Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: 1) sin , cos , sin , cos y x y x y x y ′ ′′ ′′′ x = = = − = − 2) 1 2 ( ) , , ( 1) , , !, 0 n n n n n y x y nx y n n x y n y − − ′ ′′ ( 1) + = = = − = … = 15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 1. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x g x f x g x + = + 2. Формула Лейбница (производная произведения): Производная и дифференциал 155 [ ] ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n k n k k n k f x g x C f x g x − = ⋅ = ⋅ ∑ , где ! !( )! k n n C k n k = − - число сочетаний из по , (читается - факториал) определен для целых неотрицатель- ных k , причем n k ! k k ( ) ( ) 1 ! 1 ! k k k + = + ⋅ 1! 1 , 0! = = Пример: Найти n–ю производную от функции 2 x e y ax ⋅ = Решение: 2 ) ( ; ) ( ); ( ) ( x x g e x f где x g x f y ax = = ⋅ = 0 ) ( ; ) ( ; 0 ) ( ; 2 ) ( ; ) ( ; 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) ( 2 2 = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = = ′′′ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ = ′′ ⋅ = ′′ ⋅ = ′ ⋅ = ′ = = x g e a x f x g x g e a x f x x g e a x f x x g e x f n ax n n ax ax ax Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты: 2 2 ) 1 ( 2 ) ( ; 2 ) 1 ( )! 2 ( ! 2 ! 2 ; )! 1 ( ! 1 ! 1 ; 1 ! ! 0 2 1 2 ) ( 2 1 0 ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − = − ⋅ = → = = − ⋅ = → = = = → = − − ax n ax n ax n n n n n e a n n x e na x e a x y n n n n C k n n n C k n n C k 15.1.3. Вторая производная от неявной функции Рассмотрим неявную функцию ( ) y y x = , определяемую уравнением ( , ) 0 F x y = . Для отыскания второйпроизводной соотношение ( , ) 0 F x y = дифференцируем два раза по переменной x , считая функцией y x , и выра- жаем как функцию и y′′ y x . Пример: 2 2 1, ? x y y′′ + = = 2 2 2 0, , 2 2 2 2 x x x y y y y y y y y y ′ ′ ′ ′ ′′ + ⋅ = = − = − + ⋅ + ⋅ = 0 , ( ) 2 2 2 3 1 y y x y y y ′ + + ′′ = − = − Лекции 14 – 15 156 15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции Рассмотрим ( ) ( ) x x t y y t = ⎧ ⎨ = ⎩ ( ) ( ) x t x xx x t y y y x ′ ′ ′ ′′ ′ = = ′ или ( ) 2 1 1 t tt t t x xx x t t t t y y x x y t x t t y x x x ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ⎛ ⎞ − ′ ′′ = = = = ⋅ ⎜ ⎟ ′ ′ ′ ′ ⎝ ⎠ Таким образом, ( ) 3 tt t tt t xx t y x x y y x ′′ ′ ′′ ′ − ′′ = ′ 15.1.5. Механический смысл второй производной Пусть - закон движения тела, движущегося поступательно. Скорость тела ( ) S f t = ( ) V t в данный момент времени: ( ) ( ) V t f t ′ = . Если движение неравномерно, то для приращения времени t ∆ приращение скорости состав- ляет V ∆ Тогда V t ∆ ∆ - среднее ускорение тела за промежуток времени . При t ∆ 0 t ∆ → получим ускорение в данный момент времени t : 0 lim ( ) t V a V t ∆ → t ∆ ′ = = ∆ Таким образом, ( ) ( ) a t f t ′′ = - ускорение прямолинейного движения равно второй производной от перемещения по времени. 15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Правила вычисления производной n-го порядка Если функция - дифференцируема на ( ) y f x = ( ) , a b , то ( ) , x a b ∀ ∈ 0 lim ( ) x y f x x ∆ → ∆ ′ ∃ = ∆ . Отношение y x ∆ ∆ при 0 x ∆ → стремится к числу ( ) f x ′ , следо- вательно, y x ∆ ∆ отличается от ( ) f x ′ на бесконечно малую ( ) x α : ( ) ( ) y f x x α ∆ ′ = + ∆ x , причем ( ) 0 lim 0 x x α ∆ → = , или ( ) ( ) y f x x x x α ′ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ . Рассмотрим ( ) f x x ′ ∆ . В общем случае ( ) 0 f x ′ ≠ , ( ) f x x ′ ∆ - бесконечно малая