Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
любом выборе точек max 0 i i ξ ( ) 1 n i i i = n S f x ξ = ∑ стремится к одному пределу S, то этот предел называется определенным интегралом от ( ) f x на [ ] , обо- значается a b и ( ) b a f x dx ∫ . Таким образом, по определению lim b n ( ) ( ) 0 1 i i i max x i a f x dx f x = ξ ∑ ∫ ; а называется нижним пределом интеграла верхним пределом. Если → = , b – ∃ ( ) b a f x dx ∫ , то ( ) f x называется интегрируемойна [ ] , a b . y 0 x 1 ξ 1 x 1 − n x x n x О О О Рис. 1.1 + + – Определенный интеграл 247 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла Геометрически определённый интеграл ( ) b a f x dx ∫ представляет собой ал- гебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус. 7.3. Теоремы существования Если ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то она интегрируема на [ ] , a b . Если ( ) f x кусочно-непрерывна на [ ] , a b (имеется конечное число точек разрыва первого рода), то она интегрируема на [ ] , a b . Если ( ) f x монотонна на [ ] , a b , то она интегрируема на [ ] , a b . В определении ( ) b a f x dx ∫ пределы удовлетворяют ограничению a b < Снимем это ограничение. Если a b < , то ( ) ( ) b a a b f x dx f x d = − ∫ ∫ x . Пусть также ( ) 0 a a f x dx = ∫ Пример: Вычислить как предел интегральных сумм. b a kxdx ∫ Решение: i b a x x n − = = ; 0 1 0 2 1 0 ; ; 2 . x a x x x x x x x x = = + = + = + Пусть 1 i i x ξ − = (левые концы каждого отрезка) 1 0 x ξ = ; 2 1 x ξ = и так далее. ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n i i i i i k b a b a S f x kx x n n ξ 1 n i i − − = = − − = = ⋅ = ∑ ∑ ∑ = = ( ) ( ) ( ) 1 i k b a b a a i n n − − ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ = ! Т Т Т Лекции 7 - 8 248 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 i i k b a b a k b a b a n n a i na n n n n − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ = + − = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ∑ ∑ ⎤ = ⎥ ⎦ ( ) ( ) { } 2 2 2 an bn b a n k b a n n + − − − = Пусть , ( ) 0 n x → ∞ → ( ) 2 2 lim 2 n n k S b a →∞ = − , ( ) 2 2 2 b a k kxdx b a = − ∫ 7.4. Свойства определенного интеграла 1. Независимость величины интеграла от обозначения переменной интег- рирования: ( ) ( ) b b a a f x dx f t dt = ∫ ∫ 2. Линейность определенного интеграла. Если 1 f и 2 f интегрируемы на [ ] , a b и А, В – произвольные числа, то [ ] 1 2 1 2 b b a a b a Af Bf dx A f dx B f d + = + ∫ ∫ x ∫ i = Доказательство: Для интеграла в левой части ( ) ( ) 1 2 1 n n i i i S Af Bf x ξ ξ = = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ = ( ) ( ) 1 2 1 1 n n i i i i i i Af x Bf x ξ ξ = = + = ∑ ∑ = ( ) ( ) 1 2 1 1 n n i i i i i i A f x B f ξ ξ = = + ∑ ∑ x . По условию ( ) ( ) 1 1 1 b n i i i a f x f x ξ = → ∑ ∫ dx , ( ) ( ) 2 2 1 b n i i i a f x f x ξ = → ∑ ∫ dx . Таким образом, правой части max 0 lim i x → ∃ 1 2 b b a a A f dx B f dx + ∫ ∫ ле- вой части ⇒ max 0 lim i x → ∃ [ ] 1 2 1 2 b b a a b a Af Bf dx A f dx B f dx + = + ∫ ∫ ∫ , что и требовалось доказать. 3. Аддитивность (разбиение промежутка интегрирования на части). Для любых трех чисел a , b , справедливо равенство: c ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ при условии, что все три интеграла существуют. Определенный интеграл 249 Доказательство: Пусть . Составим для a c b < < b a ∑ b a ∫ где - точка деления [ c ] , a b . c a ∑ соответствует ; соответствует c a ∫ b c ∑ b c ∫ , b c b a a c = + ∑ ∑ ∑ перей- дем к пределу при : ⇒ max 0 i x → ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ Если , то ; a b c < < c b c a a b = + ∫ ∫ ∫ b c c c b a a b a c = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Теоремы об оценке определенного интеграла Сохранение интегралом знака функции. Пусть 1) ( ) f x интегрируема на [ ] , a b ; 2) ( ) 0 f x ≥ для любых [ ] , x a b ∈ , тогда ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ Т Доказательство: ( ) 1 0 lim 0 n n i i n n i S f x S ξ →∞ = = ≥ ⇒ ∑ ≥ b a ∫ , то есть , что и требовалось доказать. ( ) 0 f x dx ≥ Интегрирование неравенств. Т Пусть 1) ( ) f x , ( ) g x интегрируемы на [ ] , a b ; 2) ( ) ( ) f x g x ≥ для любых [ ] , x a b ∈ , тогда: ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ Доказательство: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 b a f x g x f x g x dx − ≥ ⇒ − ≥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b b b b a a a a f x dx g x dx f x dx g x dx − ≥ ⇒ ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ Теорема об оценке. Пусть 1) ( ) f x интегрируема на [ ] , a b ( ; 2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции ) Т f x , тогда ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ Лекции 7 - 8 250 Доказательство: Из условия теоремы ( ) m f x M ≤ ≤ Интегрируем неравенство 1: ( ) b a dx Mdx ≤ ≤ ∫ b b a a mdx f x ∫ ∫ Из линейности ( ) b b a a mdx m dx m b a = = − ∫ ∫ Теорема о среднем. Если ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то такая, что [ ] , c a b ∃ ∈ ( ) ( ) ( ) b a f x dx b a f c = − ∫ Т Доказательство: Из теоремы об оценке ( ) ( ) x dx M 1 b a m f b a ≤ ≤ − ∫ , то есть ( ) ( ) 1 b a f x dx b a µ = − ∫ , где m M µ ≤ ≤ Так как ( ) f x непрерывна, то она принимает все промежуточные значе- ния между m и M. Следовательно, при некотором значении с [ ] ( ) , c a b ∈ ( ) f c µ = , то есть ( ) ( ) ( ) b a f x dx b a f c = − ∫ Число ( ) ( ) ( ) b a 1 f c f b - a = ∫ x dx называется средним значением функции ( ) f x на отрезке [ ] , a b . ! Пример: Оценить интеграл ∫ + 1 0 4 1 x dx Решение: Имеем 1 ≤ 1 + х 4 ≤ 2 при 0 ≤ х ≤ 1, 1 1 1 2 1 4 ≤ + ≤ x , т.е. m = 2 1 , М = 1, b − а = 1. Следовательно, 2 1 ≤ ∫ + 1 0 4 1 x dx ≤ 1. Определенный интеграл 251 Пример: Определить знак интеграла , не вычисляя его. ∫ − 1 1 3 dx e x x Решение: Разобьём интеграл на два e ∫ − 1 1 3 x x dx = e ∫ − 0 1 3 x x dx + e ∫ 1 0 3 x x dx = ={поменяем в первом интеграле пределы}= = е ∫ − − 1 0 3 x х dx + е ∫ 1 0 3 x х dx = ={заменим в первом интеграле х → (−х), тогда:}= = е ( ) ∫ − − 1 0 3 x − х d ( −x) + ∫ е 1 0 3 x х dx = e ∫ − 1 0 3 x −x dx + ∫ е 1 0 3 x х dx = = (e ∫ 1 0 3 x x − e − x ) dx, на отрезке х ∈[0, 1], х 3 ≥ 0, е х − е − х ≥ 0, следовательно, (e ∫ 1 0 3 x x − e − x ) dx ≥ 0, т.е. знак интеграла - плюс. Производная интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу) Рассмотрим некоторый промежуток [ ] , a b , ( ) f x - функция, интегрируе- мая на [ ] , a b , d – фиксированная точка из [ ] , a b , х – любая точка из [ ] , a b . Из интегрируемости ( ) f x на [ ] , a b следует интегрируемость ( ) f x на [ ] , d x . Ес- ли верхний предел меняется, то меняется и значение интеграла ( ) x d f t dt ∫ , т.е. можно сказать, что на [ ] , a b задана функция ( ) F x : ( ) ( ) x d F x f t dt = ∫ Функция ( ) F x называется интегралом с переменным верхним преде- лом. О Если ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , то - произ- водная от интеграла по переменному верхнему пределу равна результату подстановки значения верхнего предела в подынтегральную функцию ( ) ( ) ( ) x d F x f t dt f x ′ ⎧ ⎫ = = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∫ ′ ( ) f x . Т Доказательство: По определению производной ( ) ( ) ( ) 0 lim x F x x F x F x x → + − ′ = Лекции 7 - 8 252 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x d d F x x F x f t dt f t dt + + − = − ∫ ∫ = {из свойства аддитивности}= = ( ) ( ) ( ) x x x x d x d f t dt f t dt f t dt + + − = ( ) ( ) x x x ∫ ∫ ∫ f t dt f x µ + = ∫ , x x x µ < < + , ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x F x x F x f x µ → → + − = , так как x µ → при 0 x → , то ( ) ( ) ( ) 0 lim lim x x f f f x µ µ µ → → = = ⇒ ( ) ( ) F x f x ′ = Теорема Коши. Всякая непрерывная на [ ] , a b функция ( ) f x имеет в этой области первообразную или, так как первообразная определяется с точностью до константы, ( ) ( ) x a F x f t dt = ∫ ( ) ( ) x a F x f t dt C = + ∫ , C c onst − Т (Обобщение теоремы Барроу). Если функции ( ) x ϕ и ( ) x ψ дифферен- цируемы в точке х ∈ [ ] , a b и ( ) f t непрерывна при ( ) ( ) a t b ϕ ψ ≤ ≤ , то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f t dt f x x f x x ψ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ′ ⎛ ⎞ ′ ′ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ! Пример: I (х) = dt , найти I ′(х). ∫ − 2 2 0 x t e Решение: Учтём ϕ (х) = 0, т.е. ϕ ′(х) = 0, ψ (х) = х 2 I ′(х) = (х ( ) 2 2 x e − 2 ) ′ = 2х 4 x e − 7.5. Формула Ньютона-Лейбница Пусть ( ) f x непрерывна на [ ] , a b , тогда Т ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f x dx F b F a F x = − = ∫ Доказательство: По теореме Коши из условия непрерывности ( ) f x следует существова- ние ( ) ( ) x a F x f t dt C = + ∫ Определенный интеграл 253 Положим, x a = ⇒ , то есть ( ) ( ) a a F a f t dt C = ∫ + ( ) C F a = . Положим, x b = ⇒ ( ) ( ) ( ) b a F b f t dt F a = + ⇒ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f t dt f x dx F b F a = = − ∫ ∫ , что и требовалось. Таким образом, для вычисления определенного интеграла от непрерыв- ной функции ( ) f x нужно: 1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти |