Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от не- ограниченных функций аналогичны признакам сходимости интегралов с бес- конечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл ( ) b a dx b x β − ∫ , ( β > 0), который сходится при β < 1 и расходится при β ≥ 1. Лекция 9 278 Пример: Исследовать на сходимость интеграл 2 1 ln dx x ∫ Решение: При х → 1 1 ln x ∼ ( ) 1 1 x − - эквивалентные бесконечные большие, т.к. 1 1 ln lim 1 1 x x x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = ( ) 1 1 lim ln x x x → − = = по правилу Лопиталя ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 1 1 lim 1 x x → = 1, интеграл ( ) 2 1 1 dx x − ∫ расходится при β =1. Следовательно, 2 1 ln dx x ∫ расходится. 9.2.2. Примеры решения задач Пример: Исследовать сходимость интеграла ( ) 1 2 2 3 0 cos 1 x dx x − ∫ Решение: Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х → 1, пред- ставим подынтегральную функцию в виде ( ) f x = 2 3 3 cos 1 1 1 x x x ⋅ + − = ( ) 2 1 3 3 cos 1 1 1 x x x ⋅ + − Первый сомножитель особенности при х → 1 не даёт, а следовательно, сравнение с ( ) 1 1 x − при х → 1 даёт α = 3 1 < 1. Следовательно, интеграл сходится. Пример: Вычислить (или установить расходимость) 2 cos xdx π +∞ ∫ Решение: По определению, ( ) 2 2 2 cos lim cos lim sin lim (sin 1) 1 lim sin B B B B B B xdx xdx x B B π π π +∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = − = − + ∫ ∫ Так как lim sin B B →+∞ не существует, то исследуемый несобственный инте- грал расходится. Несобственные интегралы 279 Пример: Исследовать на сходимость 3 3 2 2 dx x x +∞ + + ∫ Решение: Рассмотрим ( ) f x = 3 1 2 2 x x + + . Наибольшая степень многочлена в зна- менателе равна 3. Поэтому для сравнения возьмем функцию g (х) = 3 1 x , тогда ( ) ( ) lim x f x g x →∞ = 3 3 lim 2 2 x x x x →+∞ + + = 1 ≠ 0 и по предельному признаку сравнения исследуемый несобственный интеграл и интеграл = = ( ) 3 g x dx +∞ ∫ 3 3 dx x +∞ ∫ сходятся или расходятся одновременно. Последний интеграл схо- дится (р > 1), следовательно, исследуемый интеграл тоже сходится. Пример: Исследовать на абсолютную сходимость интеграл 2 1 cos 2 1 xdx x +∞ + ∫ Решение: Здесь ( ) f x = 2 cos 2 1 x x + ; ⏐f (х)⏐ = 2 cos 2 1 x x + = 2 cos 2 1 x x + , так как для любых х ⏐сos 2х⏐ ≤ 1, то ⏐f (х)⏐ 2 1 1 x ≤ + = g(х). Рассмотрим ( ) 1 g x dx +∞ ∫ = 2 1 1 dx x +∞ + ∫ = ( ) 1 lim arctg b b x →+∞ = lim arctg lim arctg1 b b b →+∞ →+∞ − = = 2 4 4 π π π − = , следовательно, сходится. ( ) 1 g x dx +∞ ∫ Тогда по признаку сравнения сходится интеграл ( ) 1 f x dx +∞ ∫ , а исследуе- мый интеграл сходится абсолютно. Пример: Вычислить (или установить расходимость) 1 2 0 1 dx x − ∫ Решение: Функция ( ) f x = 2 1 1 x − непрерывна для х ∈ [0, 1) и ( ) 1 0 lim x f x → − = +∞ Тогда 1 2 0 1 dx x − ∫ = 1 2 0 0 lim 1 dx x ε ε − →+ − ∫ = ( ) 1 0 0 lim arcsin x ε ε − →+ = Лекция 9 280 = = ( ) 0 lim arcsin 1 arcsin 0 ε ε →+ − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2 π − 0 = 2 π , т.е. интеграл сходится. В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: понятие несобственного интеграла первого и второго рода, признаки сходимости несобственных интегралов. Студент должен уметь: исследовать несобственные интегралы на сходимость. Лекции 10 - 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию, ее производные и известные функции независимого аргумента, начали исследоваться одновременно с воз- никновением дифференциального и интегрального исчислений. Важность таких уравне- ний обусловлена тем, что в очень большом количестве случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчет течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения. 10.1. Основные понятия 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУ-I) 10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка 10.2.5. Уравнение Бернулли 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах 10.2.7. Таблица 1. Решения ДУ первого порядка 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка 11.1. ДУ высших порядков 11.2. ДУ второго порядка (ДУ-II) 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ ( ) y f x ′′ = 11.3.2. ДУ вида ( , ) y f x y ′′ ′ = 11.3.3. ДУ ( ) , y f y y ′′ ′ = 11.4. Таблица 2. Решения ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка 11.5. ДУ n - го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида ( ) ( ) n y f = x 11.5.2. ДУ вида ( ) ( ) , ', ",..., 0 n F y y y y = 11.5.3. ДУ вида ( ) ( ) ( ) , ,..., 0 k n F x y y = . 11.5.4. ДУ вида ( ) ( ) ( ) 1 , , ',..., 0 n d G x y y y x dx − = . 10.1. Основные понятия Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связы- вающее между собой независимую переменную х, искомую функцию и ее производные ( ) y f x = ( n ) y , y ,...y ′ ′′ О Лекции 10 - 11 282 Например, скорость тела , движущегося под действием силы F, может быть найдена из второго закона Ньютона, т.е. из ДУ v dv m dt F = , где - масса тела, - время. m t ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным. Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Общий вид ДУ n-го порядка: 0 ( n ) x, y, y , y ,...y ) ′ ′′ F( = . Например, 1. 2 sin y y x ′ + = x , 2. 0 y yy ′′′ ′ + = . Решением или интеграломДУ называется всякая функция y f ( x ) = , которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество. График решения называется интегральнойкривой. Основная задача интегрального исчисления заключается в нахождении решения ДУ , т.е. y f ( x ′ = ) c y f ( x )dx = + ∫ Пример: Найдите решение ДУ 0 y′′ = Решение: 1 0 y ( y ) y c ′′ ′ ′ ′ = = → = , 1 2 1 y c dx c c x c 2 = + = + ∫ F Общим решением ДУ 0 ( n ) ( x, y, y ,..., y ) ′ = называется такое решение , которое содержит столько независимых произволь- ных постоянных , i , , каков порядок этого ДУ. 1 2 n y f ( x,c ,c ,...,c ) = i c 1 2,...n = ( Если общее решение задано в неявном виде 1 2 0 n x, y,c ,c ,...,c ) Φ = , оно называется общиминтеграломДУ. Всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частнымрешением этого ДУ. Пример: Найдите решение ДУ 0 y y ′′ + = Решение: Так как (sin ) sin x x ′′ = − , (cos ) cos x x ′′ = − , функция вида ; будет удовлетворять уравнению. 1 2 sin cos y c x c x = + Если , , то 1 2 c = 2 5 c = 1 2sin 5cos y x x = + ; если , , то 1 0 c = 2 4 c = − 2 4cos y x = − О О О О Дифференциальные уравнения 283 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим ДУ вида 0 F( x, y, y ) ′ = или y ( x, y ) ϕ ′ = Общим решением является . Геометрически решение представ- ляет собой однопараметрическое семейство кри- вых. Значение в точке y f ( x,c = ) y′ M ( x, y ) : tg y α ′ = x x 0 α ) , ( y x M С 1 С 2 С 3 С y ЗадачаКоши для ДУ формулируется сле- дующим образом: найти решение О y f ( x ) = ДУ y ( x, y ) ϕ ′ = , удовлетворяющее началь- ному условию: 0 0 y f ( x = y 0 x x 0 ) , ( 0 0 y x M 0 y ) , y ) ) 0 ,c ) Геометрически задача Коши заключается в нахождении частного решения ДУ, прохо- дящего через заданную точку с координа- тами ( x 0 0 Общее решение становится ча- стным , если y f ( x,c ) = 0 y f ( x,c = 0 y f ( x = , от- куда можно найти c 0 c = Теорема Коши (теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной). Если функ- ция ( x, y ) ϕ непрерывна в области, содержащей точку , то су- ществует функция , удовлетворяющая уравнению 0 0 , y ) ( x y f ( x ) = y ( x, y ) ϕ ′ = и обращающаяся в при 0 y 0 x x = . Т Если, кроме того, непрерывна и частная производная y ( x, y ) ϕ ′ , то реше- ние будет единственным. 10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными ДУ y ( x, y ) ϕ ′ = удобно записать в виде: dy P( x, y ) dx Q( x, y ) = или 0 P( x, y )dx Q( x, y )dy − = ДУ называется ДУ с разделяющимися переменными. 1 1 0 X ( x )Y ( y )dx X ( x )Y ( y )dy + = y ) X ( x ) О , тогда 1 1 0 X ( x ) Y ( y ) dx dy X ( x ) Y ( y ) + = . Разделим уравнение на Y ( 1 0 ⋅ ≠ Обозначим входящие в это уравнение функции через и , то- гда получим ДУ с разделенными переменными. P( x ) Q( = y ) 0 P( x )dx Q( y )dy + Лекции 10 - 11 284 Считая функцией y x , перепишем уравнение в виде ( ) P( x )dx Q y dy = − , т.е. в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента. Известно, что если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу, т.е., общий интеграл этого ДУ имеет вид: P( x )dx Q( y )dy c + = ∫ ∫ Пример: Найдите решение ДУ y y x ′ = Решение: dy y dx x = , xdy ydx = , умножая уравнение на 1 xy , последовательно получаем dy dx y x = , dy dx y x = ∫ ∫ , ln ln ln y x = + c , где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме, значит, ln ln | y | | cx | = , | y , | | cx | = 0 x ≠ 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка Функция называется однородной функцией n-го порядка, если для любого числа k имеет место тождество F( x, y ) n F( kx,ky ) k F( x, y ) ≡ 0 x y | | cx y = ± 1 = C 2 = C О Например, если 3 3 3 F( x, y ) x y = + , то F( kx,ky ) = 3 3 x ) ( ky ) + = 3 ( k = 3 3 k x y + 3 , значит, является однородной функцией первого по- рядка. Функция F( x, y ) x y F( x, y ) e − = не является однородной. ) ДУ называется однородным относительно х и у, если y f ( x, y ′ = f ( x, y ) есть однородная функция нулевого порядка, то есть f ( kx,ky ) f ( x, y ) = О Решим однородное уравнение dy f ( x,y ) dx = Преобразуем функцию ( , ) f x y к виду ( , ) 1, y f x y f x ⎛ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ , считая 1 k x = . Решаем ДУ 1 dy y f , dx x ⎛ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ . Сделаем подстановку y u x = , тогда y u x = ⋅ , dy du u x dx dx = + ⋅ Дифференциальные уравнения 285 и уравнение примет вид: 1 du u x f ( ,u dx + = ) - ДУ с разделяющимися перемен- ными. 1 du x f ( ,u ) u dx = − , 1 du dx f ( ,u ) u x = − , 1 du dx c f ( ,u ) u x = + − ∫ ∫ Пример: Найдите решение ДУ ln 1 y y y x x ⎛ ⎞ ′ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Решение: Это ДУ является однородным, т.к. правая часть есть функция только от- ношения y x Положим y u x = , , тогда y ux = y u x u ′ ′ = + и уравнение принимает вид: , ( ) ln 1 u x u u u ′ + = + ln u x u u ′ = , ln du dx u u x = , ln ln ln ln u x c = + lnu cx = , , откуда , значит, cx u e = cx y xe = 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка ДУ вида 1 1 1 2 2 2 a x b y c y f a x b y c ⎛ ⎞ + + ′ = ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ называется обобщенным однородным ДУ первого порядка и решается путем сведения к однородному ДУ преобра- зованием параллельного переноса координат с помощью замены переменных x X , y Y , α β = + ⎧ ⎨ = + ⎩ при условии, что 1 1 1 2 2 2 0 0 a b c a b c α β α β , . + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ Проиллюстрируем решение обобщенных однородных ДУ первого по- рядка на примере. Найдем общий интеграл дифференциального уравнения 2 2 4 y y x y + ′ = + − Сведение к однородному достигается преобразованием параллельного пере- носа системы координат, x X α = + , y Y β = + При этом dy d(Y ) dY dx d( X ) dX β α + = = + , и в новых переменных уравнение принимает вид: 2 2 2 dY Y ( ) dX X Y ( ) 4 β α β + + = + + + − |