Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 22 из 47

Часть 2

Лекции 1 - 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Графическое описание поведения функции очень полезно, так как наглядность гра- фика делает его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функ- ции. Графики функций, получающиеся из графиков основных элементарных функций с помощью геометрических преобразований, очевидны. Графики сложных функций не мо- гут быть построены без использования дифференциального исчисления. В данных лекци- ях приводится общая схема исследования функций и ее теоретическое обоснование. По- следовательное применение этой схемы позволяет построить график любой сколь угодно сложной функции, возникающей в технических приложениях.
1.1. Исследование функций без привлечения производных
1.1.1. Точки разрыва
1.1.2. Асимптоты графика функции
1.1.3. Вертикальные асимптоты
1.1.4. Горизонтальные асимптоты
1.1.5. Наклонные асимптоты
1.2. Исследование функций с помощью первой производной
1.2.1. Монотонность функции
1.2.2. Локальный экстремум функции
1.2.3. Необходимые условия экстремума
1.2.4. Достаточные условия экстремума
1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции
2.1. Исследование функций с помощью второй производной
2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной
2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
2.2. Общая схема исследования функции и построения графика
2.3. Примеры исследования функций
1.1. Исследование функций без привлечения производных
Построение графика функции
( )
y
f x
=
применяется, как правило, для возможно более точной характеристики ходаизменения функции, точность расположения отдельных точек графика обычно представляет меньший ин- терес.

Лекции 1 - 2
176
1.1.1. Точки разрыва
Функция
( )
y
f x
=
называется непрерывной в точке
0
x
, если функция определена в точке x
0
и существуют пределы
0
lim
x
x 0
( )
f x
→ −
=
=
0 0
0
lim
( )
lim ( ),
x
x
x
x
f x
f
→ +
→
=
x и при этом
0 0
lim ( )
( ).
x
x
f x
f x
→
=
Точка
0
x
, в которой функция
( )
y
f x
=
обладает свойством непрерывно- сти, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае то ка
0
ч
x
называется точкой разрыва функции.
0 0
m
( )
Если односторонние пределы существуют, причем li
x
x
f x
→ −
=
=
0 0
lim
( )
x
x
f x
→ +
и функция
( )
y
f x
=
не определена в точке
0
x
или нарушено условие
0 0
lim ( )
( )
x
x
f x
f x
→
=
, то точка
0
x
называется точкой устранимого
разрыва.
Пример:
Исследовать поведение функции
( )
sinx
f x
x
=
в точке
0 0
x
=
В точке функция не определена, т.е.
0 0
x
=
0 0
x
= - точка разрыва.
В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел
0
sin lim
1
x
x
x
→
= , следовательно,
0 0
sin sin lim lim
1
x
x
x
x
x
x
→+
→−
=
= и
0 0
x
= является точкой устрани- мого разрыва.
Чтобы функция стала непрерывной в точке
0 0
x
= , доопределим ее, по- ложив
( )
( )
0 0
lim
x
f
f x
→
=
1
=
(так называемое доопределение по непрерыв- ности). Новая, доопределенная функция
( )
sin
0 1
0
x
, x
,
f x
x
, x
⎧
≠
⎪
= ⎨
⎪
=
⎩
будет не- прерывна на новой области определения – всей числовой оси.
Если односторонние пределы существуют, причем
0 0
0 0
lim
( )
lim
( ),
x
x
x
x
f x
f
→ −
→ +
≠
x то точка х
0
называется точкой разрыва 1-го ро-
да.
Пример:
Исследовать поведение функции
x
y
x
=
в точке
0 0
x
= .
В точке функция не определена, так как знаменатель равен нулю, т.е.
- точка разрыва.
0 0
x
=
0 0
x
=
О
О
О

Исследование функций и построение графиков
177
По определению модуля если
0
если
0
x,
x
x
;
x,
x
≥
⎧
= ⎨
.
−
<
⎩
Левый предел:
( )
0 0
0
lim lim lim
1 1
x
x
x
x
x
x
x
→−
→−
→−
−
=
=
=
− = − .
Правый предел:
0 0
0
lim lim lim 1 1
x
x
x
x
x
x
x
→+
→+
→+
=
=
=
= .
Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следователь- но, точка является точкой разрыва 1-го рода.
0 0
x
=
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бес- конечен, то точка
0
x
называется точкой разрыва 2-го рода.
О
Пример:
Определить точки разрыва функции
( )
1
x
f x
e
=
и исследовать характер разрыва.
Решение:
Функция разрывна в точке
0 0
x
= . Вычислим левый предел, учитывая, что
. Так как lim
0
x
x
e
→−∞
=
0 1
lim
x
x
→−
= −∞ ,
1 0
lim
0
x
x
e
→−
= .
Вычислим правый предел, учитывая, что lim
x
x
e
→+∞
= ∞
. Так как
0 1
lim
x
x
→+
= +∞ ,
1 0
lim
x
x
e
→−
= ∞ . Правый предел бесконечен, точка
0 0
x
= является точкой разрыва 2-го рода.
1.1.2. Асимптоты графика функции
Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.
О
1.1.3. Вертикальные асимптоты
Прямая
0
x x
= является вертикальной асимптотой графика функции
О
( )
y
f x
=
, если хотя бы одно из предельных значений
( )
0
lim
x x 0
f x
→ −
или
( )
0 0
lim
x x
f x
→ +
равно или
−∞
+∞

Лекции 1 - 2
178
Так, график функции
1
y
x
= имеет вер- тикальную асимптоту
0
x
=
, поскольку
0 0 1
lim
x
x
→ −
= −∞ ,
0 0 1
lim
x
x
→ +
= +∞ .
Для разыскания вертикальных асим- птот кривой
( )
y
f x
=
1)
находим на оси точки разрыва
Ox
функции
( )
f x ;
2)
выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции
( )
f x (слева или справа) равен или
. Пусть это будут точки
+∞
−∞
1 2
, ,...,
m
x x
x , тогда прямые
1
x x
= ,
2
x x
= ,…,
m
x x
=
будут вертикальными асимптотами графика функции
( )
y
f x
=
Например, для кривой
2 1
1
x
=
y
−
вер- тикальными асимптотами будут прямые
1
x
= −
1
и
x
=
. Вертикальная прямая
0
x x
= может оказаться асимптотой гра- фика функции
( )
y
f x
=
и в том случае, когда точка
0
x является концом интерва- ла, в котором определена функция
( )
f x .
Это будет тогда, когда
0
x - левый конец интервала
( )
0 0
lim или -
x x
f x
→ +
= +∞
0
∞
, либо когда x - правый конец интерва- ла
( )
0 0
lim или -
x x
f x
→ −
= +∞
∞
. Например, функция ln
y
x
=
определена в ин- тервале
0 x
< < +∞
, и для нее
0 0
lim ln
x
x
→ +
= −∞ , так что прямая
0
x
=
(ось
)
Oy
является вертикальной асимптотой графика функции ln
y
x
=
1.1.4. Горизонтальные асимптоты
Прямая называется
правой горизонтальной асимптотой графика
y b
=
функции
( )
y
f x
=
, если
( )
lim
x
f x
b
→+∞
= .
Прямая называется
левой горизонтальной асимптотой графика
y b
=
функции
( )
y
f x
=
, если
( )
lim
x
f x
b
→−∞
= .
Функция
( )
f x в этом случае представима в виде
( )
( )
f x
b
x
α
= +
, где
( )
lim
0
x
x
α
→±∞
= .

