Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 39 из 47

+ a y
+ ...+ a y = , a =
nst
Функции
1 2
( ),
( ),..., ( )
n
x
x
x
ϕ
ϕ
ϕ
называются
линейно независимыми, ес- ли никакая из них линейно не выражается через другие для всех
[ , ]
x
a b
∈
, т.е.
1 1 2 2 0
n n
c
c
c
ϕ
ϕ
ϕ
+
+ +
≠ , если - постоянные, не все рав- ные нулю.
i
c
О
Если функции являются линейно независимыми частными решениями ОЛДУ n-го порядка, то его общее решение есть
, где - произвольные постоянные. Число ли- нейно независимых частных решений ДУ равно степени характеристи- ческого уравнения или порядку ОЛДУ. Найдя n частных решений, мож- но записать общее решение ОЛДУ.
1 2
, ,...,
n
y y
y
1 1 2 2
n n
y c y
c y
c y
=
+
+ +
i
c
Т
Составим характеристическое уравнение ОЛДУ n-го порядка с постоян- ными коэффициентами:
1 2
1 2
0
n
n
n
n
k
a k
a k
a
−
−
+
+
+ +
= . Найдем его корни
1 2
, ,...,
n
k k
k
В зависимости от корней характеристического уравнения частные ли- нейно независимые решения ОЛДУ имеют разный вид.
1). Каждому действительному однократному корню соответствует частное решение вида
k
kx
y e
=
2). Каждому действительному корню кратности соответствует линей- но независимых решений:
k
r
r
1 2
2 3
1
,
,
,
kx
kx
kx
r
kx
r
y
e
y
xe
y
x e
y
x e
−
⎡ =
⎢
=
⎢
⎢ =
⎢
⎢
⎢
=
⎢⎣
3). Каждой паре комплексных корней
1,2
k
i
α
β
= ±
соответствуют два частных решения:
1 2
cos
,
sin
x
x
y
e
x
y
e
x
α
α
β
β
⎡ =
⎢
=
⎣

Линейные дифференциальные уравнения
307
4). Каждой паре комплексных корней
1,2
k
i
α
β
= ±
кратности
µ
соответствует
2
µ
частных решений:
1 2
1 1
2 1
2
cos
,
cos
,
cos
,
sin
,
sin
,
sin
x
x
x
x
x
x
y
e
x
y
xe
x
y
x e
x
y
e
x
y
xe
x
y
x e
α
α
µ
α
µ
α
µ
α
µ
µ
α
µ
β
β
x
β
β
β
β
−
+
+
−
⎡ =
⎢
=
⎢
⎢
⎢
=
⎢
⎢
=
⎢
⎢
=
⎢
⎢
⎢
=
⎢⎣
12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка
,
,
( )
(
)
(
)
0
n
n-1
n-2
1
2
n
y
+ a y
+ a y
+ ...+ a y =
const
i
a =
= 0
n
n-1
n-2
1
2
n
k + a k
+ a k
+ ...+ a
Корни характеристического уравнения
Вклад указанных корней в общее решение ДУ
1. Действительные, разные
1 2
3
n
k
k
k
k
≠
≠
≠ ≠
1 2
1 2
n
k x
k x
k x
n
y c e
c e
c e
=
+
+ +
2. Действительные, кратности
r n
≤
1 2
3
r
k
k
k
k
k
=
=
= =
=
(
)
2 1
1 2
3
r
k
r
y
c
c x c x
c x
e
−
=
+
+
+ +
x
3. Комплексные, разные
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
,
,...
...,
,
,
n
n
n
n
k
i
k
i
k
i
n
α
β
α
β
α
β
α α
α
β
β
β
=
±
=
±
=
±
≠
≠ ≠
≠
≠ ≠
(
)
(
)
(
)
1 2
1 1
2 1
3 2
4 2
2 1 2
cos sin cos sin cos sin
n
x
x
x
n
n
n
n
y e
c
x c
x
e
c
x c
x
e
c
x c
x
α
α
α
β
β
β
β
β
β
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
4. Комплексные, кратности
3
r
=
1 2
3
k
k
k
i
α
β
=
=
= +
(
)
(
)
2 1
2 3
2 4
5 6
[
c sin
]
x
y e
c
c x c x
x
c
c x c x
x
α
β
β
os
=
+
+
+
+
+
+

Лекции 12 - 13
308
Пример:
Решите уравнение
0
y
y
′′′ − =
Решение:
Характеристическое уравнение:
(
)
(
)
3 2
1 0,
1 1
0
k
k
k
k
− =
−
+ + = , откуда
,
1 1
k
=
2,3 1
3 2
2
k
i
= − ±
Частные решения имеют вид:
2 1
2 3
,
cos
2
x
x
y
e
y
e
−
=
=
x
,
2 3
3
sin
2
x
y
e
−
=
x
Общее решение имеет вид:
2 1
2 3
3 3
cos sin
2 2
x
x
y c e
e
c
x c
x
−
⎡
⎤
=
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
12.6. НЛДУ второго порядка
НЛДУ второго порядка имеет вид:
1 2
( )
y
a y
a y
f x
′′
′
+
+
=
, где и
i
a
( )
f x
- известные функции.
Т
Общее решение НЛДУ
O H
y
y
= равно сумме общего решения
O O
y
y
= соответствующего однородного уравнения
1 2
0
y
a y
a y
′′
′
+
+
=
и частного решения данного неоднородного уравнения
, то есть
y
y
=
Ч Н
1 2
( )
y
a y
a y
f x
′′
′
+
+
=
y y
y
= +
Доказательство:
Для
y
, справедливо:
y
1 2
0,
y
a y
a y
′′
′
+
+
=
1 2
( )
y
a y
a y
f x
′′
′
+
+
=
. Сложим эти уравнения почленно:
(
)
(
)
(
)
1 2
( )
y y
a y y
a y y
f x
″
′
+
+
+
+
+
=
, значит,
y y
y
= +
является общим решением НЛДУ.
13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации
произвольных постоянных
Пусть известно общее решение ОЛДУ
1 1 2 2
y c y
c y
=
+
, где
1 2
,
c c
const
−
Найдем общее решение НЛДУ методом вариации произвольных постоянных.
Будем искать общее решение НЛДУ в виде
1 1
2
( )
( )
( )
y x
c x y
c x y
2
=
+
, считая и неизвестными функциями
1
c
2
c
x
. Найдем
. Вычислим производ- ную:
. Подберем и так, чтобы
, тогда
, а
1 2
( ),
( )
c x
c x
1 1 1 1 2 2 2 2
y
c y
c y
c y
c y
′
′
′
′
′
=
+
+
+
1
( )
c x
2
( )
c x
1 1 2 2 0
c y
c y
′
′
+
=
1 1 2 2
y
c y
c y
′
′
=
+
′
1 1 1 1 2 2 2 2
y
c y
c y
c y
c y
′′
′′
′ ′
′′
′ ′
=
+
+
+

Линейные дифференциальные уравнения
309
Подстановка этих выражений в НЛДУ дает:
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2 1
1 1 2 2 2
1 1 2 2
( )
c y
c y
c y
c y
a c y
c y
a c y
c y
f x
′′
′ ′
′′
′ ′
′
′
+
+
+
+
+
+
+
=
,
(
)
(
)
1 1
1 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 1 2 2
( )
c y
a y
a y
c y
a y
a y
c y
c y
f x
′′
′
′′
′
′ ′
′ ′
+
+
+
+
+
+
+
=
Выражения в круглых скобках равны нулю, так как и
- частные реше- ния соответствующих ОЛДУ. Значит,
1
y
2
y
1 1 2 2
( )
c y
c y
f x
′ ′
′ ′
+
=
. Получаем, что
, если и удовлетворяют системе:
1 1
2 2
( )
( )
O H
y
c x y
c x
=
+
y
1
( )
c x
2
( )
c x
1 1 2 2 1 1 2 2 0,
( ).
c y
c y
c y
c y
f x
′
′
+
=
⎧
⎨ ′ ′ ′ ′
+
=
⎩
Для линейно независимых функций и определитель системы
1
y
2
y
(
)
1 2
,
W y y
∆ =
≠ 0
x
, и можно найти решение системы:
1 1
2 2
( ),
( )
c
x
c
ϕ
ϕ
′
′
=
=
и искомые функции
1 1
1 2
2
( )
( )
,
( )
( )
c x
x dx c
c x
x dx c
ϕ
ϕ
=
+
=
∫
∫
2
+
Пример:
Найдите решение НЛДУ:
y
y
x
x
′
′′ −
=
Найдем решение ОЛДУ:
0
y
y
x
′
′′ −
=
,
x
y
y
1
=
′
′′
, ln ln ln
y
x
c
′ =
+
,
,
y
cx
′ =
2 1
2
O O
y
c x
=
+ c
Частные решения ОЛДУ:
2 1
2
,
1
y
x
y
=
= .
Найдем
1 1
2 2
( )
( )
O H
y
c x y
c x
=
+
y
2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 1
2 0,
1 0,
( ),
2 0
c y
c y
c x
c
c y
c y
f x
c x c
x
′
′
+
=
′
′
⎧ ⋅ + ⋅ =
⎧
⇔
⎨
⎨
′ ′
′ ′
+
=
′
′
⋅ + ⋅ =
⎩
⎩
Отсюда
3 2
1 2
1 1
2 1
1
,
,
,
2 2
2 6
x
x
c
c
x
c
c
c
′
′
=
= −
= +
= −
+
2
c
3 3
3 2
2 1
2 1
2 1
2 6
2 6
O H
x
x
x
x
y
c x
c
c x
c
=
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+ −
+
⋅ =
−
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
3 2
1 2
3
x
c x
c
+
+
13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами методом неопределенных
коэффициентов
′′
′
( )
y + py + qy = f x
Ранее (п.
12.6) доказано, что общее решение НЛДУ имеет вид:
O H
O O
Ч Н
y
y
y
y
=
+
= + y , где
y
- общее решение соответствующего ОЛДУ,

