Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 40 из 47

312
4. Если ( )
( )
x
n
f x
P x e
α
=
, где ( ) - многочлен n-го порядка, то решение нужно искать в следующем виде в зависимости от значений корней характе- ристического уравнения:
n
P x
y
1) если
α
не является корнем характеристического уравнения, то
( )
x
n
y Q x e
α
=
, где
- многочлен n-ой степени с неопределенными ко- эффициентами, подлежащими определению подстановкой в НЛДУ;
n
Q
2) если
α
- простой (однократный) корень характеристического уравнения, то
( )
x
n
y xQ x e
α
=
;
3) если
α
- двукратный корень характеристического уравнения, то
2
( )
x
n
y x Q x e
α
=
5.
( )
cos sin
f x
M
x N
x
β
β
=
+
Будем искать частное решение в виде cos sin
y A
x B
x
β
β
=
+
, найдем А и В. sin cos
y
A
x B
x
β
β
β
′ = −
+
β
x
,
2 2
cos sin
y
A
x B
β
β
β
β
′′ = −
−
. Подстановка в
НЛДУ дает:
(
)
(
)
2 2
cos sin cos sin
A
Bp
Aq
x
B
Ap
Bq
x M
x N
x
β
β
β
β
β
β
β
−
+
+
+ −
−
+
=
+
β
Из системы
(
)
(
)
2 2
;
A q
Bp
M
Ap
B q
β
β
β
β
⎧
−
+
=
⎪
⎨
−
+
−
=
⎪⎩
N
найдем А и В.
1). Если число
i
β
не является корнем характеристического уравнения, то cos sin
y A
x B
x
β
β
=
+
;
2). Если число
i
β
является корнем характеристического уравнения, то
(
)
cos sin
y x A
x B
x
β
β
=
+
Пример:
Решите уравнение
4 4
cos
y
y
y
x
′′
′
−
+
=
Решение:
4 4
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
2 4
4
,
k
k
0
−
+ =
,
1,2 2
4 4
k
2
= ±
− =
(
)
2 1
2
x
y
c
c x e
=
+
,
1,2 1, k
β
β
=
≠ : cos sin
y
A
x B
x
=
+
Найдем А и В. sin cos ,
cos sin
y
A
x B
x
y
A
x B
′
′′
= −
+
= −
−
x
;
(
) (
) (
)
cos sin
4
sin cos
4
cos sin cos
A
x B
x
A
x B
x
A
x B
x
x
−
−
− −
+
+
+
=
;
(
)
(
)
4 4
cos
4 4
sin cos
A
B
A
x
B
A
B
x
− −
+
+ − +
+
=
x ;
3 4
1,
3 4
3 4
,
cos
4 3
0,
25 25 25 25
A
B
A
B
y
x
A
B
−
=
⎧
→ =
= −
⇒ =
−
⎨
+
=
⎩
sin x ;
(
)
2 1
2 3
4
cos sin
25 25
x
y
c
c x e
x
=
+
+
−
x

Линейные дифференциальные уравнения
313
Пример:
Найдите решение НЛДУ
4
cos 2
y
y
x
′′ +
=
Решение:
2 1,2 4 0 2
k
k
i
+ = →
= ± .
y
y
y

