Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
286 Выбирая постоянные α и β из условия 2 0 2 4 , , β α β + = ⎧ ⎨ 0 + − = ⎩ получаем 3 α = , 2 β = − ; т.е. искомое преобразование переменных имеет вид: 3 x X = + , 2 y Y = − , а уравнение упрощается 2 dY Y . dX X Y = + (1) Поделив числитель и знаменатель в правой части на Х (при ), получаем однородное уравнение 0 ≠ X 2 dY Y X dX Y X = + , при 0 X ≠ (2) Используя подстановку Y X u( x ) = , получаем 2 2 du u u X dX u − − = + (3) Разделяя переменные, приходим к уравнению: 2 2 u dX du u u X + = − + 0 u ; ( ≠ , 1 u ≠ − , 0 X ≠ ). Интегрируя, находим общий интеграл в форме: 2 2 2 1 2 u ( u ) u du du u u u u + + − = + + ∫ ∫ 1 2ln ln 1 ln | u | | u | | X | C ⇒ − + + = , 0 1 ( u ,u ,X ) 0 ≠ ≠ − ≠ Случай следует проверить подстановкой в уравнение (1), а случаи и - подстановкой в уравнение (3), поскольку возможна потеря решений. Находим, что не является, а 0 X = 0 u = 1 u = − 0 X = 0 u = и 1 u = − являются реше- ниями уравнения (1). Таким образом, уравнение (3) имеет следующие решения: 1 2ln ln 1 ln |u | | u | | X | C − + + = (общий интеграл), (4а) 0 u = , (4б) Дифференциальные уравнения 287 1 u = − (частные решения). (4в) Возвращаясь к старым переменным, получаем: 1 2 2 2ln ln 1 ln 3 3 3 y y | x | C x x + + − + + − = − − , (5а) 2 0 y + = , (5б) 2 1 3 y x + = − − (5в) После упрощения общий интеграл (5а) принимает вид: 2ln 2 ln 1 | y | | x y | C + − + − = (6) Ответ: общий интеграл имеет вид: 2ln 2 ln 1 | y | | x y | C + − + − = Замечание: общий интеграл (6) можно представить также в форме: 2 1 2 ln 1 ( y ) C x y + = + − или 2 2 2 1 ( y ) C x y + = + − , 1 2 C C e = ± Тогда частные решения (5б) и (5в) получаются при 2 0 C = и соответ- ственно. 2 C = ∞ 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное отно- сительно неизвестной функции и ее производной О y y′ : , где , – непрерывные функции. y P( x )y Q( x ′ + = ) ) P( x ) Q( x ) Ищем решение в виде произведения двух функций y u( x ) ( x υ = ⋅ , одна из которых считается произвольной ( ) υ , а другая находится из уравнения. Если y u υ = ⋅ , то y u u υ υ ′ ′ ′ = + , то есть dy d du u dx dx dx υ υ = + и уравнение прини- мает вид: d du u Pu Q dx dx υ υ υ + + = d du Q dx dx υ υ υ ⎛ ⎞ u P , + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (*) В силу произвольности выберем υ такой, что 0 d P dx υ υ + = , тогда d Pdx υ υ = − , 1 ln ln Pdx c υ = − + ∫ , значит 1 Pdx c e υ − ∫ = Лекции 10 - 11 288 Положим , получим 1 1 c = Pdx e υ − ∫ = . Подставляя полученное для υ выраже- ние в ДУ (*), найдем : u du ( x ) Q( x ) dx υ = , du Q( x ) dx ( x ) υ = , ( ) ( ) Q x u dx x υ c = + ∫ В итоге общее решение имеет вид: ( ) ( ) ( ) Q x y x dx c x υ υ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ Пример: Найдите решение ДУ 3 ) 1 ( 1 2 + = + − x y x dx dy , 1 x ≠ − Решение: Полагая υ u y = , получим, что υ υ ⋅ + = dx du dx d u dx dy , 3 ) 1 ( 1 2 + = + − ⋅ + x u x dx du dx d u υ υ υ , 3 ) 1 ( 1 2 + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x dx du x dx d u υ υ υ Найдем υ из ДУ 0 1 2 = + − υ υ x dx d , 1 2 + = x dx d υ υ , 2 1 ln ln x υ = + , откуда 2 ) 1 ( + = x υ Найдем u из ДУ: 3 2 ) 1 ( ) 1 ( + = + x dx du x , ) 1 ( + = x dx du , c x u + + = 2 ) 1 ( 2 Общее решение примет вид: 2 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( + + + = x c x y 10.2.5. Уравнение Бернулли ДУ ( ) ( ) n dy P x y Q x y dx + = , где , – непрерывные функции или постоянные, называется уравнением Бернулли. ( ) P x ( ) Q x При оно линейное, при 0 n = 1 n = с разделяющимися переменными. Считаем, что . Разделим ДУ на , получим 0, 1 n ≠ n y 1 n n dy y Py dx − − + + = Q Сделаем замену переменной 1 n z y − + = , тогда получим ( 1) n dz dy n y dx dx − = − + ⋅ , ( 1) ( 1) dz n Pz n dx + − + = − + Q - линейное уравнение. Пример: Найдите решение ДУ 3 3 dy xy x y dx + = Решение: О Дифференциальные уравнения 289 Здесь , ( ) P x x = 3 ( ) Q x x = , 3 n = Умножив уравнение на 3 1 y , получим 3 2 y y xy x − − ′ 3 + = . Заменяя , получаем 1 n z y y − + − = = 2 3 2 dz dy y dx dx − = − , 3 2 2 dz xz x dx − = − Полагая z u υ = , dz d du u dx dx dx υ υ = + , 3 2 2 d du u xu dx dx x υ υ υ + − = − , 3 2 d du u x dx dx υ υ υ ⎛ ⎞ − + = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2x , приходим к линейному ДУ для : υ 2 0 d x dx υ υ − = , 2 d xdx υ υ = , откуда 2 ln x υ = , 2 x e υ = Тогда уравнение для принимает вид: u 2 3 2 x du e x dx = − , , 2 3 2 x du e x dx − = − откуда u e (по частям)= 2 3 2 x x dx − = − = ∫ 2 2 2 x x x e e c − − = + + , , , 2 2 1 x z u x ce υ = = + + 2 2 2 1 x y x ce − = + + 2 2 1 1 x y x ce = + + Заметим, что уравнение Бернулли можно решить как линейное, сразу сделав замену y u υ = 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах *) Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если и – непрерывные дифференци- руемые функции, для которых ( , ) ( , ) 0 P x y dx Q x y dy + = ) ( , ) P x y ( , Q x y P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ , причем P y О ∂ ∂ и Q x ∂ ∂ непрерывны в некоторой области. Для того чтобы выражение Pdx Qdy + было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u x y , необходимо и достаточно, чтобы ( , ) P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ Т Докажем необходимость этого условия. Пусть , тогда по определению дифференциала функции двух переменных du Pdx Qdy = + u P x ∂ = ∂ , u Q y ∂ = ∂ . Вычислим 2 P u y y x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ и 2 Q u x x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ Известно, что вторые смешанные производные функции двух перемен- ных равны друг другу, если они непрерывны. Лекции 10 - 11 290 Так как P y ∂ ∂ и Q x ∂ ∂ непрерывны по условию: 2 2 u u x y y x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ , следователь- но, P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ и , 0 Pdx Qdy + = 0 du = , откуда ( , ) u x y c = Основываясь на вышеизложенном, решим ДУ в полных дифференциа- лах. Пример: Решить ДУ 2 2 3 4 2 3 0 x y x dx dy y y − + = Решение: Здесь 3 2x P y = , 2 2 4 3 y x Q y − = 1). Проверим, является ли полным дифференциалом выражение, стоящее в левой части ДУ. Вычислим 4 6 P x y y ∂ = − ∂ , 4 6 Q x x y ∂ = − ∂ Видим, что P y x ∂ ∂ = ∂ ∂ Q , значит, 2 2 3 4 2 3 x y x dx dy du y y − + = 2). Так как выражение, стоящее в левой части уравнения, является пол- ным дифференциалом, значит, u u du dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ , и 3 2 2 4 2 , 3 u x x y u y x y y ∂ ⎧ = ⎪ ∂ ⎪ ⎨ ∂ − ⎪ = ⎪∂ ⎩ 3). Интегрируя первое из уравнений системы, получаем: 2 3 3 2 ( , ) ( ) ( ) x x u x y dx y y y y ϕ = + = + ∫ ϕ , где постоянная интегрирования по представляет собой функцию x ( ) y ϕ 4). Для нахождения ( ) y ϕ продифференцируем по y полученное для выражение: ( , ) u x y 2 4 3 ( ) u x y y y ϕ ∂ ′ = − + ∂ 5). Второе уравнение системы дает: 2 2 2 4 4 3 3 ( ) y x x y y y ϕ − ′ = − + , откуда 2 1 ( ) y y ϕ ′ = , 1 1 ( ) y y ϕ c = − + , значит, 2 1 3 1 ( , ) x u x y c y y = − + и общим интегралом ДУ является выражение 2 3 1 x c y y − = Дифференциальные уравнения 291 10.2.7. Таблица 1. Решение ДУ первого порядка Вид уравнения Тип уравнения Метод решения 1. ( ) ( ) 0 P x dx Q y dy + = с разделяющимися переменными непосредственное интегрирование 2. y y f x ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ однородное y u x = , , y u x = ⋅ y u x u ′ ′ = ⋅ + 3. 1 1 1 2 2 2 a x b y c y f a x b y c ⎛ + + ′ = ⎜ + + ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ обобщенное однородное , ; x X y Y α β = + ⎧ ⎨ = + ⎩ 1 1 1 2 2 2 0, 0; a b c a b c α β α β + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ dY y Y dX ′ ′ = = 4. ( ) ( ) y P x y Q x ′ = + линейное по ( ) y x y u y u u υ υ υ = ⋅ ′ ′ ′ = + 5. ( ) ( ) x P y x Q y ′ = + линейное по ( ) x y x u x u u υ υ υ = ⋅ ′ ′ ′ = + 6. ( ) ( ) n y P x y Q x y ′ + = ⋅ Бернулли y u υ = ⋅ 7. ( , ) ( , ) 0 P x y dx Q x y dy + = ( , ) 0 P Q y x du x y ∂ ∂ = ∂ ∂ = уравнение в полных дифференциалах интегрирование системы ( , ), ( , ) u P x y x u Q x y y ∂ ⎧ = ⎪ ∂ ⎪ ⎨∂ ⎪ = ∂ ⎪⎩ Лекции 10 - 11 292 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка Если ДУ первого порядка не разрешено относительно производной, т.е. имеет вид 0 ) , , ( = ′ y y x F , то через некоторые точки плоскости может про- ходить не одна интегральная кривая, т.е. для некоторых начальных значений может нарушиться единственность решения. ) , ( y x Линия называется огибающей однопа- раметрического семейства линий L ( , , ) 0 x y c Φ = , если она в каждой точке каса- ется той или иной линии семейства, причем в различных точках линии ее касаются различные линии данного семейства. L Для определения огибающей служат следующие два уравнения: ( , , ) 0, ( , , ) 0. c x y c x y c Φ Φ = ⎧ ⎨ ′ = ⎩ Пусть ДУ (*) имеет общий интеграл ( , , ) 0 F x y y′ = ( , , ) 0 x y c Φ = (**). Если это семейство интегральных кривых имеет огибающую, то оги- бающая также является интегральной кривой ДУ. Уравнения после исключения параметра , определяют функцию ( , , ) 0, ( , , ) 0, c x y c x y c Φ Φ = ⎧ ⎨ ′ = ⎩ c ( ) y x ψ = Если эта функция удовлетворяет ДУ (*) и не принадлежит семейству (**), то она называется особым решением ДУ. В каждой точке особого ре- шения нарушается единственность решения. Пример: Решите ДУ ( ) 2 2 1 y y′ + = 2 R . Решение: 2 2 R y dy dx y − = ± , 2 2 ydy dx R y = ± − , 2 2 ( ) ydy x c R y − = ± − ∫ Вычислим 2 2 1 2 2 ydy R y = − ∫ 2 2 2 R y t dt ydy ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ 1 2 dt t = − = ∫ 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 t t dt t R y − = − = − = − = − − ∫ x 0 y |