Исследование функций и построение графиков
179
Возможны следующие ситуации:
1) не существует ни левой, ни правой горизонтальной асимптоты (
( )
2
f x
x
= );
2) существует левая горизонтальная асимптота и не существует правой (
( )
x
f x
e
= ,
( )
lim
0
x
f x
→−∞
= ,
0
y
= - ле- вая горизонтальная асимптота);
3) существует правая горизонтальная асимптота и не существует левой (
( )
x
f x
e
−
=
,
( )
lim
0
x
f x
→+∞
= ,
0
y
= - правая горизонтальная асимптота);
4) обе горизонтальные асимптоты существуют, но не совпадают (
( )
arctg
f x
x
=
,
( )
lim
2
x
f x
π
→−∞
= −
,
2
y
π
= −
- ле- вая горизонтальная асимптота;
( )
lim
2
x
f x
π
→+∞
=
,
2
y
π
=
- правая горизонтальная асимптота;
5) обе горизонтальные асимптоты существуют и сов- падают (
( )
1
f x
x
=
,
( )
( )
lim lim
0
x
x
f x
f x
→−∞
→+∞
=
= ,
0
y
=
- урав- нение обеих горизонтальных асимптот).
1.1.5. Наклонные асимптоты
Прямая называется
правой наклонной асимптотой графика
y kx b
=
+
функции
, если
( )
y
f x
=
( )
(
)
lim
0
x
f x
kx b
→+∞
−
−
= .
В этом случае функция
( )
f x представима в виде
( )
( )
f x
kx b
x
α
=
+ +
, где
( )
lim
0.
x
x
α
→+∞
=
Существование асимптоты
y kx b
=
+
у кривой
( )
y
f x
=
при
x
→ +∞
оз- начает, что при
x
→ +∞
функция
( )
y
f x
=
ведет себя «почти как линейная

Лекции 1 - 2
180
функция», т.е. отличается от линейной функции
y kx b
=
+
на бесконечно ма- лую функцию при
x
→ +∞
Для того чтобы график функции
( )
y
f x
=
Т
имел при
x
→ +∞
наклонную асимптоту
y kx b
=
+
, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:
1)
( )
lim
x
f x
k
x
→+∞
= ; 2)
( )
lim
x
f x
kx
b
→+∞
−
=
⎡
⎤
⎣
⎦
Доказательство:
Необходимость. Пусть график функции
( )
y
f x
=
при
x
→ +∞
имеет асимптоту
y kx b
=
+
, т.е. для
( )
f x справедливо
( )
( )
f x
kx b
x
α
=
+ +
,
( )
0
x
α
→ при
+
x
→ ∞
Тогда
( )
( )
lim lim
x
x
f x
x
b
k
k
x
x
x
α
→+∞
→+∞
⎡
⎤
=
+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
=
,
( )
( )
lim lim
x
x
f x
kx
b
x
b
α
→+∞
→+∞
−
=
+
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
Достаточность. Пусть существуют оба предела и . Существование
k
b
предела для b позволяет утверждать, что разность
( )
f x
k
− x b
− является бесконечно малой функцией при
x
→ +∞
. Обозначив эту разность через
( )
x
α
, получим
( )
( )
f x
kx b
x
α
=
+ +
, где
( )
0
x
α
→ при
x
→ +∞
. Это оз- начает, что график функции
( )
y
f x
=
имеет наклонную асимптоту
y kx b
=
+
. Аналогично исследуется случай
x
→ −∞
Пример:
Найти асимптоты графика функции arctg
y x
x
= +
arctg arctg lim lim
1
x
x
x
x
x
x
k
k
x
x
+
−
→+∞
→−∞
+
+
=
=
=
= ,
(
)
lim arctg
2
x
b
x
π
+
→+∞
=
= ,
(
)
lim arctg
2
x
b
x
π
−
→−∞
=
= − , график имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: ле- вую
2
y x
π
= − и правую
2
y x
π
= + .

