Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что отрезок [a,b] – конечный, а функция f(x) ограничена на этом отрезке. При нарушении хотя бы одного из этих условий вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы. 9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость 9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач 9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку) 9.1.1. Основные определения Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, ∞ ). Тогда она непрерыв- на на любом промежутке [ ] , a b , где b>a, и существует интеграл ( ) b a f x dx ∫ . Н есобственным интегралом первого рода называется предел lim ( ) b b a f x dx →∞ ∫ и обозначается ( ) a f x dx ∞ ∫ Таким образом, lim b b a a f ( x )dx f ( x )dx ∞ →∞ = ∫ ∫ О Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. О Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка ( −∞ ,b]: lim b b a a f ( x )dx f ( x )dx →−∞ −∞ = ∫ ∫ , если этот предел существует и коне- Лекция 9 270 чен. Для функции ( ) f x , непрерывной на промежутке ( −∞ , ), несобствен- ный интеграл +∞ ( ) f x dx +∞ −∞ ∫ определяется равенством: c c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ , где с – любое число. Несобственный интеграл в левой части называется схо- дящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части. 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке [a, ∞ ). Вос- пользуемся формулой Ньютона-Лейбница для интеграла b a f ( x )dx ∫ Тогда lim lim lim b b b b a a f ( x)dx f ( x)dx [ F(b) F(a)] F(b) F(a) ∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = − = − ∫ ∫ Если обозначить через F(+ lim b F( b ) →+∞ ∞ ), то можно записать: a a f ( x )dx F( ) F( a ) F( x )| ∞ +∞ = +∞ − = ∫ Аналогично b b f ( x )dx F( x )| −∞ −∞ = ∫ , f ( x )dx F( x )| +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ , где F(- ∞ ) = . lim x F( x ) →−∞ Пример: Исследовать сходимость интеграла p a dx x +∞ ∫ Решение: При 1 p ≠ p a dx x ∞ ∫ = lim b p b a x dx − →+∞ ∫ = = 1 1 lim 1 b p b a x p − + →+∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ = 1 1 1 1 lim 1 1 p p b b a p p − + − →∞ − − + − + + Пусть р > 1, тогда 1 0 p − + < и 1 lim p b b − + →+∞ = 0, p a dx x +∞ ∫ = 1 1 1 p a p − + − − + , значит, при р > 1 интеграл сходится. Пусть р < 1, тогда 1 0 p − + > и 1 lim p b b − + →+∞ = ∞, т.е. интеграл p a dx x +∞ ∫ при р < 1 Несобственные интегралы 271 расходится. При 1 p = : p a dx x ∞ ∫ = ( ) ( ) lim ln lim ln ln b a b b x b a →∞ →∞ = − = ∞ . Интеграл расходится. Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: 1) 2 1 dx x +∞ ∫ ; 2) 1 dx x +∞ ∫ ; 3) ; 4) 0 cos xdx +∞ ∫ 0 x e dx −∞ ∫ ; 5) 2 1 dx x +∞ −∞ + ∫ Решение: Воспользуемся обобщенной формулой Ньютона-Лейбница: 1) 1 2 1 1 0 1 1 dx | ( ) x x +∞ ∞ = − = − − = ∫ (интеграл сходится). 2) 1 1 x dx ln x | lim ln x x +∞ ∞ →∞ = = = ∫ ∞ (интеграл расходится). 3) 0 0 cos sin lim sin x xdx x | x +∞ +∞ →+∞ = = ∫ . Этот предел не существует, поэтому 0 cosxdx +∞ ∫ - расходится. 4) (интеграл сходится). 