Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
Пример: Найдите , если z d 2 xy z sin = Решение: 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( dy y z dxdy y x z dx x z z d ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , y xy x z ⋅ = ∂ ∂ cos , x xy y z ⋅ = ∂ ∂ cos , 2 2 2 sin y xy x z ⋅ − = ∂ ∂ , 2 2 2 z sin xy x y ∂ = − ⋅ ∂ , xy xy xy y x z cos sin 2 + ⋅ − = ∂ ∂ ∂ , 2 2 2 2 2 sin ) sin (cos 2 sin xydy x dxdy xy xy xy xydx y z d − − + − = 15.9. Формула Тейлора По аналогии с функцией одной переменной формула Тейлора для двух переменных имеет вид: 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 f ( x, y ) f ( x , y ) df ( x , y ) d f ( x , y ) .... ! ! = + + + + ( ) ( ) 0 0 0 0 1 n n d f ( x , y ) o x, y; x , y n! ρ + + Пример: Записать формулу Тейлора для функции в окрестности точки до членов 1-го порядка включительно. xy e z = ) 1 , 1 ( P Вычисляем частные производные в точке (1,1), получаем: xy e y x f = ) , ( 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 xy [ ( x )][ ( y )] e e e[( x ) ( y )] e[( x ) ( y ) ( x )( y )] ! ! e . θ θ + − + − = + − + − + − + − + − − ⋅ ⋅ 15.10. Производная сложной функции. Полная производная Рассмотрим сложную функцию ) , ( υ u F z = , где ) , ( y x u ϕ = , ) , ( y x ψ υ = , т.е. [ ] ) , ( ), , ( y x y x F z ψ ϕ = Пусть функции ) , ( υ u F , ) , ( y x ϕ , ) , ( y x ψ имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Функции нескольких переменных 343 Вычислим x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ . Дадим x приращение x ∆ при постоянном , тогда примет значение , а y u u u x ∆ + υ примет значение υ υ x ∆ + Полное приращение функции z принимает вид: υ β α υ υ x x x x u F u u F z ∆ + ∆ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ , где , α β – бесконечно малые функции при 0 → ∆x x x u x F x u u F x z x x x x ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ ∂ ∂ + ∆ ∆ ∂ ∂ = ∆ ∆ υ β α υ υ Устремим x ∆ к нулю, при этом 0 → ∆ u x и 0 → ∆ υ x в силу непрерывно- сти и u υ . Так как x z x z x ∂ ∂ = ∆ ∆ → ∆ 0 lim , x u x u x x ∂ ∂ = ∆ ∆ → ∆ 0 lim , x x x x ∂ ∂ = ∆ ∆ → ∆ υ υ 0 lim , 0 lim lim 0 0 = = → ∆ → ∆ β α x x , то x F x u u F x z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ υ υ Аналогично: y F y u u F y z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ υ υ Пример: ( ) υ + = 2 ln u z , , 2 y x e u + = y x + = 2 υ Вычислим x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ υ + = ∂ ∂ 2 2 u u u z , υ υ + = ∂ ∂ 2 1 u z ; 2 y x e x u + = ∂ ∂ , 2 2 y x ye y u + = ∂ ∂ ; x x 2 = ∂ ∂ υ , 1 = ∂ ∂ y υ ; ( ) x e u u x u e u u x z y x y x + ⋅ + = ⋅ + + + = ∂ ∂ + + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 υ υ υ ; ( ) 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + + = ∂ ∂ + + y x y x uye u u ye u u y z υ υ υ Полная производная Пусть ) , ( y x F z = , где ) (x f y = x y y F x x x F dx dz ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = , т.е. dx dy y F x F dx dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = Лекции 15 - 16 344 Если ) , ( y x F z = , где ) (t x x = , ) (t y y = , то dt dy y F dt dx x F dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = 15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала Пусть ) , ( υ u F z = , где ) , ( y x u u = , ) , ( y x υ υ = . Покажем, что форма пер- вого дифференциала не меняется и υ υ d z du z dz u ′ + ′ = Действительно, ( ) ( ) = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ = ′ + ′ = dy z u z dx z u z dy z dx z dz y y u x x u y x υ υ υ υ ( ) ( ) υ υ υ υ υ d z du z dy dx z dy u dx u z u y x y x u ⋅ ′ + ⋅ ′ = ′ + ′ ′ + ′ + ′ ′ = 15.12. Производная от функции, заданной неявно Уравнение 0 ) , ( = y x F неявно задает функцию одной переменной ) (x y y = Если ) , ( y x F и ее частные производные ) , ( y x F x ′ и ) , y x ( F y ′ определены и непрерывны в некоторой области, содержащей точку ) , y (x , 0 ) , ( = y x F и , то 0 ) , ( ≠ ′ y x F y ) , ( ) , ( y x F y x F y y x x ′ ′ − = ′ Т Доказательство: Пусть 0 ) , ( = y x F . Дадим x приращение x ∆ , тогда примет значение . По условию y 0 y y ∆ + ) , ( = ∆ + ∆ x F + y y x , следовательно, полное при- ращение 0 ) , ( ) , ( = − ∆ + ∆ + = ∆ y x F y y x x F F , значит по определению F ∆ : 0 = ∆ + ∆ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ y x y y F x x F β α , где β α , – бесконечно малые функ- ции при 0 , → ∆ ∆ y x Тогда 0 = ∆ ∆ + + ∆ ∆ ∂ ∂ + x y x y y F x F β α ∂ ∂ Отсюда β α + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = y F x F x y ∆ ∆ Функции нескольких переменных 345 При 0 → ∆x : 0 , → β α ; 0 ≠ ∂ ∂ y F по условию, и ) , ( ) , ( y x F y x F y F x F dx dy y x ′ ′ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ) ( ∗ Рассмотрим уравнение 0 ) , , ( = z y x F . Оно неявно определяет функцию двух переменных ) , ( y x z . Найдем x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ При отыскании x z ∂ ∂ считаем постоянным, поэтому применима формула y ) ( ∗ , если зависимой переменной считать x , а функцией – z : z F x F z x ∂ ∂ ∂ ∂ − = ′ Аналогично: z F y F z y ∂ ∂ ∂ ∂ − = ′ Пример: Если 0 2 2 2 2 = − + + R z y x z x z x x z − = − = ∂ ∂ 2 2 ; z y z y y z − = − = ∂ ∂ 2 2 16.1. Локальные экстремумы функции двух переменных z x y ) , ( 0 0 0 y x M Функция ) , ( y x f z = имеет локальный максимум в точке , если для всех точек ) , ( 0 0 0 y x M ) , ( y x , близких к , выполня- ется неравенство 0 M ) , ( ) , ( 0 0 y x f y x f > О ) , ( 0 0 max y x f z = z x y ) , ( 0 0 0 y x M ) , ( y x f z = имеет локальный минимум в точке , если ) , ( 0 0 0 y x M ) , ( ) , ( 0 0 y x f y x f < для всех точек ( ) , О y x , близких к 0 M ) , ( 0 0 min y x f z = Лекции 15 - 16 346 Необходимые условия экстремума. В точке экстремума функции двух переменных ее частные производные первого порядка либо равны нулю, либо не существуют. Т Доказательство: Пусть ) , ( y x f z = имеет максимальное значение ) ) , ( 0 0 y x f Зафиксируем , получим функцию одной переменной , которая имеет максимум при 0 y y = , ( 0 1 y x f z = 0 x x = . Из теории экстремума функции одной переменной 0 ) , ( 0 0 1 0 = ′ = = y x f dx dz x x x или не существует. Аналогично: 0 ) , ( 0 0 = = ′ y x f y или ∃ В случае минимума доказательство аналогично. В точке экстремума дифференцируемой функции ) , ( 0 0 0 y x M ) , ( y x f производные не суще- ствуют или равны нулю: 0 0 0 0 ( , ) 0; ( , ) 0 x y f x y f x y ′ = ⎧ ⎨ ′ = ⎩ Точки, в которых частные произ- водные первого порядка некоторой функции равны нулю или не суще- ствуют, называются критически- ми. О Геометрическийсмысл заключается в том, что в точке , лежащей выше (ниже) всех соседних, поверхность 0 M ) , ( y x f z = либо имеет горизонтальную касательную плоскость, либо не име- ет никакой касательной плоскости. x ) , ( 0 0 0 y x M z y Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области, содер- жащей точку ) , функция , ( 0 0 0 y x M ) , ( y x f z = имеет непрерывные ча- стные производные до второго порядка включительно. Т Пусть точка ) является критической точкой , ( 0 0 0 y x M ) , y ( x f , т.е. 0 ) , ( 0 0 = ∂ ∂ x y x f , 0 ) , ( 0 0 = ∂ ∂ y y x f Введем обозначения: A x y x f = ∂ ∂ 2 0 0 2 ) , ( , B y x y x f = ∂ ∂ ∂ ) , ( 0 0 2 , C y y x f = ∂ ∂ 2 0 0 2 ) , ( Составим дискриминант 2 B AC C B B A − = = ∆ Тогда: Функции нескольких переменных 347 1) если , то функция имеет экстремум в точке ) , причем это мак- симум при 0 > ∆ , ( 0 0 y x 0 < A и минимум при 0 > A ; 2) если , то экстремума нет; 0 < ∆ 3) если , то требуется дополнительное исследование. 0 = ∆ Доказательство: По формуле Тейлора второго порядка ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 0 2 0 0 M R M f d M df M f M f + + + = В критической точке 0 ) , ( ) , ( 0 0 0 0 = ′ = ′ y x f y x f y , 0 ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 = ′ + ′ = dy y x f dx y x f y x df y x , ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 0 y x f y x f y x f ∆ = − и формула Тейлора принимает вид: ) , ( ) , ( 2 1 ) , ( 2 0 0 2 0 0 y x R y x f d y x f + = ∆ Остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем ) , поэтому знак ) ) , ( 2 y x R , ( 0 0 2 y x f d , ( 0 0 y x f ∆ совпадает со знаком в окрестности точки 2 0 0 ( , ) d f x y ) , ( 0 0 y x Исследуем знак : ) , ( 0 0 2 y x f d + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = dxdy y x y x f dx x y x f y x f d ) , ( 2 ) , ( ) , ( 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 = + + = ∂ ∂ + 2 2 2 2 0 0 2 2 ) , ( Cdy Bdxdy Adx dy y y x f = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ C dy dx B dy dx A dy 2 2 2 Выражение в квадратных скобках является квадратным трехчленом с дис- криминантом ∆ − = − = 4 4 4 2 AC B D 1). Если , то 0 > ∆ 0 < D и знак квадратного трехчлена совпадает со знаком старшего коэффициента A , значит, знак ) и, следовательно, знак ) совпадает со знаком , ( 0 0 2 y x f d , ( 0 0 y x f ∆ A , то есть а) если 0 < A , 0 ) , ( 0 0 < ∆ y x f и – точка максимума; ) , ( 0 0 y x б) если 0 > A , и ) – точка минимума. 0 ) , ( 0 0 > ∆ y x f , ( 0 0 y x 2). Если , то 0 < ∆ 0 > D и знак квадратного трехчлена меняется в окре- стности точки ) и функция , ( 0 0 y x 0 0 ( , ) f x y не имеет экстремума в точке ) , ( 0 0 y x |