Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
324 Покажем, что эта система может быть сведена к ДУ второго порядка для функции ( ) x t . Продифференцируем первое уравнение 2 11 12 2 d x dx a a dt dt y′ = + , подставим из второго уравнения, тогда y′ 2 11 12 21 22 2 ( ) d x dx a a a x a dt dt = + + y , отку- да 2 11 22 11 22 12 21 2 ( ) ( ) d x dx a a a a a a x dt dt − + + − = 0 0 Это уравнение является ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффи- циентами, его характеристическое уравнение имеет вид: 2 11 22 11 22 12 21 ( ) ( ) k a a k a a a a − + + − = , а решение ( ) x x t = зависит от корней характеристического уравнения. Пример: Найдите решение системы: , , dx ax y dt dy x ay dt a const ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − + ⎪⎩ = Решение: Перепишем систему в других обозначениях: , , x ax y y x ay ′ = + ⎧ ⎨ ′ = − + ⎩ где dx x dt ′ = , dy y dt ′ = Продифференцируем первое уравнение x ax y ′′ ′ ′ = + , подставим значение y′ из второго уравнения, тогда , 2 2 (1 ) 0 x ax a x ′′ ′ − + + = 2 2 2 (1 ) 0 k ak a + + + = , откуда и k a i = ± ( ) 1 2 ( ) cos sin at x t e C t C t = + Из первого уравнения найдем ( ) 1 2 cos sin t y x ax ae C t C t ′ = − = + ( ) + ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 sin cos cos sin sin cos at at at e C t C t ae C t C t e C t C t + − + − + = − + Ответ: ( ) ( ) 1 2 2 1 ( ) cos sin , ( ) cos sin . at at x t e C t C t y t e C t C t ⎡ = + ⎢ = − ⎢⎣ Пример: Найдите решение системы 3 2 3 4 , x x y y x y ′ = − ⎧ ⎨ ′ = − ⎩ Решение: 3 2 3(3 2 ) 2(3 4 ) 3 2 3 3 6 x x y x y x y x y x x x x x ′′ ′ ′ ′ ′ = − = − − − = + = + − = − , , 6 0 x x x ′′ ′ + − = 2 6 0 k k + − = , 1 2 k = , 2 3 k = − Корни действительные, разные. 2 3 1 2 t t x C e C e − = + , 2 3 1 2 3 3 2 2 t t x x C y e − C e ′ − = = + Системы дифференциальных уравнений 325 14.4.2. Непосредственное решение Рассмотрим однородную систему трех ЛДУ с постоянными коэффици- ентами для трех неизвестных функций 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z ′ = + + ⎧ ⎪ ′ = + + ⎨ ⎪ ′ = + + ⎩ (*) Сформулируем некоторые общие свойства таких систем: 1. Если функции { , , } x y z являются решением системы, то функции , где С – любое постоянное число, также являются решением системы. { , , Cx Cy Cz} 2. Если 1 1 1 { , , } x y z и 2 2 2 { , , } x y z - решения системы, то 1 2 1 2 1 2 { , , } x x y y z z + + + являются решением системы. Справедливость этих свойств устанавливается непосредственной под- становкой в систему. 3. Из вышеприведенных свойств следует, что если 1 1 1 { , , } x y z , 2 2 2 { , , } x y z и 3 3 3 { , , } x y z являются решениями системы, то их линейные комбинации также являются решением системы. 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 { , , C x C x C x C y C y C y C z C z C z + + + + + + } Будем искать ненулевые решения системы (*) в виде: kt x e α = , kt y e β = , kt z e γ = (**), где , , α β γ и - некоторые числа, которые нужно подоб- рать так, чтобы функции (**) удовлетворяли системе (*). k Подставляя функции (**) и их производные в систему, получим: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , kt kt kt kt kt kt kt kt kt kt kt kt ke a e a e a e ke a e a e a e ke a e a e a e α α β γ β α β γ γ α β γ ⎧ = + + ⎪ = + + ⎨ ⎪ = + + ⎩ ↔ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ( ) ( ) ( ) a k a a a a k a a a a k α β γ α β γ α β γ 0, 0, 0. − + + = ⎧ ⎪ + − + = ⎨ ⎪ + + − = ⎩ Получили однородную систему с тремя неизвестными , α β и γ . Для то- го, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Таким образом, число должно удовлетворять уравнению: k 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a k a a a a k a a a a k − − = − Лекция 14 326 Это уравнение называется характеристическим уравнением системы. Оно является уравнением третьего порядка относительно . Имеет три корня и . Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение систе- мы k 1 2 , k k 3 k 1 1 1 , , α β γ ; 2 2 , , 2 α β γ ; 3 3 , , 3 α β γ , а значит, и ненулевое решение исходной сис- темы дифференциальных уравнений имеет вид: 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 , , , , , , k t k t k t k t k t k t k t k t k t 1 2 3 , , x e y e z e x e y e z e x e y e z e α β γ α β γ α β γ ⎡ = = = ⎢ = = = ⎢ ⎢ = = = ⎣ Линейные комбинации этих функций с произвольными коэффициента- ми: 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , , , k t k t k t k t k t k t k t k t k t x C e C e C e y C e C e C e z C e C e C e α α α β β β γ γ γ ⎡ = + + ⎢ = + + ⎢ ⎢ = + + ⎢⎣ также будут решением системы. Пример: Решите систему 2 , 4 3 . x x y y x y ′ = + ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: 1 2 0 4 3 k k − = − , 2 1 2 4 5 0 5, k k k k 1 − − = → = = − Корни характеристического уравнения действительные, разные. Решение ищем в виде: 5 , t t x e y e α β − = = При этом 5 5 , t t x e y e α β − ′ ′ = = − . Подстановка решения такого вида в ис- ходную систему дает: 1) 5 k = : (1 5) 2 0, 4 (3 5) 0 α β α β − + = ⎧ ⎨ + − = ⎩ 4 2 0 α β → − + = 2 β α = , , коэффициент α ос- тается произвольным. Полагая 1 C α = , получим 5 5 1 1 1 1 , 2 t t x C e y C e = = 2) 1 k = − : (1 1) 2 0, 2 2 0, 4 (3 1) 0 α β α β β α β + + = ⎧ → + = = − ⎨ + + = ⎩ α , коэффициент α ос- тается произвольным. При 2 C α = : 2 2 t x C e − = , 2 2 t y C e − = − Системы дифференциальных уравнений 327 Общее решение имеет вид: 5 1 2 5 1 2 , 2 t t t t x C e C e y C e C e − − ⎡ = + ⎢ = − ⎢⎣ Пример: Решите систему , 3 , 3 x y z y x z x y ′ = + ⎧ ⎪ ′ = + ⎨ ⎪ ′ = + ⎩ z Решение: Ищем решение в виде , , kt kt kt x e y e z e α β γ = = = Система для нахождения неопределенных коэффициентов , α β и γ име- ет вид: 0, 3 0 3 0 k k k α β γ α β γ α β γ , − + + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ Характеристическое уравнение: 1 1 3 1 0 3 1 k k k − − = − 3 7 6 k k , 0 − − = 1 1 k = − , , 2 2 k = − , 3 3 k = Корни характеристического уравнения действительные, разные. Подста- вим в систему для нахождения , α β и γ полученные значения k : 1) : откуда 1 1 k = − 0, 3 0 3 0 α β γ α β γ α β γ + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ , , 0, α β γ = = − , γ - любое число; если 1 γ = , получим 1 0 x = , 1 t y e − = − , 1 t z e − = 2) : 2 2 k = − 2 0, , 0, 3 2 0 3 2 α β γ α β γ α β γ + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 2 , 3 2 , α β γ α β γ + = − ⎧ ⎨ + = − ⎩ , α γ β γ = − = , γ - любое число; если 1 γ = , то 2 2 t x e − = − , 2 2 t y e − = , 2 2 t z e − = 3) : 3 3 k = 3 0, , 0, 3 3 0 3 3 α β γ α β γ α β γ − + + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 3 , 3 3 , α β γ α β γ − + = − ⎧ ⎨ − = − ⎩ откуда 2 , 3 β γ α γ = = , где γ - любое число; если 3 γ = , то 2, 3 α β = = , 3 γ = и 3 3 3 3 3 2 , 3 , 3 t t 3t x e y e z e = = = Общее решение системы принимает вид: 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 , 3 , 3 t t t t t t x C e C e y C e C e C e z C e C e C e − − − − − ⎡ = − + ⎢ = − + + ⎢ ⎢ = + + ⎣ t t Лекция 14 328 Пример: Решите систему , 3 . x x y y x y ′ = − ⎧ ⎨ ′ = + ⎩ Решение: Характеристическое уравнение: 1 1 0 1 3 k k − − = − , 2 4 4 0 k k − + = , 1 2 2 k k = = Корни характеристического уравнения действительные, равные. Решение ищем в виде: 2 2 1 1 2 2 ( ) , ( ) t t x t e y t e α β α β = + = + Для него 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 2 2 ), ( t t ) x e t y e t β α β α β β ′ ′ = + + = + + Подстановка этих выражений в исходную систему дает два равносиль- ных уравнения вида 1 1 1 1 1 2 2 2 2 t t t α β β α β α β + + = + − − Приравнивая коэффициенты в этом уравнении, получаем: 2 1 2 1 1 , , β β α α β = − ⎧ ⎨ = − ⎩ при этом коэффициенты 1 α и 1 β остаются произвольными. Положим, 1 1 1 2 , C C α β = = , тогда общее решение имеет вид: ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 , t t x C C t e y C C C t e ⎧ = + ⎪ ⎨ = − + + ⎪⎩ Пример: Решите систему 7 , 5 . x x y y x y ′ = − + ⎧ ⎨ ′ = − − ⎩ Решение: Характеристическое уравнение: 7 1 0, 2 5 k k − − = − − − 2 12 37 0 k k + + = , 1,2 6 k i = − ± Корни характеристического уравнения комплексные. Ищем решение в виде , kt kt x e y e α β = = . Возьмем одно из комплексно-сопряженных значений : 6 k i = − + ( 7 6 ) 0, 2 ( 5 6 ) 0, i i α β α β − + − + = ⎧ ⎨− + − + − = ⎩ 0, 2 0, i i α α β α β β − − + = ⎧ ⎨ − + − = ⎩ уравнения равносильны, (1 ) i β α = + , α и β остаются произвольными, пусть, например, 1 i β = + , тогда , ( 6 ) i t x e − + = ( 6 ) (1 ) i t y i e − + = + По формуле Эйлера ( ) (cos sin ) i t e e t i α β α + = + t , поэтому 6 (cos sin ) t x e t i t − = + 6 (1 ) (cos sin ) t y i e t i t − , = + + = Системы дифференциальных уравнений 329 = 6 (cos sin ) t e t t − − + 6 (cos sin ) t ie t t − + За системы частных решений можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части: 6 1 cos t x e t − = , 6 2 sin t x e t − = ; , 6 1 (cos sin ) t y e t t − = − 6 2 (cos sin ) t y e t t − = + Этих функций достаточно, чтобы составить общее решение системы в виде: 6 1 2 6 1 2 ( cos sin ), [ (cos sin ) (cos sin )]. t t x e C t C t y e C t t C t t − − ⎧ = + ⎪ ⎨ = − + + ⎪⎩ Пример: Решите систему 5 , 2 x x y y x ′ = − ⎧ ⎨ ′ = − ⎩ y Характеристическое уравнение 1 5 0 2 1 k k − − = − − , 2 1,2 9 0, 3 k k i + = = ± i Воспользуемся . Ищем решение в виде , 3 k = 3it x e α = 3it y e β = , подста- новка такого решения в исходную систему приводит к системе: (1 3 ) 5 0, 3 2 0 i i α β β β α , − − = ⎧ ⎨ + − = ⎩ двух равносильных уравнений, поэтому α и β остаются произвольны- ми, так как 1 3 5 i β α − = , положим, например, 5 α = , i 3 1 − = β Следовательно, 3 5 5(cos3 sin 3 ) it x e t i = = + 3 (1 3 ) (1 3 )(cos3 sin 3 ) it y i e i t i t = − = − + t , Действительная и мнимая части этого решения также являются реше- ниями исходной системы, а их линейная комбинация с произвольными коэффициентами является общим решением: 1 2 1 2 5 cos3 5 sin 3 , (cos3 3sin 3 ) (sin 3 3cos3 ). x C t C t y C t t C t t = + ⎡ ⎢ = + + − ⎣ |