Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: Лекции 7 - 8 262 Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли ρ 2 = а 2 сos2 ϕ Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади: S 4 1 = ∫ 4 0 2 2 cos 2 1 π ϕ ϕ d a = 4 0 2 2 2 sin 2 π ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a = 4 2 a , откуда S = а 2 a 2 x y a 8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах [ ] , a b 1 ( ) : L y f x = Разобьем на части 0 1 2 n a x x x x b = < < < < = На кривой обозначим точки 1 , ,..., , n A M M − B . Соеди- ним их хордами. Получим ломаную, состоящую из хорд. n 2 2 2 1 i i i i i y l x y x ⎛ ⎞ = + = + ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i x i i l - длина - хорды, - длина ломаной. По теореме Лагранжа 1 n n i l = = ∑ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' f b f a f c b a − = − имеем: ( ) ' i i i y f x ξ = , [ ] 1 , i i i x x ξ − ∈ , ( ) 2 1 1 ' n n i i l f ξ = = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ i x l → Пусть , l , следовательно, max 0 i x → n ( ) 2 1 ' b a l f x dx = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ 8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме ( ) ( ) : x x t L y y t = ⎧⎪ ⎨ = ⎪⎩ t α β ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ; a x b x α β = = ; ( ) [ ] ( ) { } 2 2 1 ' 1 ' , ' b b x a a l f x dx y dx x x t dx x dt = + = + = = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ = [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 ' ' ' ' ' ' t x x t dy y y x t dt y x t y t d dx x β β α α ⎧ ⎫ = + = = = = + t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ∫ ∫ , Определенный интеграл 263 ( ) ( ) 2 2 ' ' l x t y t β α = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ dt . Если кривая задана в полярных координатах, то 2 2 l d β α ρ ρ ϕ ′ = + ∫ 8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме ( ) ( ) ( ) : x x t L y y t z z t = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ t α β ≤ ≤ , ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' ' l x t y t z t β α = + + 2 dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ Пример: ( ) 2 1 : ln 1 ; 0, ; 2 L y x a b l = − = = − ? ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 4 1 1 1 ln 1 1 1 x x x l dx dx x x x x + ⎡ + ⎤ = + = = − + = − ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ − ∫ ∫ 1 ln 3 2 Пример: cos sin 2 x a t y a t c z t π ⎧ ⎪ = ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩ - винтовая линия. =? витка l 2 2 2 2 2 0 2 4 4 c c l a dt a π π π π = + = + ∫ 8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой ( ) ( ) 2 1 ' x l x f x dx α = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ; ( ) ( ) 2 ' 1 ' l x f x = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ; ( ) 2 1 ' dl f x dx = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ В параметрической форме: ( ) ( ) 2 2 ' ' dl x t y t dt = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Лекции 7 - 8 264 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах Пусть уравнение кривой в полярных координатах ( ) ρ ρ ϕ = . Можно рас- сматривать уравнения cos sin x y ρ ϕ ρ ϕ = ⎧ ⎨ = ⎩ как параметрические уравнения линии L, имеющей длину 2 2 ' ' t t l x y dt β α = + ∫ ( ) ( ) , 2 2 ' ' l x y d β α ϕ ϕ ϕ = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ' 'cos sin x ϕ ρ ϕ ρ ϕ = − , ' 'sin cos y ϕ ρ ϕ ρ ϕ = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' ' 'cos sin 'sin cos ' x y ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ + = − + + = + , ( ) ( ) 2 2 2 2 ' ' ' l x y d β β ϕ ϕ α α d ϕ ρ ρ = + = + ∫ ∫ ϕ Пример: Вычислить длину окружности 2 cos a ρ ϕ = ( ) / 2 / 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 / 2 0 0 2 2 sin 4 cos 4 cos sin 4 4 4 2 2 L a a d a a d a a a π π π π d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π = − + = + = = ⋅ = = ∫ ∫ ∫ = 8.2.6. Площадь поверхности вращения Вычислим x Q – площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ох). ( ) y f x = Разделим отрезок [ ] , a b точками деления i x Точке i x соответствует точка на кривой i M ( ) i l Соединим точки на кривой хордами При вращении каждая хорда описывает усечен- ный конус. Площадь его поверхности: 1 2 2 y y π − + = i i i i Q l ; ( ) 2 1 2 1 ' 2 i i i i y y Q f π ξ − i x + = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ; 1 n n i i Q Q = = ∑ ; max 0 i x → ; Q Q n x → ( ) ( ) 2 2 1 ' b n a Q f x f x π → + dx ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ Определенный интеграл 265 ( ) ( ) 2 2 1 ' b x a Q f x f x π = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ dx - площадь поверхности, образованной враще- нием кривой, заданной функцией у = ( ) f x , а ≤ х ≤ b . Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t 1 ≤ t ≤ t 2 , то Q х = 2 π ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 t t y t x t y t dt ′ ′ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ Если дуга задана в полярных координатах ρ = ρ ( ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , то Q х = 2 π ( ) ( ) 2 2 sin d β α ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ′ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ϕ Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х 2/3 + у 2/3 = а 2/3 вокруг оси Ох. Решение: у = (а 2/3 − х 2/3 ) 3/2 , у ′ = 2 3 (а 2/3 − х 2/3 ) ½ ( − 3 2 х −1/3 ) = ( ) 1 2 2 3 2 3 1 3 a x x − − , 3 2 3 2 3 2 1 x x a − + = 3 1 3 1 x a Следовательно Q х = 2 ⋅2 π ( ) 3 2 1 3 2 3 2 3 1 3 0 a a a x d x − ∫ x = = ( ) 3 2 1 3 2 3 2 3 1 3 0 4 a a a x x d π − − ∫ x = − 4 π а 1/3 ( ) a x a 0 2 5 3 2 3 2 2 5 2 3 − = 5 12 π а 2 Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки цик- лоиды х = а (t − sin t), у = а (1− cos t) вокруг оси Ох. Решение: Дифференцируем х ′ = а (1 − cos t), у ′ = а (sin t), ( ) ( ) 2 2 x y ′ ′ + = ( ) 2 2 2 2 1 cos sin a t a t − + = а ( ) t cos 1 2 − = 2а sin 2 t Q х = 2 π ( ) 2 0 1 cos 2 sin 2 t a t a π − ∫ dt = 8 π а 2 2 2 0 1 cos sin 2 2 t t dt π ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = = − 16 π а 2 2 3 0 cos 2 cos 2 3 t t π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 3 64 π а 2 Лекции 7 - 8 266 Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 2а (1+ cos ϕ ) вокруг полярной оси. Решение: Имеем ρ ′ = −2а sin ϕ , ( ) ( ) 2 2 ρ ρ ′ + = ( ) 2 2 2 4 1 cos 4 sin a a 2 ϕ ϕ + + = 4а сos 2 ϕ Q х =2 π ( ) 0 2 1 cos sin 4 cos 2 a a π ϕ d ϕ ϕ ϕ + ⋅ ⋅ ∫ = = 64 π а 2 4 0 cos sin 2 2 d π ϕ ϕ ϕ ∫ = 2 128 5 a π 8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предполо- жим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох. Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, то есть является функцией х: ( ) S S x = Пусть ( ) S x непрерывна на [ ] , a b . Разобьем [ ] , a b точками деления ; через точки 0 1 2 n a x x x x b = < < < < = i x проведем сечения, перпендикулярные оси Ох. Площади соответствующих поперечных сечений - ( ) i S x . Составим сумму: V S , ( ) 1 n n i i i x ξ = = ∑ [ ] 1 , i i i x x ξ − ∈ , ( ) i S i x ξ - объем цилинд- ра с площадью основания ( ) i S ξ и высотой i x Пусть , тогда (объем тела). С другой стороны, (V - интегральная сумма для непрерывной функции max 0 i x → n V V → ( ) b n a V S x d → ∫ n x ( ) S x ). Таким образом, V S ( ) b a x dx = ∫ Пример: Найти объём тела, основание которого - круг радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высотой h. Решение: Определенный интеграл 267 Выберем систему координат, начало кото- рой совпадает с центром круга. Тогда сечение тела плоскостью, перпенди- кулярной оси Ох, есть равнобедренный тре- угольник с основанием 2у = 2 2 2 a x − и вы- сотой h; имеем S(х) = 2 2 1 2 2 a x ⋅ − h = 2 2 h a x − , V = 2 2 a a h a x d − − ∫ x = 2 2 0 2 a h a x dx − ∫ = = 2 2 2 0 2 arcsin 2 2 a x a x h a x a ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 2 a h π 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = ( ) f x х ≤ b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по фор- муле: , а ≤ ( ) ( ) ( ) { } ( ) 2 2 b b x a a V S x dx S x f x f x dx π π = = = = ∫ ∫ Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой ( ) x f y = , c ≤ y ≤ d, вращается вокруг оси Оу, то V f ( ) 2 d y c y dy π = ∫ Если криволинейный сектор, ограниченный кривой ( ) ρ ρ ϕ = и лучами ϕ α = и ϕ β = , вращается вокруг полярной оси, то 3 2 sin 3 V d β α π ρ ϕ ϕ = ∫ Величина V у может быть также вычислена интегрированием по х: V у = ( ) 2 b a x f x dx π ∫ , ! Пример: Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ог- раниченной кривой у 2 = (х − 1) 3 и прямой х = 2 Решение: V х = = 2 2 1 y dx π ∫ ( ) 2 3 1 1 x dx π − ∫ = 1 4 π Лекции 7 - 8 268 Пример: Найти объем тела эллипсоида 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = Решение: ( ) 0 2 a V S x dx = = ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 для фиксированного имеем эллипс 1 или 1 где 1 1 1 x y z x y z , b c a b c x x b b , c c , a a x S x b c bc a π π ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + = − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ = − = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ = = − ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ 2 3 0 2 2 0 4 2 1 2 3 3 a a x x bc dx bc x abc a a π π ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − = − = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ π , 4 3 эл V abc π = , 3 4 3 сф V R π = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ z x y a Пример: Найти объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение: R y x H = 2 2 3 2 2 0 2 2 0 1 3 3 H H x R R x V x dx H H π π π = = ⋅ = ∫ R H 2 1 3 кон V R π = H В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: формулу Ньютона-Лейбница; особенности применения основных методов интегрирования при вычисле- нии определенных интегралов; геометрические приложения определенного интеграла. |