Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
О О О О Функции нескольких переменных 337 15.5. Частные производные первого порядка функции двух переменных Частной производной по x от функции ) , ( y x f z = называется предел = ∆ − ∆ + = ∆ ∆ → ∆ → x y x f y x x f x z x x ) , ( ) , ( lim lim 0 0 ∆x x y x f y x f x z x ∂ ∂ = ′ = ∂ z x ∂ = ) , ( ) , ( ′ Аналогично: y y z f ( x, y ) z f ( x, y ) y y ∂ ∂ ′ ′ = = = = ∂ ∂ 0 0 lim lim y y y z f ( x, y y ) f ( x, y ) y y ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ → → + − = Пример: 3 4 sin z x y y = + y x x z sin 3 2 = ∂ ∂ ; 3 3 4 cos y y x y z + = ∂ ∂ Геометрический смысл частных производных Пусть ) , ( y x f z = , ∈ M поверхно- сти . S Положим . Кривая есть се- чение поверхности const y = x Г S плоскостью, па- раллельной плоскости Oxz MK – касательная к кривой в точке x Г ) z , y , x ( M , а угол, который она состав- ляет с осью Ox , равен α ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ∂ ∂ dx dz x z , const y = α tg = ∂ ∂ x z Итак, частная производная x z ∂ ∂ численно равна тангенсу угла наклона касатель- ной к кривой, получающейся в сечении поверхности ) y , x ( f z = плоскостью . Аналогично const y = β tg = ∂ ∂ y z 0 M z x y S x z y 0 M S x z y x β K ′ 0 M S x z y K α x Γ О Лекции 15 - 16 338 15.6. Полный дифференциал функции Пусть ) y , x ( f z = , тогда полное приращение функции равно ( , ) ( , z f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − ) Рассмотрим две точки: ) y , x ( M и ) y y , x x ( M ∆ + ∆ + ′ , отстоящие друг от дру- га на расстоянии 2 2 ) y ( ) x ( ∆ + ∆ = ρ Устремим точку M ′ к точке M , при этом 0 → ρ Если при 0 → ρ можно подобрать не зависящие от x ∆ и величины y ∆ A и B так, что выражение ) y B x A ( ∆ ⋅ + ∆ ⋅ будет отличаться от z ∆ на величину более высокого порядка малости по сравнению с ρ , то оно на- зывается главной линейной частью полного приращения функции γρ + ∆ ⋅ + ∆ ⋅ = ∆ y B x A z , где 0 → γ при 0 → ρ 0 → ∆x ( , ) y 0 → ∆ Дифференциалы независимых переменных рав- ны их приращениям: x dx ∆ = , y dy ∆ = Полным дифференциалом ) y , x ( f z = называ- ется главная линейная часть полного прираще- ния функции: y B x A dz ∆ + ∆ = , где , const A B − Например, для xy z = геометрически проиллю- стрируем разницу между z ∆ и dz dz z ∆ y ∆ y x x ∆ О О О y x dz y x y x x y xy ) y y )( x x ( z ∆ ∆ + = ∆ ⋅ ∆ + ∆ + ∆ = − ∆ + ∆ + = ∆ , так как xdy ydx dz + = – главная (большая) линейная часть приращения функ- ции. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производ- ных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. Т Доказательство: Пусть ) y , x ( f z = По определению y B x A dz ∆ + ∆ = , а y x y B x A z ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∆ β α , где , α β – бесконечно малые при 0 → ∆x и 0 → ∆y Положим 0 = ∆y , тогда x x A z x ∆ + ∆ = ∆ α , откуда α + = ∆ ∆ A x z x Устремим 0 → ∆x , тогда A x z x z x x = ∂ ∂ = ∆ ∆ → ∆ 0 lim Аналогично: y z B ∂ ∂ = , значит, dy y z dx x z dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = Функции нескольких переменных 339 Если ) , ( y x f z = обладает непрерывными частными производными ) , ( y x f x z y ′ = ∂ ∂ и ) , ( y x f y z y ′ = ∂ ∂ в данной области, то она дифференцируема в этой области. О Геометрический смысл полного дифференциала функции ) , ( y x f z = : dz в точке изображается приращением аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности ) , ( 0 0 y x ) , ( y x f z = в точке ) , ( 0 0 0 y x M Пример: Найдите дифференциал функции y x z = dy y z dx x z dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = , так как 1 − = ∂ ∂ y yx x z , x x y z y ln ⋅ = ∂ ∂ , то xdy x dx yx dz y y ln 1 + = − С точностью до бесконечно малых более высокого порядка: dz z ≈ ∆ Значит, y y y x f x x y x f y x f y y x x f ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + ∆ + ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( Это равенство используется в приближенных вычислениях. Пример: Вычислите приближенное значение 02 , 2 ) 01 , 2 ( Функция имеет вид: y x z = Из приближенного