величина первого порядка относительно x ∆ при 0 x ∆ → . Производная и дифференциал 157 Поскольку ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 x x x x x x α α ∆ → ∆ → ⋅ ∆ = = ∆ , то ( ) x x α ⋅ ∆ - бесконечно малая вели- чина более высокого порядка, чем x ∆ . О Главная, линейная по x ∆ часть приращения функции называется диф- ференциалом функции в точке x и обозначается ( ) dy f x x ′ = ⋅ ∆ Главная часть, потому что ( ) x x α ⋅ ∆ - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x ∆ . Линейная, потому что дифференциал зависит от x ∆ в первой степени. ! 15.2.2. Дифференциал независимой переменной Пусть . Тогда y x = ( ) , 1, y x y x dy dx x ′ ′ ∆ = ∆ = = = = ∆ Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, . В общем случае: dx x = ∆ ( ) ( ) dy f x x f x dx ′ ′ = ∆ = ( ) dy f x dx ′ = Производная может быть записана как отношение дифференциала функ- ции к дифференциалу независимого переменного (так называемые обо- значения Лейбница): ( ) dy f x dx ′ = С 15.2.3. Свойства дифференциалов Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле ( ) dy y x dx ′ = ⋅ , то справедливы обычные правила дифференцирования. 1. ( ) 0 d c ; = 2. ( ) ( ) ; d u ; v du dv d u c du ± = ± ± = uv udv vdu d uc cdu = + = 3. d ; ( ) ( ) ; 4. 2 u vdu udv v v − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) d 15.2.4. Геометрический смысл дифференциала Рассмотрим функцию . Обозна- чения, приведенные на рисунке, соответству- ют: ( y f x = ( , ), ( , ) M x y M x x y y ′ + ∆ + ∆ , y NM ′ ∆ = , MT - ка- сательная в точке M . Рассмотрим : MNT ∆ , tg MN x NT x ϕ = ∆ = ∆ ⋅ , ( ) NT x f x ′ = ∆ ⋅ , dy NT = Лекции 14 – 15 158 Дифференциал функции в точке ( ) y f x = x есть приращение ординаты каса- тельной к графику функции в точке x . 15.2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Метод основан на замене приращения функции ( ) ( ) y f x x f x ∆ = + ∆ − приближенно дифференциалом этой функции: ( ) y dy f x dx ′ ∆ ≅ = Это возможно, так как и отличаются на бесконечно малую вели- чину y ∆ dy ( ) o x ∆ . 0 0 0 lim 1 lim 1 lim 1 ( ) ( ) x x x y x dy f x x f x α α ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ = + = + = ′ ′ ∆ Основные рабочие формулы: 0 x x x = + ∆ , 0 0 ( ) ( ) ( ) f x f x x f x dy = + ∆ ≈ + , 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ Геометрический смысл: истинная функция на отрезке [ ] 0 0 , x x + ∆x заменя- ется линейной функцией, график которой – касательная в точке ( ) ( ) 0 0 , x f x Пример: Вычислить приближенно 15 8 4 , Решение: Пусть 4 x y = , 0 16 x = Тогда ( ) 2 16 16 4 = = y ; ( ) ( ) y y y ∆ + = = 16 8 , 15 ; заменим ( ) x x y dy y ∆ ′ = ≈ ∆ ; 2 , 0 8 , 15 16 − = − = ∆x ; ( ) 4 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 − − = = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ x x x x y ; ( ) 32 1 8 4 1 16 4 1 16 4 3 = ⋅ = ⋅ = ′ − y Тогда ( ) ( ) 9938 , 1 0062 , 0 2 2 , 0 32 1 2 8 , 15 = − = − ⋅ + = y Пример: Вычислить приближенно значение объема V шара радиусом м. 02 , 1 = r Решение: Так как ( ) 3 3 4 r r V ⋅ = π , то, полагая 0 1 r = , 0,02 r ∆ = , ( ) 2 4 V r r π ′ = и ис- пользуя формулу для ∆V , получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1,02 1 1 1 0,02 4 0,02 4,44 м . 3 V V V V V π π ′ = + ∆ ≈ + ⋅ = + ⋅ ≅ Производная и дифференциал 159 15.2.6. Дифференциал сложной функции Рассмотрим сложную функцию [ ] ( ) , y f x ϕ = Пусть – промежуточный аргумент: u ( ) , ( ) y f u u x ϕ = = x u y f u x ′ ′ ′ = ⋅ умножим это равенство на : dx x y dx ′ = u x f u dx ′ ′ ⋅ ⋅ , u dy f du ′ = Сравнение с x dy f dx ′ = показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой пе- ременной или функцией независимой переменной (промежуточным аргумен- том). Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала. 15.2.7. Дифференциалы высших порядков Пусть ( ) y f x = - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - незави- симая переменная. Тогда ее первый дифференциал ( ) ( ) dy f x x f x dx ′ ′ = ∆ = также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти диффе- ренциал. О Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции ( ) f x называется дифференциал ее дифференциала при фикси- рованном dx ( ) 2 2 ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) d f x d df x d f x dx dx d f x dx f x dx f x dx ′ ′ ′′ ′′ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 ( ) f x dx ′′ = ; 2 2 ( ) ( ) d f x f x dx ′′ = Аналогично определяется дифференциал порядка n: ( ) 1 ( ) ( ) . n n d f x d d f x − = Можно показать, что Здесь ( ) ( ) ( ) n n d f x f x dx = n ( ) n n dx dx = ! 1. Для независимой переменной 2 3 0, 0, d x d x = = … 2. В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая пере- менная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго диф- ференциала будет другой, отличной от выражения d f 2 2 ( ) f x dx ′′ = Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть ( ) y f x = , ( ) x g t = , t - независимая переменная. Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 d f d df d f x dx d f x dx f x d dx ′ ′ ′ = = ⋅ = ⋅ + ⋅ = Лекции 14 – 15 160 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x dx f x d x f x g t dt f x g t dt ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго диффе- ренциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифферен- циала не инвариантна. В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: понятия производной и дифференциала, их геометрический и механический смысл; правила и формулы дифференцирования; таблицу производных; способы вычисления производных от сложных функций; функций, заданных неявно и параметрически; таблицу производных; производные высших порядков и правила их вычисления; применение дифференциала к приближенным вычислениям. Лекция 16 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В лекции 16 рассмотрены основные теоремы анализа (Ролля, Лагранжа и Коши), широко использующиеся практически во всех разделах анализа. Излагается правило рас- крытия неопределенностей Лопиталя – Бернулли, позволяющее вычислять пределы с по- мощью дифференцирования. Выводится формула Тейлора, которая при достаточно широ- ких предположениях относительно вида функции дает возможность представить ее при- ближенно в виде многочлена и оценить допускаемую при этом погрешность. 16.1. Основные теоремы анализа. 16.1.1 Теорема Ролля (о нуле производной) 16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) 16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) 16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей 16.1.5. Формула Тейлора. Частные случаи формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Оценка остаточного члена. Приложения формул Тейлора и Маклорена 16.1. Основные теоремы анализа 16.1.1. Теорема Ролля (о нуле производной) Если: 1) функция ( ) f x - непрерывна на отрезке [ ] , a b , 2) на интервале ( ) , a b существует производная ( ) f x ′ , 3) значения функции на концах от- резка совпадают, ( ) ( ) f