Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 43 из 47

14.4.3. Метод интегрируемых комбинаций
Интегрирование некоторых систем вида
1 2
( , , ),
( , , )
x
f t x y
y
f t x y
′ =
⎧
⎨ ′ =
⎩
осуществляется путем подбора интегрируемой комбинации, т.е. дифференциального уравне- ния, являющегося следствием уравнений системы, но уже легко интегри- рующегося.

Лекция 14
330
Пример:
Решите систему:
,
dx
y
dt
dy
x
dt
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪
=
⎪⎩
Решение:
Складывая почленно данные уравнения, получаем
(
)
(
)
,
,
d x y
d x y
x y
dt
1
ln |
|
ln
dt
x y
+
+
= +
=
+
x y t
C
+ = +
,
1
t
x y C e
+ =
Вычитая уравнения, получаем
(
)
(
)
d x y
x y
dt
−
= − −
,
(
)
d x y
dt
x y
−
= −
−
,
2
ln |
|
ln
x y
t
C
− = − +
,
2
t
x y C e
−
− =
Из системы
1 2
,
t
t
x y C e
x y C e
−
⎧ + =
⎪
⎨
− =
⎪⎩
получаем решение в виде:
(
)
(
)
1 2
1 2
1
,
2 1
2
t
t
t
t
x
C e
C e
y
C e
C e
−
−
⎧ =
+
⎪⎪
⎨
⎪ =
−
⎪⎩
Пример:
Решите систему:
2 1 (
)
1
dx
dy
dz
z
z x
x
=
=
−
−
−
Решение:
Составим интегрируемые комбинации:
2
,
1 1
(
)
,
(
)
dx
dz
z
x
d z x
dy
x z
z x
⎧
=
⎪ −
−
⎪
⎨
−
⎪
=
−
−
⎪⎩
откуда
(
1)
(
1) ,
(
) (
)
,
x
dx
z
dz
z x d z x
dy
−
= −
⎧
⎨ −
− = −
⎩
2 2
1 2
2
(
1)
(
1)
,
2 2
2
(
)
2 2
x
z
C
C
z x
y
⎧ −
−
=
+
⎪
−
⎪− + =
⎪⎩
,
⎪
⎨
Решением системы является линия пересечения поверхностей, задаваемая системой:
2 2
1 2
2
(
1)
(
1)
2
(
)
x
z
C
y
z x
C
⎧ −
− −
=
⎪
⎨
+ −
=
⎪⎩

Системы дифференциальных уравнений
331
14.5. Неоднородные линейные системы ДУ с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим неоднородную систему:
11 12 1
21 22 2
( ),
( ),
x
a x a y b t
y
a x a y b t
′ +
+
=
⎧
⎨ ′+
+
=
⎩
где
- известные функции,
- постоянные,
( )
i
b t
ij
a
( ),
( )
x t
y t
- искомые функ- ции.
Продифференцируем по t первое уравнение:
11 12 1
x
a x
a y
b
′′
′
′
′
+
+
=
, откуда
1 11 12
b
a x
x
y
a
′
′
′′
−
−
′ =
; из первого уравнения
1 11 12
b
a x x
y
a
′
−
−
=
, подстановка во второе уравнение дает:
1 11 1
11 21 22 2
12 12
b
a x
x
b
a x x
a x a
b
a
a
′
′
′′
′
−
−
−
−
+
+
=
,
11 22 22 11 12 21 1
22 1 12 2
(
)
(
)
x
a
a x
a a
a a x b
a b
a b
′′
′
′
+
+
+
−
= +
−
- уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией
( )
x t
Интегрируя это уравнение, получаем
1 1
2
( , ,
)
x
f t C C
=
, подставляя это вы- ражение и его производную в первое уравнение, найдем вторую искомую функцию
2 1
2
( , ,
)
y
f t C C
=
Пример:
Найдите решение системы
2
sin
4 2
cos
,
,
x
x y
t
y
x
y
t
′ +
+ =
⎧
⎨ ′ = + +
⎩
если
2,
1 2
2
x
y
π
π
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Решение:
Продифференцируем первое уравнение:
2
c
x
x
y
ost
′′
′
′
+
+ =
, подставляя в него sin
2
x
t y
′
x
=
− −
из первого уравнения, получим
2 sin
x
t
′′ = −
Характеристическое уравнение
2 0
k
=
имеет решение
1 2
0
k
k
=
=
x x x
= + ,
1 2
x C
C t
=
+
,
x

ищем в виде sin cos
x
A
t B
t
=
+
, тогда cos sin
x
A
t B
t
′ =
−
, и sin cos
2 sin
x
A
t B
t
t
′′ = −
−
= −
, откуда
2
A
= ,
,
0
B
=
2sin
x
t
=
Решение имеет вид:
1 2
2sin
x C
C t
t
=
+
+
При этом
2 2cos
x
C
t
′ =
+
и
2 1
2
sin
2
sin
(
2cos ) 2(
2sin )
y
t x
x
t
C
t
C
C t
t
′
=
− −
=
−
+
−
+
+
=

Лекция 14
332
=
1 2
2
( 2
) 2 3sin
2cos .
C
C
C t
t
t
−
−
−
−
−
Итак, общее решение системы ДУ имеет вид:
1 2
2sin
x C
C t
t
=
+
+
,
1 2
2 2
2 3sin
2c
y
C
C
C t
t
ost
= −
−
−
−
−
Найдем частное решение из начальных условий:
2,
2 1,
2
x
y
π
π
⎧ ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎪⎪ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞
⎪
=
⎜ ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎩
1 2
1 2
2 2 2,
2 2
2 3 1,
2
C
C
C
C
C
π
π
⎧ +
+ =
⎪⎪
⎨
⎪−
−
−
− =
⎪⎩
1 2
1 2
0,
2 2
(1
) 4,
C
C
C
C
π
π
⎧ +
=
⎪
⎨
⎪−
−
+
=
⎩
1 2
1 2
0,
2 2
(
1)
4,
C
C
C
C
π
π
⎧ +
=
⎪
⎨
⎪
+
+ = −
⎩
1 2
2 ,
4
C
C
π
= −
= −
.t
Тогда
2 4
2sin ,
4 4 8 3sin
2cos
x
t
t
y
t
t
π
π
=
− +
⎡
⎢ = − + + −
−
⎣
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: основные понятия и методы решения произвольных систем ДУ; методы решения однородных и неоднородных систем линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

Лекции 15 - 16
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Во многих случаях функциональная зависимость не может быть сведена к функции одной переменной и приходится рассматривать функции, зависящие от нескольких аргу- ментов. Основные особенности анализа таких функций удобно рассмотреть на примере функций двух переменных: этот случай легко интерпретируется геометрически и содер- жит все основные отличия, возникающие при переходе от одной к нескольким перемен- ным.
15.1.
Основные понятия
15.2.
Предел функции двух переменных
15.3.
Непрерывность функции двух переменных
15.4.
Частное и полное приращения функции двух переменных
15.5.
Частные производные первого порядка функции двух переменных
15.6.
Полный дифференциал функции
15.7.
Частные производные высших порядков
15.8.
Дифференциалы высших порядков
15.9.
Формула Тейлора
15.10. Производная сложной функции. Полная производная
15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала
15.12. Производная от функции, заданной неявно
16.1.
Локальные экстремумы функции двух переменных
16.2.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
16.3.
Наибольшее и наименьшее значения функции в области
16.4.
Геометрические приложения функций двух переменных
16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента
16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой
16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение
16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
15.1. Основные понятия
Если каждой точке на плоскости или паре значений двух независимых переменных величин
D
y
x
M
∈
)
,
(
соответствует определенное число , то говорят, что на множестве
О
z
D
определена функция двух переменных
)
(
)
,
(
M
f
y
x
f
z
=
=
Множество точек
D
y
x
∈
)
,
(
значений независимых переменных
x
и , при которых функция
y
z
имеет определенное действительное значение, называется областью определения функции двух переменных.
О

Лекции 15 - 16
334
Например,
1) площадь прямоугольника
S
xy
=
,
,
0
x y
> ;
2) объем параллелепипеда
V
xyz
=
,
, ,
0
x y z
> ;
3) дальность полета тела, брошенного под углом
α
к горизонту со скоро- стью
υ
:
2
sin 2
l
g
υ
α
=
,
0,
2
π
α
⎛
⎞
∈⎜
⎟
⎝
⎠
,
0
υ
>
Геометрически область определения функ- ции двух переменных может быть изображена на плоскости
( , )
x y областью
D
с границей , точ- ка
L
1
M
D
∈ ,
1
M
L
∈ – внутренняя, а
2
M
L
∈ – гра- ничная точка области.
Область определения называется
замкнутой, если ей принадлежат все точки границы.
Пример:
Областью определения функции
2 2
4
z
x
y
=
−
−
является множество точек, определяемое неравенст- вом
0 , и представляет собой замкнутую область: - внутренность круга с радиусом и центром в точке
, включающую границу об- ласти.
4 2
2
≥
−
−
y
x
4 2
2
≤
+ y
x
2
)
0
,
0
(
0
D
1
M
2
M
L
x
y
0 2
y
x
О
Пример:
Областью определения функции
4 1
2 2
−
+
=
y
x
z
явля- ется незамкнутое множество
0 , которое и представляет собой внешность круга без точек грани- цы.
4 2
2
≥
−
+ y
x
y
x
0 2
0
z
x
y
)
0
,
,
( y
x
N
)
,
,
(
z
y
x
M
S
D
Геометрическое изображение функции двух переменных
Функция
)
,
( y
x
f
z
=
определяет в про- странстве поверхность
S
, проектирующуюся на плоскость
Oxy в область определения
D

Функции нескольких переменных
335
Пример:
Поверхность, задаваемая ра- венством
2 2
2 2
sin x
y
z
x
y
+
=
+
15.2. Предел функции двух переменных
Пусть
)
,
( y
x
f
z
=
,
D
y
x
∈
)
,
(
,
D
y
x
M
∈
)
,
(
0 0
0
Множество точек, удаленных от точки не больше, чем на
0
M
r
, называ- ется
−
r
окрестностью точки
, задается неравенством и геометрически представляет открытый круг радиусом
0
M
(
) (
)
2 2
0 2
0
r
y
y
x
x
<
−
+
−
r
с центром в точке
0
M
О
Число
A
называется
пределом функции
( , )
( )
f x y
f M
=
в точке при стремлении точки
0
M
M
к точке
, если для
0
M
0
>
О
∀
ε
найдется такое
r
, что
ε
<
− A
y
x
f
)
,
(
(
)
( )
f М
A
ε
− <
при всех (
y
x,
), принадлежащих
r
- окрестности точки
0
M
r
x
x
<
−
0
,
r
y
y
<
−
0 0
0
lim ( , )
x x
y
y
A
f x y
→
→
=
=
0
lim
( )
M
M
f M
→
Пример:
2 2
0 2
3 4
0 4
lim
4 1 3
1
x
y
x
x
y
→
→
+
+
=
=
−
+
−
4
Пример:
Выясните, имеет ли функция
2 2
2
xy
z
x
y
=
+
предел при
,
0
→
x
0
→
y
Решение:
Пусть точка стремится к точке
)
,
(
y
x
M
)
0
,
0
(
0
M
Рассмотрим изменение и
x
y
вдоль прямой
kx
y
=
Получим, что
2 2
2 2
2 0
0 0
1 2
2
lim lim
k
k
x
k
x
kx
z
x
y
x
+
=
+
=
→
→
→
Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного , т.е. зависит от пути приближения к
, и поэтому функция не имеет предела в точке (0,0).
k
)
0
,
0
(

Лекции 15 - 16
336
15.3. Непрерывность функции двух переменных
Функция
)
,
( y
x
f
называется
непрерывной в точке
, если пре- дельное значение этой функции в точке существует и равно частно- му значению
:
)
,
(
0 0
y
x
0
M
)
,
(
0 0
y
x
f
)
,
(
)
,
(
lim
0 0
0 0
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
=
→
→
Для непрерывности
)
(M
f
в точке необходимо выполнение следую- щих условий:
0
M
1)
)
(M
f
определена в точке и вблизи нее;
0
M
2) предел
∃
)
(M
f
при стремлении точки
M
к точке произвольным способом;
0
M
3)
)
(
)
(
lim
0 0
M
f
M
f
M
M
=
→
Функция
)
(M
f
, непрерывная в каждой точке области
D
, называется
непрерывной в этой области.
Функция
)
(M
f
разрывна в точке
, если не выполняется какое-либо из условий непрерывности.
0
M
Например, функция
2 2
y
x
z
+
=
– непрерывна на всей плоскости
xОy
; функция
2 2
2
y
x
xy
z
+
=
не определена в точке
, которая является точкой разрыва. Разрыв не устраним, так как предел функции в точке не су- ществует.
)
0
,
0
(
z
)
0
,
0
(
15.4. Частное и полное приращения функции двух переменных
Пусть
)
,
( y
x
f
z
=
,
D
y
x
∈
)
,
(
Дадим переменной
x
приращение
x
∆
, оставляя переменную неиз- менной, тогда разность
y
x
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
x
x
f
z
−
∆
+
=
∆
называется
частным
приращением
)
,
( y
x
f
по
x
, а разность
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
f
z
y
−
∆
+
=
∆
–
ча-
стное приращение
z
по .
Полное приращение функции
y
)
,
( y
x
f
z
=
равно
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x
f
z
−
∆
+
∆
+
=
∆
=
∆
Пример:
Для функции
y
x
z
⋅
=
частные приращения равны:
y
x
xy
y
x
x
z
x
⋅
∆
=
−
∆
+
=
∆
)
(
;
y
x
z
y
∆
⋅
=
∆
; полное приращение равно:
(
)(
)
x
y
z
x
x y
y
xy
x y x
y
x
y
z
z
x
∆ =
+ ∆
+ ∆ −
= ∆ ⋅ + ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ ⋅ ∆y
Видим, что
z
z
z
y
x
∆
+
∆
≠
∆