Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
! 1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель 0 ≠ ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции. 2). Для непрерывной в точке функции 0 x ( ) f x 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x справедливо: f x f x f x → → = = 5 m x x x x e e e → → = = 0 0 mln(1 sin ) ln(lim(1 sin )) ln(1 0) 0 x x x x → → + = + = + = Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций: а) li , 2 2 5 lim 25 б) li Лекции 12 – 13 140 13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке Если ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то она ограничена на этом отрезке ( M ∃ и m : m f ( ) Т x M ≤ ≤ [ ] , x a b ∀ ∈ ). Пример: ( ) sin , 0, 2 f x x π ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , { } { } 1, 5, 0, 2, 3, 1, inf ( ) 0, sup ( ) 1, m m m M M M m f x M f x = − = − = = = = = = = = 0 1 2 π ! Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной. Пример: 1 ( ) f x x = непрерывна на интервале (0, 1), то есть x ∀ , 0 1 x < < . ( ) f x - не ограничена. 0 1 Если ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то она достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней Т ( [ ] [ ] 1 1 2 2 , : ( ) , , : ( ) x a b f x M x a b f x m ∃ ∈ = ∃ ∈ = ). Доказательство: От противного: если нет точки 1 x ( ) f x M x ⇒ < ∀ ⇒ ( ) 0 f x M − < или ( ) 0 M f x − > Рассмотрим 1 ( ) ( ) F x M f x = − , ( ) F x - непрерывна на (по теореме о непрерывности сложной функции). [ , a b ] Из непрерывности ( ) F x следует ее ограниченность на [ ] , a b , 1 1 ( ) ( ) ( ) F x B f x M M f x B = ≤ ⇒ ≤ − − , 1 M B − - верхняя грань, тогда M - неточная верхняя грань. Полученное противоречие доказывает теорему. Замечательные пределы. Непрерывность функции 141 Пример: 1) ( ) sin f x x = , 0, 2 x π ⎡ ⎤ ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (0) 0, ( ) 1 2 m f M f π = = = = . 2) ( ) f x x = , [ ] 1,1 x ∈ − . 0, 1 m M = = . 1). Для интервалов ( ) , a b и полуинтервалов [ , a b) или теорема не справедлива. ] ( , a b ! Пример: , (0,1) y x = Значения 0 m = и 1 M = - не достигаются на (0,1) x ∈ 2). Для ( ) f x , непрерывной на [ ] , a b , m и M можно назвать наимень- шим и наибольшим значениями функции: max ( ) ,min ( ) f x M f x m = = Если функция y = ( ) f x непрерывна на [ ] , a b и имеет на концах отрезка значения ( ) f a и ( ) f b разных знаков, то найдется точка ( , ) a b Т ξ ∈ такая, что ( ) 0 f ξ = Доказательство: Пусть ( ) 0, ( ) 0 f a f b < > . Рассмотрим { } : ( ) 0 x f x < , { } x - ограничено сверху, например, числом b ⇒ { } sup x ξ ∃ = . Покажем, что ( ) 0 f ξ = Если бы ( ) 0 f C ξ = > , тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции существовала бы δ -окрестность точки : ( , ) ( ) 0 x f x ξ ξ δ ξ δ ∀ ∈ − + ⇒ > , но тогда бы ξ не являлась бы точной верхней гранью { } sup x , где ( ) 0 f x < . Аналогично для ( ) 0 f C ξ = < оста- ется ( ) 0 f ξ = , что и требовалось доказать. Т Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежу- точное значение. Если функция y= ( ) f x - непрерывна на [ ] , a b , имеет на концах отрезка значения ( ) , ( ) f a A f b B = = и число С расположено меж- ду числами А и В : A C B < < , то найдется точка ( , ) a b ξ ∈ такая, что ( ) f C ξ = Лекции 12 – 13 142 Доказательство: Рассмотрим: : , ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 C A C B F x f x C F a F b ∀ < < = − ⇒ < > ( ) F x - непрерывна на [ ] , a b . По предыдущей теореме ( , ) a b ξ ∃ ∈ , ( ) 0 ( ) 0 F f C ξ ξ = ⇒ − = ⇒ ( ) f C ξ = , что и требовалось доказать. Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида ( ) 0 F x = методом половинного деления отрезка. ! Пример: Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0? Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей чи- словой оси, поскольку является суммой непрерывных функций. f(0) =1>0, f(2 π ) = -2 π + 1 < 0. Следовательно, внутри отрезка [0, 2 π ] име- ется, по крайней мере, один корень исходного уравнения. Пример: Принимает ли функция 3 ( ) sin 3 4 x f x π x = − + значение 3 1 2 внутри отрез- ка [-2, 2]? Функция является непрерывной на [-2, 2]. На концах отрезка функция принимает числовые значения f(-2) = 1, f(2) = 5. Так как 1 1 2 5, 3 < < то ξ ∃ ∈ (-2, 2) такая, что 1 ( ) 2 . 3 f ξ = 13.2. Точки разрыва и их классификация Точка x 0 , в которой функция y = f(x) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x 0 называется точкой разрыва функции. Для классификации точек разрыва удобно использовать третье опреде- ление непрерывности. О Если односторонние пределы существуют, причем 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ), x x x x f x f → − → + = x а функция y = f(x) не определена в точке x 0 , или 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x → ≠ то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва. ! Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию 0 0 1 0 ( ), , ( ) lim ( ), . x x f x x x f x f x x x → ≠ ⎧⎪ = ⎨ = ⎪⎩ Замечательные пределы. Непрерывность функции 143 Пример: 2 4 , 2, ( ) 2 5, 2. x x f x x x ⎧ − ≠ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Точка 2 x = - точка устранимого разрыва, посколь- ку 2 0 2 0 lim ( ) lim ( ) 4 x x f x f x → + → − = = , (2) 5 4 f = ≠ Устраним разрыв: 2 1 4 , 2, ( ) 2 4 2. x x f x x x ⎧ − ≠ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Функция 1 ( ) f x непрерывна всюду. 0 2 2 4 5 Если: 1) 0 x – точка разрыва О ( ) f x lim ( ), lim ( ) , 2) существуют конечные пределы справа и слева: 0 0 0 0 x x x x f x f x ∃ ∃ lim ( ) lim ( ), → + → − , 3) 0 0 0 0 x x x x f x f x ≠ → + → − то точка x 0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый ко- нечный скачок). Пример: 1 ( ) 1 2 x y f x = = + 1 , - точка разрыва 0 x = ( ) f x . 1 0 0 1 0, 1 1 lim , 0 1 2 2 x x x x x → + → + = → +∞ = + → +∞ 1 0 0 1 0, 1 1 lim , 1 1 2 2 0. x x x x x → − → − = → −∞ = + → 0 x = - точка разрыва первого рода. О Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бес- конечен, то точка х 0 называется точкой разрыва 2-го рода. Лекции 12 – 13 144 Пример: 1 ( ) f x x = , 0 x = - точка разрыва 2-го рода; так как 0 lim ( ) x f x → + = +∞ , . 0 lim ( ) x f x → − = −∞ 0 В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: методы практического вычисления пределов; замечательные пределы; эквивалентные бесконечно малые; различные определения непрерывности; свойства непрерывных функций; классификацию точек разрыва. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Целью этого раздела является исследование поведения функции в окрест- ности точки ( ) y y x = x по ее числовым характеристикам в самой этой точке. Лекции 14 - 15 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ В лекциях 14 – 15 излагаются основные понятия дифференциального исчисления – понятия производной и дифференциала, рассматривается их геометрический и механиче- ский смысл. Выведены правила и формулы дифференцирования, указаны методы вычис- ления производных для различных способов задания функций. Показано практическое применение дифференциала в приближенных вычислениях. 14.1. Производная функции. 