a f b = , то существует точка ( ) , a b ξ ∈ такая, что ( ) 0 f ξ ′ = Т Доказательство: Так как функция ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то на отрезке существуют наибольшее M и наименьшее m значения функции. Возможны два случая: 1) M m = и 2) M m > Рассмотрим: 1) M m = , ( ) f x - постоянная, следовательно, ( ) 0 f x ′ = ∀ ( ) , x a b ∈ ; Лекция 16 162 2) M m > , следовательно, хотя бы одно из этих значений достигается внутри [ ] , a b , так как ( ) ( ) f a f b = Пусть ( ) f M ξ = , ( ) , a b ξ ∈ Так как ( ) f ξ - наибольшее значение функции, то ( ) ( ) 0 f x f ξ ξ + − ≤ при лю- бом знаке x . ( ) ( ) 0 f ≤ f x x ξ ξ + − 0 , x > , ( ) ( ) 0 f x f x ξ ξ + − ≥ , 0 x < , переходя к пределу 0 x → и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f f x ξ ξ ξ →+ + − ′ = ≤ , 0 x > , ( ) ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f f x ξ ξ ξ →− + − ′ = ≥ , 0 x < Эти соотношения совместимы, если ( ) 0 f ξ ′ = Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достига- ется минимум, проводится аналогично. Геометрический смысл теоремы Ролля Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в ноль без ее вычислений. С Если ( ) f x такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [ ] , a b , то может не оказаться такой точки ξ , в которой ( f ) ξ ′ об- ращается в ноль. ! Пример: y x = , ( ) 0 1 прав y ′ = , ( ) 0 1 лев y ′ = − (0) y′ не существует (по определению). Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 163 16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) Если: 1) ( ) f x - непрерывна на отрезке [ ] , a b , 2) на интервале ( ) , a b су- ществует производная ( ) f x ′ , то существует, по крайней мере, одна точ- ка ( ) , a b ξ ∈ такая, что ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ ′ − = − Т Доказательство: Обозначим ( ) ( ) f b f a Q b a − = − . Построим ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x f a Q x a = − − ⋅ − ( ) F x обладает следующими свойствами: 1) непрерывна на [ ] , 2) ∃ , a b ( ) F x ′ на ( ) , a b , 3) ( ) ( ) 0 F a F b = = Из теоремы Ролля следует, что существует точка ( ) , a b ξ ∈ такая, что ( ) 0 F ξ ′ = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x f a Q x a ′ ′ = − − − , ( ) ( ) 0 F x f x Q ′ ′ = − = , урав- нение ( ) 0 f x Q ′ − = имеет решение x ξ = , т.е. ( ) f Q ξ ′ = , или ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ − ′ = − Геометрический смысл теоремы Лагранжа ( ) ( ) f b f a CB AC b a − = − - угловой коэффициент се- кущей AB . ( ) f ξ ′ - угловой коэффициент касательной к кривой ( ) y f x = в точке x ξ = . На кривой AB найдется, по крайней мере, одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB . 1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа илиформу- лой конечных приращений. Так как a b ξ < < , то a b a ξ − < − , ( ) a b a ξ θ − = − , где 0 1 θ < < , откуда ( ) a b a ξ θ = + − , ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f a b a b a θ ′ − = + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ! 2). Точек ξ может быть несколько. 3). Если ( ) ( ) f a f b = , то ( ) 0 f ξ ′ = , получаем утверждение теоремы Рол- ля. 4). Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычисле- ний: ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f a b a b a θ ′ − = + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , где 0 1 θ < < . Положим 1 2 θ = , Лекция 16 164 тогда ( ) ( ) ( 2 a b ) f b f a f b a + ⎡ ⎤ ′ − ≈ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Погрешность тем меньше, чем ближе b к . a Пример: arctg1,1 ? = 1,1 b = ; ; 1,0 a = 0,1 b a − = ; ( ) arctg1,1 arctg1 0,1 arctg x ′ ≈ + ⋅ , 1,1 1,0 2,1 2 2 x + = = ( ) 2 1 arctg 1 x x ′ = + ; 2,1 2 2 1 1 0,5 1 2,1 x x = = = ≈ + , arctg1,1 0, 05 4 π ≈ + 16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) Если: 1) ( ) ( ) , f x x ϕ непрерывны на [ ] , a b , 2) на ( ) , a b существуют про- изводные ( ) ( ) , f x x ϕ ′ ′ , 3) ( ) 0 x ϕ ′ ≠ ( ) , x a b ∀ ∈ , то существует, по край- ней мере, одна точка ( ) , a b ξ ∈ такая, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ ϕ ϕ ϕ ′ − = ′ − ξ Т Доказательство: ( ) ( ) b a ϕ ϕ ≠ , так как иначе, по теореме Ролля, ( ) x ϕ ′ обратилась бы в ноль, по крайней мере, в одной точке ( ) , a b ξ ∈ Рассмотрим вспомогательную функцию: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a F x f x f a x a b a ϕ ϕ ϕ ϕ − = − − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, суще- ствует точка ( ) , a b ξ ∈ такая, что ( ) 0 F ξ ′ = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f b f a F f b a ξ ξ ϕ ξ ϕ ϕ − ′ ′ ′ = − − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ ϕ ξ ϕ ϕ − ′ ′ = − Разделим на ( ) ϕ ξ ′ , ( ) 0 ϕ ξ ′ ≠ , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ ϕ ϕ ϕ ξ ′ − = ′ − Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. ! Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 165 16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ и ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ методами дифференциального исчисления. Рассмотрим ( ) ( ) ( ) f x F x x ϕ = , где ( ) f x и ( ) x ϕ дифференцируемы в неко- торой окрестности точки , исключая, быть может, саму точку . Если при a a x a → ( ) f x и ( ) x ϕ ( ) 0 → ∞ , функция ( ) F x имеет в точке неопределен- ность a 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ или ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ Вычислить ( ) lim x a F x → поможет следующая теорема (правило Лопиталя). Правило Лопиталя. Если: 1) ( ) f x , ( ) x ϕ - непрерывны на [ ] ; , a b 2) на ( ) , a b существуют ( ) f x ′ , ( ) x ϕ ′ , причем ( ) 0 x ϕ ′ ≠ ; Т 3) ( ) ( ) 0 f a a ϕ = = ; 4) существует предел ( ) ( ) lim x a f x x ϕ → ′ ′ , то существует и предел ( ) ( ) lim x a f x x ϕ → , причем ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x x x ϕ ϕ → → ′ = ′ Доказательство: Возьмем на отрезке [ точку ] , a b x a ≠ . На отрезке [ ] , a x по теореме Коши ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a f x a ξ ϕ ϕ ϕ ξ ′ − = ′ − a x ξ < < , ξ - промежуточная точка отрезка [ ] , a x . Но ( ) ( ) 0 f a a ϕ = = , значит, ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x ξ ϕ ϕ ξ ′ = ′ . Если x a → ,то и a ξ → , сле- довательно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x a a x a f x f f x x x ξ ξ ϕ ϕ ξ ϕ → → → ′ ′ = = ′ ′ Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их произ- водных, если последний существует. 