Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: 2 2 2 ln2 x x x u x dv dx x dx du dx v ⎧ ⎫ = = ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ = = ⎨ ⎬ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 ln2 ln2 ln2 ln2 x x x x x x dx C ⋅ ⋅ − = − + ∫ Пример: sh sh ch u x dv x dx x x dx du dx v x = = ⎧ ⎫ = = ⎨ ⎬ = = ⎩ ⎭ ∫ ch ch ch sh x x x dx x x x C − = − + ∫ 2. В интегралах вида ( )ln k P x x d ∫ x , ( )arcsin k P x x dx ∫ , ( )arccos k P x x dx ∫ , , ( )arctg k P x x dx ∫ ( )arcctg k P x x ∫ dx за u обозначается логарифм или обратная тригонометрическая функция. Пример: 2 arctg , arctg , 1 u x dv dx x dx dx du v x x = = ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ = = ⎪ ⎪ + ⎩ ⎭ ∫ ( ) 2 2 1 arctg arctg ln 1 1 2 xdx x x x x x C x − = − + + ∫ + ! Лекции 5 - 6 226 Пример: ( ) ( ) = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⋅ = = = = ∫ x v x dx x du dx x dv x u dx x x cos cos tg 1 sin tg ln tg ln sin 2 ( ) ( ) ( ) = + − = ⋅ − − − = ∫ ∫ x dx x x x dx x x x x sin tg ln cos cos tg 1 cos tg ln cos 2 = ( ) cos ln tg ln tg 2 x x x C − + + 5.4.4. Возвратное интегрирование Так называемое возвратное интегрирование применяется при вычис- лении интегралов вида: , cos ax e bx d ∫ sin ax e bx d x x ∫ , ( ) cos ln x dx ∫ , ( ) sin ln x dx ∫ и подобных. Пример: sin ax e bx d ∫ x . Обозначим . Тогда ∫ = dx bx e I ax sin = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = = = ∫ b bx cos v dx ae du dx bx sin dv e u dx bx sin e ax ax ax 1 1 1 cos cos cos ax ax ax a a e bx e bx dx e bx I b b b b = − + = − + ∫ Полученный интеграл 1 I возьмем по частям: 1 cos 1 cos cos sin sin 1 sin sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax u e dv bx dx I e bx dx e bx bx b du ae dx v b a bx a a bx a e e bx dx e bx e b b b b b b b ⎧ ⎫ = = ⎪ ⎪ = = = − ⎨ ⎬ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ + − = − + − ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭ ⎩ ∫ ∫ I + ⎫ ⎬ ⎭ То есть I b a bx e b a bx e b I ax ax 2 2 2 sin cos 1 − + − = . Выразим отсюда искомый интеграл I : ( ) C b a bx b bx a e dx bx e ax ax + + − = ∫ 2 2 cos sin sin 6.1. Интегрирование рациональных дробей О Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов Неопределенный интеграл 227 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) m m m m n n n n P x b x b x b x b m n R x a x a x a x a − − − − + + + + = + + + + 6.1.1. Интегрирование простейших дробей О Правильные дроби четырех типов: 1) A x a − ; 2) ( ) k A x a − , где – целое положительное число, , k 1 > k 3) 2 Ax B x px q + + + ; 4) ( ) 2 k Ax B x px q + + + , где 2 x px q + + – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом 2 0 4 p q − < , называют простейшими дробями. Методы интегрирования простейших дробей 1. ( ) ln d x a Adx dx A A A x x a x a x a − = = = − − − − ∫ ∫ ∫ a C + ; ln Adx A x a C x a = − + − ∫ 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n x a Adx A x a d x a A C n x a − + − − = − − = + = − + − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 n A C n x a − ⋅ + − − ; ( ) ( ) 1 1 1 n n Adx A C n x a x a − = ⋅ + − − − ∫ 3. Для вычисления интеграла 2 Ax B dx x px q + + + ∫ разобьем его на два интегра- ла, первый из которых a I в числителе содержит дифференциал знамена- теля, а второй b I не содержит x в числителе. Обозначим ( ) 2 2 u x px q du x p dx = + + ⇒ = + 2 Ax B dx x px q + + + ∫ 2 2 2 / 2 a b I I A x p B Ap dx dx 2 x px q x px q + − = + + + + + ∫ ∫ ; Лекции 5 - 6 228 2 ln ln 2 2 a A A I u C x px q C = + = + + + , 2 2 2 2 2 4 b Ap dx I B p p x px q ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ Здесь мы выделили полный квадрат в знаменателе и учли, что 2 0 4 p q − > . Сделаем замену переменной 2 / 2, , / 4. t x p dt dx a q p ⎧ ⎫ = + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ , тогда 2 2 2 2 / 2 / 2 arctg 2 / 4 / 4 b Ap dt B Ap x p I B C t a q p q p − + ⎛ ⎞ = − = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ − − ∫ 4. Рассмотрим интеграл ( ) 2 k Ax B dx x px q + + + ∫ Аналогично тому, как это было сделано для интеграла 3, заменим ( ) 2 2 u x px q du x p dx = + + ⇒ = + Разобьем интеграл на два интеграла: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 / 2 2 2 k k I I B Ap Ax B A x p dx dx dx x px q x px q x px q − + + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ a b k ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 1 k a k k A du A u A I C