Лекции 12 - 13
310
характеристическое уравнение которого
2 0
k
pk q
+
+ = , а - частное реше- ние НЛДУ.
y
Частное решение НЛДУ может быть найдено методом неопределен- ных коэффициентов для некоторых видов функции
y
( )
f x
в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.
Рассмотрим следующие случаи:
1. Если
, то нужно искать в виде
( )
,
0
x
f x
ae
a
α
=
≠
y
x
y Ae
α
=
, где А – произвольная постоянная, подлежащая определению. Последовательное дифференцирование дает:
x
y
A e
α
α
′ =
,
2
x
y
A e
α
α
′′ =
. Подставляя эти выраже- ния в НЛДУ и сокращая на
x
e
α
, получим
(
)
2
A
p
q
α
α
a
+
+
= . (*)
1). Если
α
не является корнем характеристического уравнения, т.е.
, то уравнение (*) имеет решение
2 0
p
q
α
α
+
+ ≠
2
a
A
p
q
α
α
=
+
+
и
x
y Ae
α
=
2). Если
α
является корнем характеристического уравнения, то нужно искать в другом виде. Так, если
y
α
- простой (однократный) корень характе- ристического уравнения, то
x
y Axe
α
=
; если
α
- двукратный корень характе- ристического уравнения, то
2
x
y Ax e
α
=
Пример:
Найдите решение НЛДУ
x
e
y
y
y
=
+
′
−
′′
6 5
Решение:
Для ОЛДУ
0 6
5
=
+
′
−
′′
y
y
y
,
,
0 6
5 2
=
+
− k
k
2
,
3 2
1
=
= k
k
и
x
x
e
c
e
c
y
2 2
3 1
+
=
. Для
x
e
x
f
=
)
(
1
=
α
, так как
α
≠
2 1
,k
k
, то
x
Ae
y
=

. Найдем А.
x
x
Ae
y
Ae
y
=
′′
=
′

,

Подстановка в уравнение дает:
, откуда
x
x
x
x
e
Ae
Ae
Ae
=
+
−
6 5
2 1
,
1 2
=
=
A
A
и
x
e
y
2 1
=
Окончательно,
x
x
x
e
e
c
e
c
y
y
y
2 1

2 2
3 1
+
+
=
+
=
2.
2 2
( )
( )
f x
ax
bx c P x
=
+
+ =
Частное решение ищем в виде
2 2
( )
y Q x
Ax
Bx C
=
=
+
+ ; найдем A, B, C.
2 2
2
,
2 , 2 2
y
Ax B
y
A
A
Apx pB Aqx
Bqx Cq ax
bx c
′
′′
=
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+ ,
2 2
(2
)
(2
)
Aqx
Ap Bq x
A Bp Cq
ax
bx c
+
+
+
+
+
=
+
+ .

Линейные дифференциальные уравнения
311
Неопределенные коэффициенты находятся из системы:
,
2
,
2
Aq a
Ap Bq b
A Bp Cq c
=
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪
+
+
=
⎩
1). Если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то
;
2
y
Ax
Bx C
=
+
+
2). Если число «0» является простым корнем характеристического уравне- ния, тогда частное решение нужно искать в виде
(
)
2
y x Ax
Bx C
=
+
+
3). Если число «0» является двукратным корнем характеристического урав- нения, тогда
2 2
(
)
y x Ax
Bx C
=
+
+
Пример:
Решите ДУ
, если
2
y
x
′′ =
+ y
(0)
2,
(0) 1
y
y′
= −
=
Решение
Для ОЛДУ
2 1
2 0,
1 0,
1,
1
y
y
k
k
k
′′ − =
− =
=
= − и
1 2
x
x
y c e
c e
−
=
+
Так как
2
( )
f x
x
=
,
2
y
Ax
Bx C
=
+
+ .
Значит,
2 2
2
(
)
A
Ax
Bx C
x
−
+
+
=
1,
0,
2 0
A
B
A C
− =
⎧
⎪− =
⎨
⎪
− =
⎩
,
откуда
1,
0,
2
A
B
C
= −
=
= −
и
2 2
y
x
= − − .
2 1
2
(
2)
x
x
y
y y c e
c e
x
−
= + =
+
−
+
1 2
2
x
x
y
c e
c e
x
−
′
,
=
−
−
При
0
x
=
(0)
2,
(0) 1
y
y′
= −
=
,
1 2
1 2
2 2
1
,
c
c
c
c
− = + −
⎧
⎨ = −
⎩
;
откуда
1 2
1 1
,
2 2
c
c
=
= −
Общее решение НЛДУ имеет вид:
(
) (
2 1
2 2
x
x
y
e
e
x
−
)
=
−
−
+
3. Если ( )
( )
n
f x
P x
=
,
0
α
=
, то решение нужно искать в следующем ви- де:
y
1) если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то
;
( )
n
y Q x
=
2) если число «0» является простым корнем характеристического уравне- ния, то ( ) ;
n
y xQ x
=
3) если число «0» является двукратным корнем характеристического урав- нения, то
, где ( ) - многочлен n-го порядка с коэффици- ентами, подлежащими определению.
2
( )
n
y x Q x
=
n
Q x

Лекции 12 - 13