0 0 0 lim 1 0 1 x x x x e dx e | e e −∞ →−∞ −∞ = = − = − = ∫ 5) 2 arctg 1 2 dx x | ( ) x π π 2 π +∞ +∞ −∞ −∞ = = − − + ∫ = (интеграл сходится). Выясним геометрический смысл несобст- венного интеграла 1-го рода. Пусть 0 f ( x ) ≥ на промежутке [a,+ ∞ ). Тогда b a f ( x )dx ∫ численно равен площади фи- гуры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ox , сверху – линией ( ) y f x = , слева и справа – прямыми x = a и x = b. При возрастании b прямая x = b, ограничивающая эту фигуру, двигается вправо, а интеграл b a f ( x )dx ∫ стре- Лекция 9 272 мится к интегралу a f ( x )dx ∞ ∫ . Поэтому величи- ну интеграла a f ( x )dx ∞ ∫ естественно принять за площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции ( ) y f x = , слева – прямой x = a. Аналогично b f ( x )dx −∞ ∫ для случая f(x) 0 чис- ленно равен площади бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью Oх, сверху кривой ≥ ( ) y f x = , справа прямой x=b. Пример: Вычислить площади бесконечных фигур, ограниченных осью Ох, линией y = f(x), прямой x = a, если а) ( ) 2 1 f x x = , a = 1, 1 x ≥ ; б) ( ) 1 f x x = , a=1, 1 x ≥ ; в) ( ) x f x e = , a=0, 0 x ≤ ; г) ( ) 2 1 1 f x x = + , ( , x ∈ −∞ +∞) Решение: Построим фигуры, ограниченные данными линиями А В Б Г Воспользуемся результатами примера 1. Несобственные интегралы 273 а) 2 1 1 dx S x +∞ = ∫ = ; б) 1 dx S x +∞ = = ∫ ∞ ; Фигура, изображенная на рис.б), имеет бесконечную площадь. в) ; г) 0 1 x S e dx −∞ = = ∫ 2 1 dx S x π +∞ −∞ = = + ∫ 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами Признаки сравнения 1. Пусть при а ≤ х < +∞, 0 ≤ f(х) g(х). Если сходится, то сходит- ся и ≥ ( ) a g x dx +∞ ∫ ( ) a f x dx +∞ ∫ , причем ( ) a f x dx +∞ ∫ ≤ . Если расходится ( ) a g x dx ∞ ∫ ( ) a f x dx +∞ ∫ , то расходится и ( ) a g x dx +∞ ∫ 2. Если при а ≤ х < +∞, f(х) > 0, g(х) > 0 и существует конечный предел ( ) ( ) lim 0 x f x g x →+∞ ≠ , то интегралы ( ) a f x dx +∞ ∫ , сходятся или расходят- ся одновременно. ( ) a g x dx +∞ ∫ 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость Если сходится ( ) a f x d +∞ ∫ x , то сходится и ( ) a f x dx ∞ ∫ . В этом случае ( ) a f x dx ∞ ∫ называется абсолютно сходящимся. О Если ( ) a f x dx ∞ ∫ сходится, а ( ) a f x dx +∞ ∫ a расходится, то ( ) f x dx ∞ ∫ называется условно сходящимся. О Из первого признака сравнения можно получить следующее утверждение. Лекция 9 274 Если при х → + ∞ функция f(х) > 0 является бесконечно малой порядка α по сравнению 1 x , то интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ сходится при α > 1 и расхо- дится при α ≤ 1. Признак сходимости Абеля Пусть f(х) >0 и g(х) определены и ограничены при а ≤ х < +∞, причем 1) ( ) a f x dx ∞ ∫ сходится; 2) g(х) монотонна и ограничена, const g( x ) k ≤ = Тогда сходится и интеграл ( ) ( ) a f x g x dx ∞ ∫ Пример: Вычислить 3 0 x e dx +∞ − ∫ Решение: Имеем = = 3 0 x e dx +∞ − ∫ 3 0 lim b x b e dx − →+∞ ∫ 3 0 1 lim 3 b x b e − →+∞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ( ) 3 1 lim 1 3 b b e − →+∞ − = 1 3 Несобственный интеграл сходится. Пример: Вычислить 1 2 dx x − −∞ ∫ Решение: 1 2 dx x − −∞ ∫ = 1 2 lim a a dx x − →−∞ ∫ = 1 1 lim a a x − →−∞ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 1 lim 1 a a →−∞ ⎛ + ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ = 1, т.е. предел существу- ет. Следовательно, искомый несобственный интеграл сходится. Пример: Исследовать на сходимость интеграл 2 2 ln dx x x +∞ ∫ Решение: 2 2 ln dx x x ∞ ∫ = 2 2 lim ln b b dx x x →∞ ∫ = 2 1 lim ln b b x →∞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 ln 2 , т.е. несобственный интеграл сходится. Пример: Т Несобственные интегралы 275 Исследовать на сходимость интеграл ( ) 3 1 1 x dx x +∞ + ∫ Решение: Имеем: ( ) 3 3 1 1 x x x x x + ≥ = , a dx x ∞ ∫ = 1 2 a dx x ∞ ∫ расходится (здесь р = 1 2 < 1). Следовательно, по признаку сравнения расходится и исходный интеграл. 9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) Пусть функция ( ) f x непрерывна на ин- тервале [a,b) и неограниченна вблизи b. Тогда функция непрерывна на любом от- резке [a,b 1 ], где а b ≤ 1 <b и, следовательно, существует интеграл 1 ( ) b a f x dx ∫ О Рассмотрим 1 1 0 lim ( ) b b b a f x dx → − ∫ . Этот предел называется несобственным ин- тегралом второго рода и обозначается ( ) b a f x dx ∫ . Таким образом, 1 0 m ( ) b a a 1 ( ) li b b b f x dx = f x dx → − ∫ ∫ Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходя- щимся, в противном случае несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично для функции f(x), непрерывной на промежутке (a,b] и неог- раниченной вблизи а, несобственный интеграл ( ) b a f x dx ∫ определяется следующим образом: 1 1 0 ( ) lim ( ) b b a a a a f x dx f x dx → + = ∫ ∫ Если этот правосторонний предел существует и конечен, то несобствен- ный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходя- щимся. Лекция 9 276 Пусть теперь функция ( ) f x непрерывна на отрезке [a,b] всюду, кроме некоторой точки c (a ( ) b a f x dx ∫ определя- ется равенством: ( ) b c a a ( ) ( ) b c f x dx f ∫ ∫ x dx f x dx = + ∫ Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то не- собственный интеграл ( ) b a f x dx ∫ называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Пусть ( ) F x – первообразная для функции ( ) f x на промежутке [a,b) и ( ) f x не ограничена вблизи b. Тогда 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( ) lim ( ) lim [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) b b b b b b b b a a f x dx f x dx F b F a F b F a → − → − → − = = − = ∫ ∫ − Если обозначить 1 1 0 lim ( ) b b F b → − через F(b), то получим следующий аналог формулы Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго ро- да: ( ) ( ) ( ) ( ) | b b a a f x dx F b F a F x = − = ∫ , где F(b)= 0 lim ( ) x b F x → − Аналогично для функции ( ) f x , не ограниченной вблизи а, ( ) ( ) | b b a a f x dx F x = ∫ , где 0 ( ) lim ( ) x a F a F x → + = Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: 1) 2 0 2 dx x − ∫ ; 2) 1 1 dx x − ∫ Решение: В первом интеграле подынтегральная функция ( ) 1 2 f x x = − не ограни- чена при x=2, поэтому интеграл 2 0 2 dx x − ∫ является несобственным. При- меним обобщенную формулу Ньютона-Лейбница: Несобственные интегралы 277 2 2 2 0 0 0 (2 ) 2 2 | (0 2 2) 2 2 2 2 dx d x x x x − = − = − − = − − = − − ∫ ∫ Во втором интеграле подынтегральная функция f(x)= 1 x не ограничена вблизи x=0. Поэтому, по определению, 1 0 1 1 1 0 dx dx dx x x x − − = + ∫ ∫ ∫ Рассмотрим интеграл 0 0 1 1 ln dx x x − − = = ∞ ∫ . Этот интеграл расходится, по- этому и интеграл 1 1 dx x − ∫ - расходится. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получи- ли бы неверный результат 1 1 1 1 ln 0 dx x x − − = = ∫ , что неверно. Рассмотрим геометрический смысл несобственного интеграла 2-го рода. Пусть ( ) f x 0 и ≥ ( ) f x – непрерывна на [a,b) и не ограничена вблизи b. То- гда 1 ( ) b a f x dx ∫ (b 1 < b) равен площади фигуры, ограниченной снизу отрезком [a,b 1 ] оси Ох, сверху – линией ( ) y f x = , слева и справа – прямыми x=a, x=b 1 При стремлении b 1 к b, прямая x=b 1 cтремится к прямой x=b. Поэтому 1 1 0 lim ( ) ( ) b b b b a a f x dx f x dx → − = ∫ ∫ естественно принять за площадь бесконечной фигу- ры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ох, сверху линией y = ( ) f x , слева и справа – прямыми x = a и x = b. |