x x О x ( ) y f x 1 − = y Лекции 10 – 11 114 ричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть линии y x = Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции ( ) 1 y f x − = ( ) y f x = , а область определения обрат- ной функции ( ) 1 y f x − = совпадает с множеством значений функции ( ) y f x = y ( ) x f y = ( ) x f y 1 − = x Пример: 1) ( ) x f x y = = 1 , ( ) ( ) ∞ ∞ − ∈ , 0 0 , ∪ x , ( ) ( ) ∞ ∞ − ∈ , 0 0 , ∪ y ; ( ) ( ) 1 1 g x f x x − = = (обратная функция совпадает с исходной). 2) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − > = = , 0 , , 0 , x e x e x f y x x ( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1 0 , 1 , , 0 0 , ∞ − ∈ ∞ ∞ − ∈ ∪ ∪ y x ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − ∈ − > = = − , 0 , 1 , ln , 1 , ln 1 x x x x x f y ( ) ( ) ( ) ( , 0 0 , , , 1 0 , 1 ∞ ∞ − ∈ ) ∞ − ∈ ∪ ∪ y x Если f и g - функции одного переменного, то функция , определенная соотношением h ( ) ( ) h x g f x = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ на области ( ) ( ) ( ) ( ) { } : D h x D f f x D g = ∈ ∈ , называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций f и g и обозначается g f О Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции f и в точке x , а затем для данного числа, рассматривае- мого как аргумент, вычисляется значение функции g . Операция суперпозиции может применяться повторно, например, ( ) ( ) ( ) 2 lg sin tg F x = x представляет собой суперпозицию пяти операций: воз- ведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма. Функции. Предел функции 115 10.4. Основные элементарные функции 1. Степенные функции 1.1. , n y x n N = ∈ . 1.2. 1 n y x = , 0 x ≠ . 1.3. n y x = 1.4. , y x α α = ∈ . Лекции 10 – 11 116 2. Трансцендентные функции 2.1. Показательная , 0, x y a a a = > 1 ≠ . 2.2. Логарифмическая log , 0, 1, (0, ) a y x a a x = > ≠ ∈ ∞ 3. Тригонометрические функции 3.1. = sin y x 3.2. cos y x = 3.3. tg , 2 y x x n π π = ≠ + 3.4. ctg , y x x k π = ≠ Функции. Предел функции 117 4. Обратные тригонометрические функции 4.1. arcsin , | | 1 y x x = ≤ arcsin( ) arcsin x x − = − 4.2. arccos , | | 1 y x x = ≤ arccos( ) arccos x x π − = − 4.3. , arctg y x = arctg( ) arctg x x − = − 4.4. arcctg y x = arcctg( ) arcctg x x π − = − arcsin arccos 2 x x π + = , arctg arcctg 2 x x π + = , 1 arctg arctg 2 x x π = − 5. Гиперболические функции 5.1. Гиперболический синус sh 2 x x e e y x − − = = 5.2. Гиперболический косинус ch 2 x x e e y x − + = = Лекции 10 – 11 118 5.3. Гиперболический тангенс sh th ch x x x x e e x y x e e x − − − = = = + 5.4. Гиперболический котангенс ch cth sh x x x x e e x y x e e x − − + = = = − 2 2 ch sh 1 x x − = , th cth 1 x x ⋅ = , sh( ) sh ch sh ch x y x y y x + = + ch( ) ch ch sh sh , x y x y x y + = + 10.5. Элементарные и неэлементарные функции Функции, получающиеся из основных элементарных функций и кон- стант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций суперпозиции, называются элементарными функциями. О (Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школь- ного курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обыч- ными тригонометрическими функциями.) Рассмотренные выше функции sgn y x = , y x = , , функция Ди- рихле относятся к неэлементарным. [ ] y x = 11.1. Предел функции в точке 11.1.1. Число A называется пределом функции ( ) y f x = в точке , ес- ли для любой последовательности О a { } n x такой, что ( ) , , lim n n n n x D f x a x a →∞ ∈ ≠ = , выполняется равенство ( ) lim n n f x A →∞ = , ко- торое обозначают: ( ) lim x a f x A → = Определение 11.1.1 сформулировано «на языке последовательностей» (иначе определение предела по Гейне). Функции. Предел функции 119 Пример: 1) ( ) ; l n n n x a n y x x a y x x a x → →∞ = ∀ → = → ⇒ = im a 2) ( ) y y x = − функция Дирихле, , ? x a y → → { } ( ) { } { } ( ) { } рациональные 1, иррациональные 0. n n n n x a y x x a y x − → ⇒ → − → ⇒ → Функция Дирихле не имеет предела при x a → , где a - любое. 11.1.2. Число A называется пределом функции ( ) y f x = в точке , ес- ли a ( ) ( ) ( ) 0 0 О : : 0 x x a f x A ε δ ε δ ε ε ∃ > ∀ < − < ⇒ − < ∀ > 0 δ δ a δ − a δ + 2 ε A e - A A e + Таким образом, для любой ε - окрестности точки А можно найти δ - окрестность точки , такую, что все значения функции для a x из δ - окрест- ности точки попадут в a ε - окрестность точки А. Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x расположена к точке , тем ближе значение a ( ) f x к числу A Определение 11.1.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта» (иначе оп- ределение предела по Коши). 11.2. Предел функции в бесконечности Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о дении функции при пове x → +∞ ( x → −∞ ). 11.2.1. Число A называется пределом ( ) f x при x → +∞ ( x → −∞ ), ес- ли { } { } : n n n n n x x f x A →∞ →∞ +∞ ⇒ → { } { } : n n n n n ∀ → О x x f x A →∞ →∞ ⎛ ⎞ ∀ → −∞ ⇒ → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Определение 11.2.1 сформулировано «на языке последовательностей». 11.2.2. Число A называется пределом ( ) f x при x → +∞ ( x → −∞ ), О если ( ) ( ) 0 : : M x x M f x A ε ε ε ∀ > ∃ ∀ ≥ ⇒ − < ( ) ( ) ( ) 0 : : M x x M f x A ε ε ε ∀ > ∃ ∀ ≤ ⇒ − < Лекции 10 – 11 120 Определение 11.2.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта». Определение 11.1.1 определение 11.1.2, определение 11.2.1 опре- деление 11.2.2, т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны. ⇔ Т ⇔ Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства су- ществования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне. Пример: 1) . Доказать, что 2 , y x x = →1 2 1 lim 1 x x → = . Доказательство: 0 ε ∀ > ( )( ) 2 1 , 1 1 1 1 x x x x x ε ε ε − < − + < ⇒ − < + Так как в предельном переходе рассматриваемая область значений x на- ходится вблизи точки 1 a = , можно считать, что , 0 2 x < < 1 1 x x + = + , , 1 1 3 x < + < 1 1 1 3 1 x < < + , тогда 1 x ε − < , т.е. можно взять ( ) δ ε = ε . Что- бы доказать существование предела ( ) f x при x a → , следует для любо- го ε найти формулу для построения ( ) δ ε 2) 1 , x y x x + = → ∞ Доказать, что 1 lim 1 x x x →∞ + = Доказательство: 0 ε ∀ > 1 1 1 1 x x x x ε ε ε + − < ⇒ < ⇒ > ( ) 1 M ε ε = , т.е. 3) 1 sin , 0 y x x = → . Доказать, что 0 1 lim sin x x → не существует. Доказательство: Рассмотрим две последовательности 1 n x n π = , lim 0 n n x →∞ = , ( ) ( ) sin 0 n f x n π = = , ; ( ) lim 0 n n f x →∞ = 2 4 n x n π π ′ = + , lim 0 n n x →∞ ′ = , ( ) sin 2 1 2 n f x n π π ⎛ ⎞ ′ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ( ) lim 1 n n f x →∞ ′ = Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции сходятся к различным пределам, 0 1 lim sin x x → не существует. |