C u k k x px q − + − = = ⋅ + = − ⋅ − − + + ∫ + ( ) 2 2 / 2, 2 / 4 b k t x p Ap dx I B a q p x px q = + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = − = = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + + ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ( ) 2 2 2 2 k k Ap dt Ap B B I t a ⎛ ⎞ ⎛ = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ∫ ⎞ ⎟ , где ( ) 2 2 k k dt I t a = + ∫ Неопределенный интеграл 229 Вычислим ( ) 2 2 k k dt I t a = = + ∫ 2 2 2 2 1 1 ( ) - 2 ( ) k k u dv = dt t a k tdt du v t t a + ⎧ ⎫ = ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎪ + ⎩ ⎭ 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) k k t t a a k d t a t a + + − t + = + + ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) k k t dt k ka t a t a t a 1 k dt + = + − + + + ∫ ∫ Имеем 2 2 2 2 2 ( ) k k k t k+1 I kI ka I t a = + − + ; 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 k k k t k I I ka t a ka + − = + + Получена рекуррентная (возвратная) формула, выражающая значение инте- грала от - й степени через значение интеграла от - й степени. Зная 1 k + k 1 2 2 1 arctg dt t I C t a a a = = + ∫ + , по формуле можно найти 2 I , затем, используя 2 I , найти 3 I и т.д. Пример: ∫ + + − dx x x x 1 1 2 Правильная дробь типа 3. ( ) = + + − − + + + + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + + = = + + − ∫ ∫ ∫ dx x x dx x x x dx x dt x x t dx x x x 1 2 / 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 b a I I x x dx t dt ∫ ∫ + + − = 1 2 3 2 1 2 C x x C t I a + + + = + = 1 ln 2 1 ln 2 1 2 , ( ) ( ) = + − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = = + + − = ∫ ∫ 2 2 2 2 / 3 2 3 , 2 / 1 4 / 3 2 / 1 2 3 v dv dx dv x v x dx I b ( ) 1/ 2 2 3 2 2 3 3 x arctg C + ⋅ = − ⋅ + Ответ: C x x x + + − + + 3 1 2 arctg 3 1 ln 2 1 2 Лекции 5 - 6 230 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби ( ) ( ) m n P z dz P z ∫ 1. Если дробь ( ) ( ) m n P z P z неправильная ( m ), то путем деления числителя на знаменатель получают многочлен и правильную рациональную дробь. n ≥ n ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) p m l n R z P z Q z P z z = + , где , ( ) l Q z ( ) p R z - многочлены степени l и p со- ответственно; - частное (целая часть дроби); ( l Q z ) , l m l n = m ≤ + ( ) p R z - остаток ( < p n ). 2. Интегрируют многочлен. 3. Находят корни знаменателя правильной рациональной дроби и разлага- ют знаменатель на квадратичные и (либо) линейные множители с веще- ственными коэффициентами. 4. Записывают разложение полученной правильной дроби на простейшие. 5. Интегрируют каждую простейшую дробь. Вывод: интеграл от рациональной дроби выражается через элементарные функции: рациональные дроби, arctg( и ln ) t ( ) t Пример: Вычислить ( ) ( ) 2 1 2 xdx x x − − ∫ Решение: Разлагаем правильную дробь ( ) ( ) 2 1 2 x x x − − на сумму простейших: ( ) ( ) 2 1 2 x x x − − ( ) ( ) ( -1) 1 2 A B C x x x = + + + − ; ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1) x A x x B x x C x x = + − + − − + − + ; 1 1:1 2 , 2 x A A = = − = − ; 1 1: 1 ( 2)( 3), 6 x B B = − − = − − = − ; 2 2 : 2 (1)(3), 3 x C C = = = ( ) 2 1 1 2 ( 1)( 2) 2 1 6( 1) 3( 2) x x x x x x = − − + − − − + − По свойству линейности: 2 1 1 2 ( 1)( 2) 2 1 6 1 3 2 x dx dx dx x x x x x dx = − − + − − − + − ∫ ∫ ∫ = ∫ 1 1 2 ln 1 ln 1 ln 2 2 6 3 x x x = − − − + + − + C Пример: Неопределенный интеграл 231 Вычислить ( ) 6 4 2 2 2 2 2 1 1 x x x dx x x + + − + ∫ ( ) 6 4 2 2 2 2 2 1 x x x x x + + − + 1 - неправильная дробь. Выделим целую часть: 6 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x + + − − = + + + 2 Разложим правильную дробь на сумму простейших ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x -1 x(x 1) 1 1 2 A B x D B x D x x x + + = + + + + + 2 2 2 2 1 1 2 -1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 x A x x x B x D x B x D = + + + ⋅ + + + ; 4 4 4 1 1 3 1 2 1 2 2 1 2 2 0 : 1 ; : 0, 0, : 0; : 2 1, 2; : 0, 0; x A x Ax B x A B B x D x A B B B x D D D = − = 1 1; + = + = = = + + = = + = = ( ) 2 2 2 2 2 2 x -1 1 2 x(x 1) (x 1) 1 x x x x = − + + + + + ; ( ) 6 4 2 2 2 2 2 1 1 x x x dx x x + + − = + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 dx x x xdx dx dx x x x = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 2 2 1 1 d x d x x x x x + + = − + + + + ∫ ∫ = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ln ln 1 2 2 1 x x x C x = − + + − + + |