1). Если рассматривается предел при x → ∞ , ( ) 0 x ϕ → , ( ) 0 f x → , то утверждение остается справедливым: верждение остается справедливым: ! ( ) ( ) 0 1 1 lim lim 1 0 x z f f x x z z x z z ϕ ϕ →∞ → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = = = ⎛ ⎞ → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 0 2 1 1 lim 1 1 z f z z z z ϕ → ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( ) ( ) 0 1 lim lim 1 z x f f x z x z ϕ ϕ → →∞ ⎛ ⎞ ′⎜ ⎟ ′ ⎝ ⎠ = ′ ⎛ ⎞ ′⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Лекция 16 166 2). Если ( ) ( ) 0 f a a ϕ ′ ′ = = и ( ) f x ′ , ( ) x ϕ ′ удовлетворяют условиям тео- ремы, то можно применять правило Лопиталя к ( ) ( ) f x x ϕ ′ ⇒ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x x x ϕ ϕ → → ′ ′ = ′ ′ ′′ . Правило Лопиталя можно применять не- сколько раз. 3). Без доказательства приведем следующее утверждение: ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x x x ϕ ϕ → → ′ ∞ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ′ ∞ ⎣ ⎦ Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей Пример: 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 sin 2 cos 2 2 ) lim lim 2 1 x x x x a x → → ⋅ = = . 2 0 0 0 0 2 0 2 ) lim lim lim sin 0 1 cos 0 sin x x x x x б x x x x → → → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∞ . Пример: ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ ln ) lim lim 1 x x x x a a a a x →∞ →∞ ⋅ = = ∞ ( ) 1 2 1 1 1 1 2 ) lim lim lim 0 1 2 1 x x x x x б x x − →∞ →∞ →∞ + + = = + = . Пример: [ ] 0 0 ) 0 a ⎡⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⋅∞ = ⎢ ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ ⎣ ( ) 0 x a f x → → , ( ) x a x ϕ → → ∞ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim lim lim 1 1 0 x a x a x a f x x f x x x f x ϕ ϕ ϕ → → → ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⋅ = = = = ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 167 Пример: [ ] 2 0 0 2 ln lim ln 0 lim 1 x x x x x x → → ∞ ⎡ ⎤ ⋅ = ⋅∞ = = ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ 0 3 1 lim 1 2 x x x → = = − ⋅ 3 0 1 lim 0 2 x x x → ⎛ ⎞ = − ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Пример: 0 0 0 , , 1 ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Применяется предварительное логарифмирование, от- куда следует неопределенность [ ] 0 ⋅∞ Пример: , 0 x y x x = → 0 lim ? x x x → = Логарифмируем: ln ln y x x = ⋅ Вычислим: [ ] 0 0 0 0 2 1 ln lim ln lim ln 0 lim lim 0 1 1 x x x x x x y x x x x → → → → ∞ ⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅∞ = = = = ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ − 0 limln 0 x y → = , , 0 ln lim 0 x y → = 0 lim 1 x y → = , 0 lim 1 x x x → = 16.1.5. Формула Тейлора Если ( ) f x дифференцируема ( 1) n + раз в окрестности точки , 0 x x то для любого из указанной окрестности справедлива формула Тейлора по- рядка n: Т 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! f x f x f x f x x x x x 0 ′ ′′ = + − + − + ( ) 3 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 3! ! n n n f x f x 1 x x x x n + ′′′ + − + + − + R x где ( 1) 1 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( ) ; 0 1 ( 1)! n n n f x x x R x x x n θ θ + + + + − = ⋅ − + < < 1 ( ) n R x + называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство: Обозначим ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 , 1! ! n n f x f x 0 x x f x x x x x n ϕ ′ = + − + + − , ( 0 , ) x x ϕ - многочлен n-го порядка (так называемый многочлен Тейло- ра), ( ) ( ) ( 1 0 , n R x f x x x ) ϕ + = − Лекция 16 168 Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указан- ной окрестности, пусть 0 x x > . На отрезке [ ] 0 , x x рассмотрим вспомога- тельную функцию: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 , n n n x t Ф t f x x t R x x x ϕ + + + − = − − ⋅ − , где [ ] 0 , t x x ∈ Поскольку ( ) ( ) 0 Ф x Ф x = , ( ) Ф t удовлетворяет условиям теоремы Ролля и существует точка ( ) 0 , x x ξ ∈ , в которой ( ) 0 Ф ξ ′ = . Для вычисления ( ) Ф t ′ запишем ( ) , x t ϕ : ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n f t f t f t x t f t x t x t x t n ϕ ′ ′′ = + − + − + + − … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 , 1 n t n n x t Ф t x t n R x x ϕ + + − ′ ′ = − + + ⋅ − x ( ) ( ) , t x t f t ϕ ′ ′ = ( ) ( ) f t x t ′′ + ⋅ − ( ) f t ′ − ( ) ( ) 2 2! f t x t ′′′ + − − ( ) ( ) 2 2! f t x t ′′ − ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 ! ! n n n n f t f t x t n x t n n + − + + − − ⋅ − = ( ) ( ) ( ) 1 ! n n f t x t n + = − Следовательно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 ! n n n n n f t x t Ф t x t n R n x x + + + − ′ − = − − + ⋅ − x , при t ξ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 ! n n n f R x x x n ξ + + + = − + 1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена. ( ) y f x ! = 2). Полученная формула для ( ) 1 n R x + дает остаточный член в форме Ла- гранжа, но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме Пеано: ( ) ( ) ( ) 1 n n R x o x x + = − 0 - бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с ( ) 0 n x x − Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 169 Частные случаи формулы Тейлора 1). При формула Тейлора называется формулой Маклорена: 0 0 x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 0 0 1! 2! ! n n n f f f f x f x x x R x n + ′ ′′ = + + + + + , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ! n n n f x R x x n θ + + + = + 0 1. θ < < ; 2). Рассмотрим ( ) 1 2 0 1 2 n n f x c c x c x c x = + + + + - многочлен порядка . n Поскольку ( ) ( ) 1 0 n x f x + ∀ = , то x ∀ ( ) 1 0 n R x + = и ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 1! ! n n f x f 0 f x f x x x x x n ′ = + − + + − Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка можно представить в виде многочлена по степеням n ( ) 0 x x − Пример: Многочлен разложить по степеням 1 5 3 2 2 3 + + − x x x ) 1 ( + x Решение: 1 5 3 2 ) ( 2 3 + + − = x x x x f ; 1 0 − = x ; 9 ) 1 ( − = − f Ищем коэффициенты формулы Тейлора: ; 0 ) ( 0 ) ( ; 12 ) 1 ( 12 ) ( ; 18 ) 1 ( 6 12 ) ( ; 17 ) 1 ( 5 6 6 ) ( ) ( 2 = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ = = − ′′′ → = ′′′ − = − ′′ → − = ′′ = − ′ → + − = ′ x f x f f x f f x x f f x x x f n IV ) 1 ( ! 3 12 ) 1 ( ! 2 18 ) 1 ( ! 1 17 9 ) ( 3 2 + + + − + + − = x x x x f Учитывая, что ; 1 ! 1 = 2 1 ! 2 ⋅ = ; 3 2 1 ! 3 ⋅ ⋅ = , получим ответ: 3 2 2 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 9 ) 1 ( 17 9 1 5 3 2 + + + − + + − = + + − x x x x x x Лекция 16 170 Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций 1. ( ) x f x e = , ( ) 0 1 f = , ( ) x f x e ′ = , ( ) 0 1 f ′ = , ( ) x f x e ′′ = , ( ) 0 1 f ′′ = , ( ) ( ) n x f x e = , ( ) ( ) 0 1 n f = . ( ) 2 1 1 1! 2! ! n x n x x x e R x n + = + + + + + ( ) ( ) , 1 1 1 ! x n n e R x x n θ + + = + 2. ( ) sin f x x = ; ( ) 0 0 f = , ( ) ( ) ( ) cos sin ; 0 1, 2 f x x x f π ′ ′ = = + = ( ) ( ) ( ) sin sin 2 ; 0 0, 2 f x x x f π ′′ ′′ = − = + = ( ) ( ) ( ) cos sin 3 ; 0 1, 2 f x x x f π ′′′ ′′′ = − = + = − …………………………………………….., ( ) ( ) ( ) sin 2 n f x x n π = + , n – нечетное, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0, 0 sin 2 1 , n n f n π − ⎧⎪ = = ⎨ − ⎪⎩ n - четное ( ) ( ) 3 5 2 1 2 2 sin 1 3! 5! (2 1)! n n n x x x x x R n + + = − + + + − + + x Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x . ! 3. ( ) cos f x x = , ( ) 0 1 f = , ( ) ( ) ( ) 2 cos n f x x n π = + , n – четное, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, 0 cos 2 1 , n n f n π ⎧⎪ = = ⎨ − ⎪⎩ n - нечетное ( ) ( ) 2 4 2 2 1 cos 1 1 2! 