+
=
1 2
cos 2
sin 2
y c
x c
x
=
+
. Так как является корнем характеристического уравнения:
2i
(
)
cos 2
sin 2
y x A
x B
x
=
+
,
(
)
2
sin 2
cos 2
cos 2
sin 2
y
x
A
x B
x
A
x B
′ =
−
+
+
+
x ,
(
) (
)
4
cos 2
sin 2 4
sin 2
cos 2
y
x
A
x B
x
A
x B
x
′′ =
−
−
+ −
+
Подстановка в уравнение дает:
(
)
(
)
4 4
4
cos 2 4
4 4
sin 2
cos 2
Ax
B
Ax
x
Bx
A
Bx
x
x
−
+
+
+ −
−
+
=
, откуда
4 1,
1 0,
4 0,
4
B
A
B
A
=
⎧
→ =
=
⎨− =
⎩
, sin 2 4
x
y
x
=
и
1 2
cos 2
sin 2
sin 2 4
x
y c
x c
x
x
=
+
+
6. Если ( )
( )
cos
( )
sin
x
n
m
x
f x
P x e
x Q x e
α
α
x
β
β
=
+
, то в зависимости от кор- ней характеристического уравнения нужно искать в виде:
y
1) если число
i
α
β
+
не является корнем характеристического уравнения, то
( )
cos
( )
sin
x
x
p
p
y R x e
x V x e
x
α
α
β
β
=
+
, где
( )
p
R x
и V
- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов ( ) и ( ) ,
( )
p
x
n
P x
m
Q x
max( , )
p
n m
=
;
2)
если число
i
α
β
+
является корнем характеристического уравнения, то
[
( )
cos
( )
sin
x
x
p
p
y x R x e
x V x e
x
α
α
]
β
β
=
+
Указанный вид частного решения сохраняется и в тех случаях, когда один из многочленов равен нулю, т.е.
( )
( )
cos
x
n
f x
P x e
x
α
β
=
или
( )
( )
sin
x
m
f x
Q x e
α
x
β
=
!
)
x
Пусть НЛДУ таково, что его правая часть представляет собой сумму не- скольких, например, двух функций
1 2
1 2
( )
(
y
a y
a y
f x
f
′′
′
+
+
=
+
. Тогда если - частное решение
1
y
1 2
1
( )
y
a y
a y
f x
′′
′
+
+
=
, а
- частное решение
, то частное решение исходного НЛДУ есть суперпозиция этих двух:
2
y
1 2
2
( )
y
a y
a y
f x
′′
′
+
+
=
1 2
y y
y
= + .
Т

Лекции 12 - 13
314
13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ
′′
′
( )
y + py + qy = f x
O.O.
Ч.Н.
y = y
+ y
= y + y
13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
( )
f x
Корни характеристического уравнения
Вид
Ч Н
y
y
=
1.
( )
n
P x
а) 0 – не корень б) 0 – корень кратно- сти r (r =1,2)
( )
n
y Q x
=
( )
r
n
y x Q x
=
2.
( )
x
n
e P x
α
а)
α
– не корень б)
α
– корень крат- ности r (r =1,2)
( )
x
n
y e Q x
α
=
( )
r
x
n
y x e Q x
α
=
3. cos sin
A
x B
x
β
β
+
а)
i
β
– не корень б)
i
β
– корень
1
cos sin
y A
x B
x
β
β
=
+
(
)
1 1
cos sin
r
y x A
x B
x
β
β
=
+
4. ( )cos
n
P x
x
β
+
( )sin
m
R x
x
β
+
а)
i
β
– не корень б)
i
β
– корень cos sin
k
k
y Q
x M
x
β
β
=
+
,
[
cos sin
r
k
k
y x Q
x M
x]
β
β
=
+
, max( , )
k
n m
=
5.
[ ( )cos
x
n
e
P x
x
α
β
+
( )sin
]
m
R x
x
β
+
а)
i
α
β
+
– не корень б)
i
α
β
+
– корень кратности r (r =1,2)
[
cos sin
x
k
k
y e Q
x M
x
α
]
β
β
=
+
,
[
cos sin
r
x
k
k
y x e Q
x M
x
α
]
β
β
=
+
Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами.
13.3.2. Метод вариаций произвольной постоянной
1 1
2 2
( )
( )
O H
y
c x y
c x
=
+
y
, если и
- частные решения ОЛДУ и
1
y
2
y
1 1 2 2 1 1 2 2 0,
( ).
c y
c y
c y
c y
f x
′
′
+
=
⎧
⎨ ′ ′ ′ ′
+
=
⎩
13.3.3. Принцип суперпозиции
Если
1 2
( )
( )
( ) ...
( )
n
f x
f x
f x
f x
=
+
+ +
, то
1 2
n
y
y
y
y
=
+
+ + .

