Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
6.6.2*. Циклоида Обыкновенной циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящего- ся без скольжения по прямой линии. Пусть OX - прямая, по которой катится круг радиуса а. Тогда МС = СК = а, где К - точка касания. За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: - угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения, то ОК= MCK t ∠ = ∪ MK =at. Из рисунка видно, что ). cos 1 ( cos ), sin ( sin t a t a a QC KC PM y t t a t a at MQ OK PK OK OP x − = − = − = = − = − = − = − = = Таким образом, параметрические уравнения циклоиды где ⎩ ⎨ ⎧ − = − = ), cos 1 ( ), sin ( t a y t t a x ∞ < < ∞ − t . При 0 2 t π ≤ < получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА 1 О 1 =8а, а площадь одной арки S=3 πa 2 Аналитическая геометрия на плоскости 81 6.6.3*. Астроида Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без сколь- жения внутри окружности радиуса R. Параметрические уравнения астроиды 3 3 cos , sin , x R t y R t ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ где 2 0 π < ≤ t В декартовых координатах уравнение астроиды x 2/3 +y 2/3 =R 2/3 Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой, S=3 πR 2 /8. В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: виды уравнений прямой на плоскости, преобразования от одного вида к другому; канонические уравнения кривых второго порядка; полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми; параметрический способ задания линии. Студент должен уметь: решать простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости; находить элементы кривой второго порядка по ее каноническому уравнению; преобразовывать уравнения кривых от декартовых координат к полярным и обратно; преобразовывать параметрические уравнения кривой в декартовы и обратно. Лекция 7 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В лекции 7 излагаются элементы общей теории поверхностей и подробно рассмат- риваются поверхности второго порядка, для исследования формы которых применяется метод сечений. 7.1. Поверхности 7.2. Линейчатые поверхности 7.3. Поверхности вращения 7.4. Поверхности второго порядка 7.5. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 7.5.1. Эллипсоид 7.5.2. Однополостный гиперболоид 7.5.3. Двуполостный гиперболоид 7.5.4. Эллиптический параболоид 7.5.5. Гиперболический параболоид 7.5.6. Конус 7.5.7. Эллиптический цилиндр 7.5.8. Гиперболический цилиндр 7.5.9. Параболический цилиндр 7.1. Поверхности О Поверхность в трехмерном пространстве можно определить следующим образом: в явной форме: ( ) ( ) , ; , z x y x y G z = ∈ ; (1) в неявной форме: ( ) ( ) , , 0; , , ; y z x y z U F x = ∈ (2) в параметрической форме: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , ; , x x u v y y u v z z u v u v G = = = ∈ (3) в векторной форме: ( ) ( ) r = r u,v ; u,v G ∈ область, - пространственная облас , (4) где - плоская ть. G U В формуле (4) ( ) ( ) ( ) r - радиус-вектор точки по- верхности = x u,v i + y u,v j + z u,v k ( ) , , M x y z . Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка 83 7.2. Линейчатые поверхности О Поверхность называется линейчатой, если она получается при движе- нии в пространстве прямой, называемой образующей. О Коническая поверхность возникает, когда образующая движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей, и имеет непод- вижную точку, называемую вершиной. О Цилиндрическая поверхность возникает, когда фиксированная точка образующей движется по некоторой плоской кривой, называемой на- правляющей; в процессе перемещения образующая остается парал- лельной заданному направлению. Кроме конических и цилиндрических поверхностей к линейчатым отно- сятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, но закон движения образующей в этих случаях более сложен; ниже, при исследовании формы конкретных поверхностей, этот вопрос будет рассмотрен детально. 7.3. Поверхности вращения Если поверхность получается вращением плоской кривой, лежащей в одной из координатных плоскостей вокруг одной из координатных осей, то уравнение поверхности может быть получено из уравнения линии: 1) кривая ( ) , L x y = 0 , лежащая в плоскости ; Oxy вращение вокруг оси Ox : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L x y z = ± + = , вращение вокруг оси Oy : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L x z y = ± + = ; 2) кривая , лежащая в плоскости Ox ; ( ) , L x z = 0 z вращение вокруг оси Ox : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L x y z = ± + = , вращение вокруг оси O z : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L x y z = ± + = ; 3) кривая ( ) , L y z = 0, лежащая в плоскости Oyz ; вращение вокруг оси Oy : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L y x z = ± + = , вращение вокруг оси O z : ( ) ( ) 2 2 , , , 0 F x y z L x y z = ± + = ; Лекция 7 84 7.4. Поверхности второго порядка О Алгебраической поверхностью второго порядканазывается поверх- ность , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: S 2 2 2 22 33 12 13 23 14 24 34 44 2 2 2 2 2 2 0, a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a + + + + + + + + + + = 11 a x (5) где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновре- менно нулю (в противном случае (5) – алгебраическая поверхность пер- вого порядка, т.е. плоскость). В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение (5) определяет вырожденнуюповерхность (пустое множество, точку, прямую, плоскость, пару плоскостей). Например, уравнение 2 2 2 1 0 x y z + + + = не имеет решений и задаетпус- тое множество, уравнение 2 2 2 0 x y z + + = задает точку с координатами (0,0,0), уравнение определяет прямую – координатную ось , 2 2 0 x y + = Oz 2 0 x = задает координатную плоскость 0 x = , уравнение 2 1 x = задает пару плоскостей 1 x = − и 1 x = . Далее будем рассматривать только невырожденные поверхности. Поверхности второго порядка обладают определенными элементами симметрии. Некоторые имеют центр симметрии; все имеют хотя бы одну плоскость симметрии; многие имеют ось симметрии. Всякое уравнение вида (5) посредством преобразования координат, т.е. сдвигов и поворотов (так называемое приведение к главным осям), можно привести к каноническому виду. В уравнении канонического вида каждая переменная содержится только в одной степени: либо только в нулевой, либо только в первой, либо только во второй. Канонический вид уравнение при- нимает, когда оси системы координат совпадают с осями симметрии поверх- ности, а начало системы координат выбрано специальным образом (для цен- трально-симметричных поверхностей совпадает с центром симметрии). 7.5. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями: ; ; x const y const z const = = = Последовательно рассмотрим канонические уравнения поверхностей второго порядка. Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка 85 7.5.1. Эллипсоид О Эллипсоидом называется поверхность вто- рого порядка с каноническим уравнением 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = . Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Линия пересечения эллипсоида и плоско- сти задается системой уравнений: 0 z = 2 2 2 2 0 x y a b c z ⎧ + + ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ 2 2 1 z = или 2 2 2 2 1, 0. x y a b z ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ Очевидно, что линия пересечения – эллипс с полуосями а и b. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью h z = . Линия пересечения задается системой уравнений: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c z h ⎧ + + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ или 2 2 2 2 1 1 1, x y a b z h ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ где 2 2 1 1 2 1 ; 1 h a a b b c c = ⋅ − = ⋅ − 2 h Таким образом, если 0 h c < < , то сечение – эллипс с полуосями . Если 1 1 ; a a b < < b h c = , сечение – точка с координатами Если , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью. (0,0, ). c h c > Аналогично рассматриваются сечения поверхности плоскостями S x const = , y const = Величины называются полуосями эллипсоида. Если все они раз- личны, эллипсоид называется трехосным. При равенстве двух полуосей по- лучаются эллипсоиды вращения: при , , a b c a b c = < - вытянутый, при - сплющенный. Эти поверхности получаются при вращении эллипса, соответ- ственно, вокруг большой и малой оси. a b c = > Если , каноническое уравнение принимает вид: a b c R = = = 2 2 2 2 x y z R + + = и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R. Лекция 7 86 Гиперболоиды 7.5.2. Однополостный гиперболоид О Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением 2 2 2 2 x y a b c + − z 2 2 1 z = . Линия пересечения гиперболоида и плоскости 0 = задается системой уравнений: 2 2 2 2 2 2 1, 0, x y z a b c z ⎧ + − = = ⎪ ⎨ ⎪⎩ опре- деляющей эллипс с полуосями а и b. В сечении плоскостью имеем эллипс z h = 2 2 2 2 1 1 1, , x y a b z h ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ с полуосями 2 1 2 1 h a a c = ⋅ + и 2 1 2 1 h b b c = ⋅ + . Сечение поверхности плоскостью : S 0 x = 2 2 2 2 1, 0 y z b c x ⎧ − = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ является гиперболой с действительной осью и мнимой осью . Сечение плоскостью Oy Oz S 0 y = - гипербола с действительной осью и мнимой осью Oz . Ox При получается однополостный гиперболоид вращения. a b = Покажем, что однополостный гиперболоид также является линейчатой поверхностью, для чего перепишем уравнение в виде 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x z y x z x z y a c b a c a c b b ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ − = − ⇒ − + = − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ y ⎞ ⎟ ⎠ Рассмотрим две системы линейных уравнений 1 , 1 , x z y v u a c b x z y u v a c b ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ ⎠ + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ 1 , 1 , x z y v u a c b x z y u v a c b ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ − = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ где и - параметры, не равные нулю. Каждая из этих систем определяет прямую (линию пересечения двух плоскостей). Если перемножить уравнения каждой системы, получится уравнение однополостного гиперболоида, откуда следует, что каждая из этих прямых целиком лежит на однополостном гипер- u v Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка 87 болоиде. Таким образом, через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, называемые прямолинейными образующими одно- полостного гиперболоида, он имеет два семейства прямолинейных обра- зующих. Русский инженер В.Г. Шухов предложил использовать линейчатый ха- рактер однополостного гиперболоида в строительной технике. Он предложил конструкции из металлических балок, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными, они используются для устрой- ства водонапорных башен и радиомачт. 7.5.3. Двуполостный гиперболоид О Двуполостным гиперболоидом называется по- верхность второго порядка с каноническим урав- нением 2 2 2 2 x y a b c + − z 2 2 1 z = − . Линия пересечения гиперболоида и плоскости 0 = задается системой уравнений: 2 2 2 2 1, 0, x y a b z ⎧ + = − ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ которой соответствует пустое множество. В сечении плоскостью имеем кривую z h = 2 2 2 2 2 2 1, x y z c a b z h ⎧ + = − ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ или 2 2 2 2 1 1 1, , x y a b z h ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ где 2 1 2 1 h a a c = ⋅ − и 2 1 2 1. h b b c = ⋅ − Очевидно, что решения есть при h c ≥ . Если h с = ± , сечение – точка . При ( 0,0, c ± ) h c > сечение – эллипс с полуосями a 1 1 , b Сечение поверхности плоскостью S 0 x = 2 2 2 2 1, 0 y z b c x ⎧ − = − ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ является гипербо- лой с действительной осью и мнимой осью . Сечение плоскостью - гипербола с действительной осью Oz и мнимой осью Ox Oz Oy S 0 y = Лекция 7 88 Параболоиды 7.5.4. Эллиптический параболоид Эллиптическим параболоидом называется по- верхность с каноническим уравнением 2 2 2 2 x y pz a b + = 0 , 0. p > Поверхность расположена в верхнем полупростран- стве ; поперечные сечения плоскостями 0 z ≥ , z h h = > представляют собой эллипсы с полуосями 1 a a ph = и 1 b b ph = , размеры которых увеличиваются по мере возрастания h , про- дольные сечения плоскостями 0 x = и 0 y = - параболы. |