равенства y y z x x z y x z y y x x z y x y x ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ≈ ∆ + ∆ + ) , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( ) , ( при 2 0 = x , , 2 0 = y 01 , 0 = ∆x , 02 , 0 = ∆y получаем , 4 2 ) , ( 2 0 0 = = y x z 1 − = ∂ ∂ y yx x z , 4 2 2 ) 2 , 2 ( = ⋅ = ∂ ∂ x z ; x x y z y ln = ∂ ∂ , 2 ln 2 2 ) 2 , 2 ( ⋅ = ∂ ∂ y z , получаем = + = ⋅ + ⋅ + ≈ ) 2 ln 02 , 0 01 , 1 ( 4 02 , 0 2 ln 4 01 , 0 4 4 ) 01 , 2 ( 02 , 2 4,04 0,08ln 2 + Лекции 15 - 16 340 15.7. Частные производные высших порядков Частные производные первого порядка от функции двух переменных ) , ( y x f z = , равные ) , ( y x f x z x ′ = ∂ ∂ и ) , ( y x f y z y ′ = ∂ ∂ , в свою очередь являются функциями переменных x и , и от них можно снова находить частные про- изводные второго порядка: y ) , ( 2 2 y x f x z x x z xx ′′ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ; ) , ( 2 2 y x f y z y y z yy ′′ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ; 2 ( , ) yx z z f x y x y x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ′′ = = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ; 2 ( , ) xy z z f x y y x y x ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ′′ = = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Две последние производные по разным переменным называются сме- шанными. Если функция ) , ( y x f определена в области D , в которой существуют производные , x f ′ y f ′ , xx f ′′ , yy f ′′ , xy f ′′ , yx f ′′ и смешанные производные xy f ′′ и непрерывны в точке yx f ′′ D y x ∈ ) , ( 0 0 , то смешанные производные не за- висят от порядка дифференцирования, т.е. равны друг другу: ) , ( ) , ( 0 0 0 0 y x f y x f yx xy ′′ = ′′ Запомним эту теорему. Пример: y x z = , 0 > x 1 y z y x x − ∂ = ⋅ ∂ ; 2 1 1 ln y y z yx x x y x − − ∂ = + ∂ ∂ ; x x y z y ln ⋅ = ∂ ∂ ; 2 1 ln y z yx x x x y 1 y − − ∂ = + ∂ ∂ , значит, x y z y x z ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 Пример: x y z ln ⋅ = x y x z = ∂ ∂ ; x y z ln = ∂ ∂ , 2 2 2 x y x y x x z − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ , ( ) 0 ln 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x y y z , 2 1 z y y x y x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Т О Функции нескольких переменных 341 Пример: Вычислите производную восьмого порядка 8 5 3 z x y ∂ ∂ ∂ функции 10 9 7 4 3 2 2 y y x x x x x z + + + + + = Последовательно вычисляем: 9 8 7 10 9 y y x y z + ⋅ = ∂ ∂ ; 8 7 7 2 2 9 10 8 9 y y x y z ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ; 7 6 7 3 3 8 9 10 7 8 9 y y x y z ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ; 6 6 3 4 7 7 8 9 y x y x z ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ ; 6 5 3 2 5 6 7 7 8 9 y x y x z ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ ; 6 4 3 3 6 5 6 7 7 8 9 y x y x z ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ ; 6 3 3 4 7 4 5 6 7 7 8 9 y x y x z ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ ; 6 2 6 2 3 5 8 2 ! 9 7 3 4 5 6 7 7 8 9 y x y x y x z ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ 15.8. Дифференциалы высших порядков Пусть ) , ( y x f z = , D y x ∈ ) , ( В предположении о существовании непрерывных частных производ- ных второго порядка вычислим дифференциал второго порядка функции z d 2 z как дифференциал первого порядка от дифференциала функции dz при ус- ловии, что dz является функцией только x и . При вычислении дифферен- циала от y dz и считаются постоянными, при вычислении дифференциала от dx dy x z ∂ ∂ и y z ∂ ∂ приращения x и берутся равными и y dx dy = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = = dy y z d dx x z d dy y z dx x z d dz d z d ) ( 2 = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = dydx x y z dy y z dxdy y x z dx x z 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy y x z dx x z ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ , где 2 2 ) (dx dx = , 2 2 ) (dy dy = Итак, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy y x z dx x z z d ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = |