Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 i Решение: Запишем число i в показательной форме: 2 i w i e π = = ; 2 4 4 2 8 2 4 z w 2 i k k i i e e e π π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = 3 Возможно четыре различных значений корня, соответ- ствующих 0,1, 2, k = : 8 0 , ( i z e π 0) k = = , ( ) 8 2 1 , ( 1) i z e k π π + = = , ( ) 8 2 , ( 2) i z e k π π + = = , ( 3 ) 8 2 3 , ( 3) i z e k π π + = = получен из корня поворотом на 1 z 0 z π 2 против часовой стрелки, из поворо- том на 2 z 0 z π и т.д. ! Пример: Вычислить 6 1 3 i + ; изобразить схематично зна- чения корня на комплексной плоскости. Решение: 3 1 3 2 i w i e π = + = ; 1 6 6 2 3 2 2 ; ; 0,1, 2,3, 4,5 6 k z k π π θ + = = = = Начальный аргумент при 0 = k равен 18 π θ = Значения корня: 7 1 6 6 6 18 18 18 1 2 3 2 , 2 , 2 i i 3 i z e z e z e π π π = = = , 19 25 31 6 6 6 18 18 18 4 5 6 2 , 2 , 2 i i i z e z e z e π π π = = = Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шести- угольника на окружности радиусом 6 2 . Пример: Решить уравнение 0 1 2 = + + z z Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая 1 i − = , имеем: 2 3 1 , 2 3 1 2 1 i z i z − − = + − = Рассмотренное уравнение имело вещественные коэффициенты. Пусть ко- эффициенты комплексные. Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 207 Пример: Решить уравнение 0 5 ) 2 3 ( 2 = − + + − + i z i z По формуле квадратного уравнения 2 3 2 2 3 4 5 3 2 15 8 2 2 ( i ) ( i ) ( i ) i i z − − + + − − − − + − − = = Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим 8 15 iy x i + = − − Возводим обе части в квадрат и находим ixy y x i 2 8 15 2 2 + − = − − , откуда ; 15 2 2 − = − y x 8 2 − = xy Эта система имеет решения: поэтому ; 4 , 1 , 4 , 1 2 2 1 1 = − = − = = y x y x 1 2 ) 4 1 ( 2 3 , 3 2 2 ) 4 1 ( 2 3 2 1 i i i z i i i z + = + − + − = − = − + − = 3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента Если каждому действительному t ставится в соответствие комплексное z, то z = называют комплекснозначной функцией действительного аргумента. ( ) z t О i z e ϕ = - комплекснозначная функция действительного аргумента ϕ . В алгебраической форме: . Так как соответствует вектору с координатами ( ) ( ) ( ) z t x t i y t = + ( ) z t ( ) х t и , то задание функции эквивалентно заданию вектора функции скалярного аргумента. ( ) y t ( ) z t Теория комплекснозначных функций скалярного аргумента совпадает с теорией векторной функции скалярного аргумента. ( ) = ( ) + ( ) z' t x t iy t ′ ′ - формула дифференцирования комплекснозначной функ- ции. 4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена О Многочленом называется функция вида: 2 0 2 1 0 ( ) ; 0 n n n n n P z a z a z a z a a − − = + + + + ≠ , где n – степень многочлена (n – натуральное), а коэффициенты могут быть как действительными, так и комплексными, z – комплексная переменная. При многочлен называется приведённым. 0 ,..., a a n 0 1 a = О Рациональной дробью называется отношение двух многочленов Лекции 3 - 4 208 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) m m m m n n n n P z b z b z b z b P z a z a z a z a − − − − m n + + + + = + + + + При дробь называется правильной, при дробь называется не- правильной. m n < m n ≥ Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби; вид многочлена находится при делении «уголком» или по схеме Горнера. Свойство деления можно записать следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m l n n R z P z Q z P z P z = + Здесь , ( ) l Q z ( ) p R z - многочлены степени l и p соответственно; ( ) l Q z - частное (целая часть дроби); l m ≤ l + , n = m ( ) p R z - остаток ( p < n ). Пример: 3 2 2 2 2 3 6 3 3 4 2 1 1 1 z z z z z z z z z + + − − = + + + + + + Если ( ) 0 p R z = m l n P ( z ) Q ( z ) P ( z ) ⇒ = ; m n P ( ) P ( ) ( ) l z z Q z = ⋅ . В этом случае говорят о делении нацело. ! О Корнем многочлена называют число , удовлетворяющее уравнению или в развёрнутом виде. ( n P ) z 0 z 0 ) z P Q ( 0 ( ) 0 n P z = 2 0 2 1 0; 0 n n n n a z a z a z a a − − + + + + = ≠ . Данное уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени. Т Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении на (z-a), равен m ( P ( ) m P a Доказательство: По условию . По основному свойству: , . Тогда n 1 (z) P (z) z-a = = l m-1 z) Q (z) = p 0 R ( ) ( ) z R z R = = 1 0 ( ) ( ) ( ) m m P z Q z z a R − = ⋅ − + Положим , тогда получим равенство z a = m 0 ) a R P ( = , что и требовалось доказать. Для того чтобы многочлен делился на выражение без остат- ка, необходимо и достаточно, чтобы число ( ) n P z (z z -a) a = было корнем этого мно- гочлена. Таким образом, если 0 z z = - корень , то . Другие корни следует искать из уравне- ния: и т.