14.1.1. Определение производной функции 14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции 14.1.3. Механический смысл производной 14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 14.2.2. Производная обратной функции 14.2.3. Таблица производных 14.2.4. Производная сложной функции 14.2.5. Логарифмическая производная 14.2.6. Производная неявной функции 14.2.7. Производная функции, заданной параметрически 15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n-го порядка 15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 15.1.3. Вторая производная от неявной функции 15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции 15.1.5. Механический смысл второй производной 15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Дифференциал независимой переменной 15.2.2. Свойства дифференциалов 15.2.3. Геометрический смысл дифференциала 15.2.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 15.2.5. Дифференциал сложной функции 15.2.6. Дифференциалы высших порядков Лекции 14 – 15 146 14.1. Производная функции 14.1.1. Определение производной функции Пусть определена на и ( ) y f x = ( , ) a b ( ) , x a b ∈ - некоторая фиксирован- ная точка, x ∆ - приращение аргумента в точке x , y f x x f ( ) ( ) x ∆ = + ∆ − и - со- ответствующее приращение функци , y x ∆ ∆ - отношение приращений (зависит от x ∆ , x - фиксировано). Производной функции ( ) f x в точке x называется 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ при условии, что он существует. Обозначение: 0 0 ( ) ( lim lim x x dy y f x x f x y dx x x ∆ → ∆ → ) ∆ + ∆ − ′ = = = ∆ ∆ О Функция ( ) f x называется дифференцируемой в точке x , если произ- водная существует; операция нахождения производной называется дифференцированием. ( ) y x ′ О Функция ( ) f x называется дифференцируемой на интервале ( ) , a b , ес- ли она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций. Пример: sin , ? y x y′ = = 0 0 2cos sin sin( ) sin 0 2 2 ( ) lim lim 0 x x x x x x x x y x x x ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ + ⋅ ⎜ ⎟ + ∆ − ⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ′ = = = ⎢ ⎥ ∆ ∆ ⎣ ⎦ = 0 0 cos sin sin 2 2 2 lim cos , т.к. lim 1 2 2 x x x x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = ∆ ∆ (sin ) cos x x ′ = Пример: ( ) log , 0 1 a y x x a = < ≠ , ( ) ? y x ′ = log ( ) log log log 1 a a a a x x x y x x x x x + ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ = + ∆ − = = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 0 log 1 lim lim log 1 a x a x x x x x y x x ∆ ∆ → ∆ → ∆ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ∆ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ′ = = + ⎜ ⎟ ∆ ⎝ ⎠ = О Производная и дифференциал 147 1 1 1 0 0 log lim 1 log lim 1 x x x x a a x x x x x x ⋅ ∆ ∆ ∆ → ∆ → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∆ ∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ = + = + ⎥ = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 log log x a a e e x = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 (log ) log a a x e x ′ = , 1 (ln ) x x ′ = Пример: α x y = ; ( ) ( ) 0 lim x x x x y x x α α α ∆ → + ∆ − ′ ′ = = ∆ Без ограничения общности можем считать α натуральным показателем и раскрыть скобку, как бином Ньютона: ( ) { } 1 2 2 0 0 1 2 2 1 1 0 0 ( 1) lim lim ( 1) lim lim ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x o x x x x α α α α α α α α α α α α α α α α α α − − ∆ → ∆ → − − − − ∆ → ∆ → + ∆ − + ⋅ ∆ + ⋅ − ∆ + − = = ∆ ∆ ⎧ ⎫ ⋅ ∆ ⋅ − ∆ = + + = ⋅ + ∆ = ⎨ ⎬ ∆ ∆ ⎩ ⎭ ⋅ 14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции Рассмотрим две точки графика функции ( ) f x : ( , ( )) M x f x и ( , ( )) P x x f x x + ∆ + ∆ MP - секущая. При стремлении x ∆ к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки M |