Линейные дифференциальные уравнения
315
13.4. НЛДУ высших порядков
( )
(
1)
1
( ), (
1,2,..., )
n
n
n
i
y
a y
a y
f x a i
n
−
+
+ +
=
=
,
( )
f x – непрерывные функ- ции или постоянные. Пусть известно общее решение
1 1 2 2
n n
y c y
c y
c y
=
+
+ +
соответствующего ОЛДУ:
( )
( 1)
1 0
n
n
n
y
a y
a y
−
+
+ +
=
n
13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных
Общее решение НЛДУ имеет вид
1 1
2 2
( )
( )
( )
n
y c x y
c x y
c x y
=
+
+ +
, где
(i =1,2,…, n) – частные решения ОЛДУ, а
i
y
( )
i
i
c
c x
=
(i =1,2,…, n) – функции, производные которых удовлетворяют системе уравнений:
Т
1 1 1 1
(
2)
1 1
(
1)
1 1
c y
c
c y
c
c y
c y
⎧ ′
′
⎪
′ ′
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
2 2 2 2
(
2)
(
2)
2 2
(
1)
(
1)
2 2 0,
0,
0,
( ),
n n
n n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
y
c y
y
c y
c y
c y
c y
c y
f x
−
−
−
−
−
−
′
+
+ +
=
′ ′
′ ′
+
+ +
=
′
′
′
+
+ +
=
′
′
′
+
+ +
=
(*) т.е. являются решением этой системы
1 2
{ ( ), ( ),..., ( )}
n
c x c x
c x
′
′
′
при
(
)
1 2
, ,...,
0
n
W y y
y
∆ =
≠ для линейно независимых частных решений и имеют вид:
1 2
, ,...,
n
y y
y
1 1
2 2
( )
,
( )
,
( )
n
n
c x
c dx c
c x
c dx c
c x
c dx c
⎡
′
=
+
⎢
⎢
′
=
+
⎢
⎢
⎢
′
=
+
⎢⎣
∫
∫
∫
1 2
n
1 1 2 2
n n
′
Доказательство:
Продифференцируем у n раз, учитывая (*):
y c y
c y
c y
=
+
+ +
,
1 1 2 2
n n
y
c y
c y
c y
′
′
′
=
+
+ +
,
(остальные члены равны нулю из первого уравнения системы для (*)).
i
c′
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
1 1 2 2
n
n
n
n n
y
c y
c y
c y
−
−
−
=
+
+ +
n
−
x
,
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
( )
n
n
n
n
n n
y
c y
c y
c y
f
=
+
+ +
+