Исследование функций и построение графиков
181
Пример:
Построить график функции
2 3
2 2
2
−
+
−
+
=
x
x
x
x
y
без использования производной.
Решение:
Преобразуем выражение:
)
2
)(
1
(
)
3
)(
1
(
2 3
2 2
2
+
−
+
−
=
−
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
, ,
2 2
x
x
x
x
2 3
3 2
2
x
x
+
−
+
=
+ −
+
(
),
1
≠
x
3 1 2
1 1
2 2
2
x
( x
)
x
x
x
+
+
+
=
=
+
+
+
+ , т.е.
1 2
1 +
+
=
x
y
, (
1
≠
x
). График этой функ- ции получается смещением графика
x
y
1
= на две единицы влево, на од- ну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой
1
x
=
1.2. Исследование функций с помощью первой производной.
1.2.1.
Монотонность функции
Пусть функция
( )
f x определена на отрезке
[ ]
,
a b . Если для любых
О
[ ]
1 2
,
,
x x
a b
∈
2
из условия
1
x
x
< следует неравенство:
1)
( )
( )
1 2
f x
f x
≤
, то функция
( )
f x
неубывающаяна
[ ]
,
a b ;
2)
( )
( )
1 2
f x
f x
<
, то функция
( )
f x
возрастающаяна
[ ]
,
a b ;
3)
( )
( )
1 2
f x
f x
≥
, то функция
( )
f x
невозрастающая на
[ ]
,
a b ;
4)
( )
( )
1 2
f x
f x
>
, то функция
( )
f x
убывающаяна
[ ]
,
a b .
Функции всех этих типов носят общее название
монотонных; возрас- тающие и убывающие функции называются
строго монотонными.
Пусть функция
( )
f x : 1) непрерывна на отрезке
[ ]
,
a b ; 2) имеет произ-
Т
водную
( )
'
f x по крайней мере на интервале
( )
,
a b .
Для того чтобы функция
( )
f x на отрезке
[ ]
,
a b была неубывающей (не- возрастающей), необходимо и достаточно выполнение условия
( )
'
0
f x
≥

Лекции 1 - 2
182
(
( )
'
f x
≤ 0) для всех точек из интервала
x
( )
,
a b .
Доказательство:
Необходимость. Пусть функция
( )
f x
является неубывающей на отрезке
[ ]
,
a b . Докажем, что на интервале
( )
,
a b производная
( )
'
0
f x
≥ . Возьмем точки
x
и
x
x
+ ∆
в интервале
( )
,
a b . Так как по усло- вию
( )
f x неубывающая, то при любом
x
∆
(положительном или от- рицательном) знак
x
∆
и
(
)
( )
f x
x
f x
+ ∆ −
один и тот же, и поэтому
(
)
( )
0
f x
x
f x
x
+ ∆ −
≥
∆
Учитывая, что по условию в каждой точке
x
интервала
( )
,
a b существу- ет производная
( )
'
f x , из последнего равенства получим
( )
(
)
( )
0
'
lim
x
f x
x
f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
0
=
≥
∆
Итак, в любой точке интервала
( )
,
a b имеем
( )
'
0
f x
≥ .
Достаточность. Пусть
( )
'
f x
≥ 0 на интервале
( )
,
a b . Докажем, что функ- ция
( )
f x - неубывающая на отрезке
[ ]
,
a b . Действительно, пусть
1 2
x
x
<
- любые две точки отрезка
[ ]
,
a b .
( )
( )
( )(
)
2 1
2 1
'
f x
f x
f
x
x
ξ
−
=
−
По теореме Лагранжа
, где
1 2
x
x
ξ
< < . Так как в каждой точке x интервала
( )
'
f x
≥ 0
( )
,
a b , то и
( )
'
f
0
ξ
≥ . Кроме того
2 1
x
x
> . Поэтому
( )
( )
2 1
f x
f x
≥
. Итак, из неравенства
1 2
x
x
< следует неравенство
( )
( )
1 2
f x
f x
≤
, а это и означает, что на отрезке
[ ]
,
a b функ- ция
( )
f x неубывающая.
Таким образом, интервалы знакопостоянства производной
( )
'
f x явля- ются интервалами монотонности функции
( )
f x .
Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции): если
( )
'
f x
> 0 на интервале
( )
,
a b , то
( )
f x на отрезке
[ ]
,
a b воз- растает. Однако если
( )
f x возрастает на
[ ]
,
a b , то отсюда не следует, что
( )
'
0
f x
> всюду на интервале
( )
,
a b .