4! (2 )! n n n x x x x R x n + = − + − + − + Четная функция cos x разложена по четным степеням x . ! Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 171 4. ( ) ( ) ln 1 f x x = + ( ) 0 0 f = , ( ) 1 1 f x x ′ = + , ( ) 0 1 f , ′ = ( ) ( ) 2 1 1 f x x ′′ = − + , ( ) 0 1 f ′′ = − , ( ) ( ) 3 2 1 f x x ′′′ = + , ( ) 0 1 f 2 ′′′ = ⋅ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 1 n n n n f x x − − − = + ! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 n n f n − 1 ! = − − ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 ln 1 1 2 3 n n n x x x x x R n − + + = − + − + − + x 5. ( ) ( ) 1 f x x α = + , где α -любое вещественное число. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ... 1 1 1 2! ! n n n x x x x R n α α α α α α α + − − − + + = + ⋅ + + + + x Частный случай n α = : ( ) ( ) 2 1 ! 1 1 2! ! n n n n n x x nx x n − + = + + + + - формула бинома Ньютона. Формулы Маклорена для элементарных функций: 2 3 1 1. 1 ; 0 1. 2! 3! ! ( 1)! n n x x x x x x e x e n n θ θ + = + + + + + + < < + ( ) 3 5 2 1 2 2 2 2 2. sin ... ( 1) sin( ); 0 1. 3! 5! 2 1 ! (2 2)! 2 n n n x x x x n x x x n n θ π θ + + + = − + − + − ⋅ + ⋅ + < < + + ( ) 2 4 2 2 1 2 1 3. cos 1 ... ( 1) cos( ); 0 1. 2! 4! 2 ! (2 1)! 2 n n n x x x x n x x n n θ π θ + + = − + − + − ⋅ + ⋅ + < < + 2 3 4 1 1 ( 1) 4. ln(1 ) ... ( 1) ; 0 1. 2 3 4 ( 1)! (1 ) n n n n n x x x x x x x n n x θ θ + − − ⋅ + = − + − + + − + < < + ⋅ + Лекция 16 172 Оценка остаточного члена Пусть ( ) f x такова, что и n ∀ x ∀ из окрестности точки 0 x ( ) ( ) n f x M ≤ Рассмотрим остаток: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 ( ) 1 ! n n n f R x x x n ξ + + + = − + 1 1 0 ( 1) 1 0 1 ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n x x R x f x x M n n ξ + + + + − = ⋅ ⋅ − ≤ + + , 0 x x ∀ − при n → ∞ ( ) 1 0 0 1 ! n x x n + − → + и остаточный член может быть сделан сколь угодно малым пу- тем увеличения n . Итак, если ( ) f x обладает указанным выше свойством, то формулу Тей- лора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью. Приложения формул Тейлора и Маклорена 1). Для вычисления приближенных значений функций: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 1! ! n n f x f x 0 f x f x x x x x n ′ ≈ + − + + − Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. ( ) 1 n R x ε + ≤ , где ε - погрешность. Пример: Вычислить с точностью e 3 10 ε − = Рассмотрим 0 , 1, 0 x e x x = = 1 1 1 1 1 (1) 1! 2! ! n e R n + = + + + + + , ( ) ( ) 1 1 , 0 1 ! n e R n θ θ + 1 = < < + ( ) ( ) 1 1 1 ! n e R n + < + , 3 e < ⇒ ( ) ( ) 1 3 1 1 ! n R n ε + < ≤ + Найдем наименьшее , удовлетворяющее условию n ( ) 3 0,001 1 ! n ≤ + : 6 n = 1957 1 1 1 1 2,714 1! 2! 6! 720 e = + + + + = = Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора 173 2). Для вычисления пределов функций: Пример: { } 3 5 3 3 3 3 0 0 0 sin 1 3! 5! 3! lim lim lim 3! x x x x x x x x x x x x x → → → − + + − − + − = = = − . В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: теорему Ролля (о нуле производной) и теорему Лагранжа (о конечных приращениях); правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей и способы его применения к неопределенностям вида 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∞ ⎣ ⎦ , [ ] 0 ⋅∞ , 0 0 0 , , 1 ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; вид многочленов Тейлора для основных элементарных функций. |