Лекции 12 - 13
316
Умножим полученные выражения для производных на коэффициенты и сложим их почленно. Суммы по вертикальным столбцам равны нулю, так как
- частные решения ОЛДУ, ненулевыми остаются слагаемые
, значит
- решение
НЛДУ.
i
a
(
1,2,..., )
i
=
n
1 2
, ,...,
n
y y
y
( )
(
1)
1
( )
n
n
n
y
a y
a y
f x
−
+
+ +
=
y
Пример:
Найдите решение НЛДУ
1
sin
y
y
x
′′′
′
+ =
Решение:
1. Найдем частные решения ОЛДУ:
0
y
y
′′′
′
+ =
,
3 0
k
k
+ =
,
1 0
k
=
,
2,3
k
i
= ± .
Значит,
,
1 1
y
=
2 3
cos ,
sin
y
x y
=
=
x
2. Установим вид
O O
y
y
= :
1 2
3
cos sin
y c
c
x c
x
= +
+
3. Запишем вид
:
O H
y
1 2
3
( )
( ) cos
( )sin
y c x
c x
x c x
x
=
+
+
4. Составим систему уравнений для определения
)
(x
c
i
′
:
1 2
3 2
3 2
3 1
cos sin
0,
sin cos
0,
1
cos sin sin
c
c
x c
x
c
x c
x
c
x c
x
x
⎧
⎪ ′
′
′
⋅ +
+
=
⎪
′
′
−
+
=
⎨
⎪
⎪
′
′
−
−
=
⎩
Решением этой системы являются:
1 2
3 1
cos
,
,
sin sin
x
c
c
c
1
x
x
′
′
′
=
= −
= −
5. Найдем ( ) :
i
c x
1 1
( )
ln tg sin
2
dx
x
c x
c
x
=
=
+
∫
,
2 2
cos
( )
ln sin
,
( )
sin
x
c x
dx
x c
c x
x c
3 3
x
= −
= −
+
= −
∫
+
6. Запишем решение:
(
)
(
)
1 2
3 1
2 3
x ln tg ln | sin |
cos sin
2
ln tg cos ln | sin |
sin cos sin .
2
y
c
x
c
x
x c
x
x
x
x
x
x c
c
x c
x
=
+ + −
+
+ − +
=
−
−
+ +
+
=
13. 4.2. Метод неопределенных коэффициентов
Частное решение НЛДУ может быть найдено методом неопределен- ных коэффициентов для некоторых видов функции
y
( )
f x в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.
Рассмотрим следующие случаи:
I.
( )
( )
x
f x
P x e
α
=
1). Если
α
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
( )
x
y R x e
α
=
, где
( )
R x - многочлен с неизвестными ко- эффициентами, степень которого совпадает со степенью
( )
P x ;

Линейные дифференциальные уравнения
317
2). Если
α
корень кратности
µ
характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
( )
x
y x R x e
µ
α
=
Пример:
3 1
IV
y
y x
− =
+
Характеристическое уравнение
4 4
1 0,
1
k
k
− =
= ,
1 2
3 4
1,
1,
,
k
k
k
i k
i
=
= −
=
= − .
Общее решение однородного уравнения:
1 2
3 4
cos sin
x
x
y C e
C e
C
x C
x
−
=
+
+
+
Правая часть уравнения
( )
3 1
f x
x
=
+ имеет вид:
( )
x
n
P x e
α
, где
3,
0
n
α
=
=
, корни характеристического уравнения не совпадают с
α
Частное решение ищем в виде:
( )
( )
(
)
0 3
2 2
3 0
1 2
3 0
1
,
' 3 2
x
x
n
y
R x e
R x e
A x
A x
A x A
y
A x
A x A
α
=
=
=
+
+
+
=
+
2
,
+
3 2
3 0
1 0
0 1
2 3
" 6 2 ,
'" 6 ,
0,
1
IV
y
A x
A y
A y
A x
A x
A x A
x
=
+
=
=
−
−
−
−
=
+ .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:
x
0 0
1,
1
A
A
−
=
= − ,
3 1
2 3
0,
0,
1,
1
A
A
A
y
x
=
=
= −
= − − .
Общее решение:
3 1
2 3
4
cos sin
1
x
x
y C e
C e
C
x C
x x
−
=
+
+
+
−
−
II.
( )
( )
( )
cos sin
x
x
f x
P x e
x R x e
x
α
α
β
β
=
+
1). Если
i
α
β
+
не является корнем характеристического уравнения, то ча- стное решение ищем в виде
( )
( )
cos sin
x
x
y u x e
x
x e
x
α
α
β
υ
β
=
+
, где
( ) ( )
,
u x
x
υ
- многочлены, степень которых равна наивысшей степени
( )
P x и
( )
R x .
2). Если
i
α
β
+
является корнем характеристического уравнения кратности
µ
, то частное решение:
( )
( )
cos sin
x
x
y x u x e
x
x e
x
µ
α
α
β
υ
β
⎡
⎤
=
+
⎣
⎦ .