д. ( n P n ) z 0 1 ( ) ( ) ( ) n P z z z Q z − = − ⋅ ( ) n P z n-1 Q ( ) 0 z = С Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 209 Пример: Проверить, что 1 = z является корнем многочлена и найти другие корни многочлена. 5 3 ) ( 2 3 3 − + + = z z z z P Решение: Так как 0 5 3 1 1 ) 1 ( 3 = − + + = P , то 1 = z является корнем многочлена и многочлен ) делится на ) ( 3 z P ( 3 z P 1 − z без остатка. 0 5 5 5 5 2 2 3 2 5 2z 1 | 5 3 ). 5 2 2 )( 1 ( ) ( 3 2 2 2 2 3 2 3 − − − − + − + + − − − + + − + + − = ⇒ z z z z z z z z z z z z z z z z z P Для отыскания других корней многочлена решим уравнение : 0 5 2z 2 = + + z 2 1 5 1 1 i z ± − = − ± − = Итак, многочлен имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня , 5 3 ) ( 2 3 3 − + + = z z z z P 1 1 = z i z 2 1 2 + − = 2 1 3 i z − − = О Если , где k n 0 P ( ) ( ) ( ) n k z z z Q z − = − ⋅ n-k 0 Q ( ) 0, z ≠ то называют корнем кратности к многочлена ( ) . 0 z n P z Пример: 3 2 3 ( ) 3 3 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) ; P z z z z z z z z = + + + = + + + = + 3 1 0 − = z - корень кратности 3. 4.2. Основная теорема алгебры Любой многочлен при имеет хотя бы один корень (действи- тельный или комплексный). n P ( z ) n 1 ≥ Т 1). Каждый многочлен имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. n P ( z ) n С 2). (с учетом теоремы Безу) Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида k z z − и множитель, равный коэффици- енту при . n z n 0 1 2 P ( z ) a ( z z )( z z )...( z z ) = − − − n Для случая кратных (повторяющихся) корней формула группируется следующим образом: Лекции 3 - 4 210 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ...( ) m k k k n n m P z a z z z z z z = ⋅ − ⋅ − − (*) здесь – корни кратности , i z i k 1 2 i , , ,m = … , 1 2 m k + k + ...+ k = n Рассмотрим случай многочленов с действительными коэффициентами. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет ком- плексный корень n P ( z ) 0 z = + i α β кратности к, то он имеет и комплексно- сопряженный корень 0 z i α β = − той же кратности. Т Вывод: комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами. Т Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линей- ные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим линейные множители вида i z ) ( z − , где - действительное число, и объединим множители вида i z ( )( l z z z z ) l − − , где - комплексное число. Тогда l z 2 ( ) ( ) ( ) l l l l l l z z z z z z z z z z − ⋅ − = − + + ⋅ Но ( ) ( ) 2 , l l z z i i α β α β + = + + − = α 2 2 ( ) ( ) l l z z i i α β α β α β ⋅ = + ⋅ − = + являются действительными числами, обозначим их p и q соответственно. Тогда 2 ( )( ) l l z z z z z pz q − − = + + , где p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами имеет следующее раз- ложение: ) ( z P n 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s i n i P z a z z z z z z = − − − … 2 2 1 1 1 ( ) ( k k j j j z p z q z p z q + + + + … ) , где 1 2 1 2 2 i j s s s k k + + + + + + = … … n ) ! Данное выражение представляет собой произведение множителей двух типов: 1). Линейные множители ( i s i z z − , где - действительный корень крат- ности . i z i S 2). Квадратичные множители ( ) j k 2 z pz q + + с действительными коэффициентами p, q и отрицательным дискриминантом Данные множители 2 -4q 0 D p = < ( ) j k 2 ( ) ( ) j k j z pz q z z z z j ⎡ ⎤ + + = − ⋅ − ⎣ ⎦ соответствуют паре комплексно-сопряженных корней , j z z j кратности k . j Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 211 Пример: Разложить на множители 3 ( ) 1 P x х = + . Линейные множители (действительные корни): 1 1 x = − ; делится на без остатка, 3 х 1 + х 1 + ( ) 2 3 х 1 ( 1)( 1) P х х х х = + = + − + , у трехчлена действи- тельных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней: 2,3 1 1-4 1 3 1 3 1 1 3 2 2 2 i x ± ± − ± ⋅ − ± = = = = 2 , ( ) ( ) 1 3 1 3 1 2 2 i i P x x x x ⎛ ⎞⎛ + − = + − − ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 4.3. Примеры решения задач Пример: Разложить на множители многочлен 1 ) ( 4 4 + = z z P Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим ком- плексные корни: 2 4 4 4 1 0 1 0 i( k ) i z i e ; i e π π π + = − + = − + = ; где 3 ; 2 ; 1 ; 0 = k Корни многочлена: 4 7 4 4 5 3 4 3 2 4 1 ; ; ; π π π π i i i i e z e z e z e z = = = = Пары ; - сопряженные: объединим попарно сомножители: 4 1 , z z 3 2 , z z ); )( )( )( ( 1 3 2 4 1 4 z z z z z z z z z − − − − = + 4 2 2 1 4 1 4 2 3 2 3 1 ( ( ) )( ( ) ) z z z z z z z z z z z z z + = − + + − + + , 1 4 7 7 cos sin cos sin 4 4 4 4 z z i i π π π π + = + + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i + + − = , 1 4 1 z z ⋅ = Аналогично, 2 3 2 3 2, 1 z z z z + = − ⋅ = . Тогда ). z z )( z z ( z ) z ( P n 1 2 1 2 1 2 2 4 + − + + = + = |