Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
11.5.4. ДУ вида ( ) ( ) ( ) 1 , , ',..., 0 n d G x y y y x dx − = Левая часть ДУ такого вида может быть представлена в виде полной р й п оизводно по x от некоторой функции. Покажем, что интегрирование по x Пример: понижает порядок уравнения на единицу. ( ) 2 2 1 , " ' ', " 2 2 x x '" " 1 0 xy y x xy x xy x C ⎛ ⎞ + − − = + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , = 1 " 1 2 x C y x = + + резуль денты некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка, ДУ n-го порядка, допускающие понижение порядка. В тате изучения материала, изложенного в этих лекциях, сту должны различать и уметь решать: сновные типы ДУ первого порядка, о Лекции 12 - 13 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В лекции рассмотрены линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным ДУ с постоянными коэффициентами, воз- никающим как простейшая математическая модель явления при рассмотрении многих за- дач естественных и прикладных наук. 12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства 12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка 12.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка 12.6. НЛДУ второго порядка 13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных 13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ ( ) y py qy f x ′′ ′ + + = 13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.3.2. Метод вариации произвольной постоянной 13.3.3. Принцип суперпозиции 13.4. НЛДУ высших порядков 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных 13.4.2. Метод неопределенных коэффициентов 13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной 12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства Линейным называется ДУ, содержащее функцию у и ее производные в первой степени. О Неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ) n-го порядка называется ДУ вида: О ( ) ( 1) 1 ( ) n n n y a y a y f x − + + + = , Линейные дифференциальные уравнения 301 где ( ) 1,2,..., i a i n = и ( ) f x - непрерывные функции от х или постоянные, причем правая часть ( ) 0 f x ≠ . Линейное ДУ называется однородным (ОЛДУ), если ( ) 0 f x = . О Рассмотрим ОЛДУ второго порядка: 1 2 0 y a y a y ′′ ′ + + = . Пусть и - частные решения ДУ. 1 1 ( ) y y x = 2 2 ( ) y y x = О Два решения ДУ и называются линейно независимыми, если их линейная комбинация лишь в случае 1 y 2 y 1 1 2 2 0 c y c y + = 1 2 0 c c = = . Решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда 1 y 2 y 2 1 y cy = Например, функции 1 x y e = и 2 3 x y = e - линейно зависимы, а функции 1 x y e = и 2 x y e − = - линейно независимы. Если и являются функциями 1 y 2 y x , то определитель ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 W , y y y y y y y y y y ′ ′ = = − ′ ′ называется определителем Вронского. О Если функции и линейно зависимы на , то 1 2 y [ , a b ( y ] ) 1 2 W y , 0 y ≡ Т , [ , ] x a b ∈ Доказательство: 2 1 2 1 y y y y λ λ ′ ′ = → = и ( ) 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 W y , 0 y y y y y y y y y y y y y λ λ λ = = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ = y [ , a b Если решения и ДУ линейно независимы на , то 1 y 2 ] ( ) 1 2 W y , 0, [ , ] y x a ≠ ∈ b . Т Доказательство: Допустим противное: ( ) 1 2 W y , 0 y = , тогда 1 2 1 2 0 y y y y′ ′ − = . Для 1 y 0 : ≠ 1 2 1 2 2 1 0 y y y y y ′ ′ − = , т.е. 2 1 0 y y ′ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и 2 1 const y y = , что противоречит условию, значит, W 0 ≠ Если и - линейно независимые частные решения ОЛДУ второго порядка , то общее решение ДУ равно линейной ком- 1 y 2 y 1 2 0 y a y a y ′′ ′ + + = Т Лекции 12 - 13 302 бинации этих частных решений 1 1 2 2 y c y c y = + , где - произвольные по- стоянные. 1 2 , c c Доказательство: 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 0, 0 y a y a y y a y a y ′′ ′ ′′ ′ + + = + + = Подставим решение в виде 1 1 2 2 y c y c y = + в исходное уравнение: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 c y c y a c y c y a c y c y ″ ′ + + + + + = ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 0 0 c y a y a y c y a y a y c c ′′ ′ ′′ ′ = + + + + + = ⋅ + ⋅ = 0 , значит, - общее решение ОЛДУ при любом выборе посто- янных. 1 1 2 2 y c y c y = + Пример: Решите уравнение ( ) 1 0 x y xy y ′′ ′ − − + = . Решение: Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции удовлетворяют уравнению, причем 1 2 , x y x y e = = 2 1 const y y ≠ , т.е. они линейно незави- симы, значит 1 2 x y c x c e = + Если известно одно частное решение ОЛДУ 2-го порядка , то второе частное решение, линейно независимое с первым, находится интегриро- ванием линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) первого поряд- ка. 1 y y a y a y ′′ ′ + + 1 y y Т Доказательство: Пусть ; - частное решение, значит, . Второе частное решение ищем в виде , где - неизвестная функция. 1 2 0 = 1 1 1 2 1 0 y a y a y ′′ ′ + + = 2 1 ( ) y u x = ( ) u x Подставим в ДУ: 2 y ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 0 y a y a y u y u y a y u ′′ ′ ′′ ′ ′ + + ⋅ + + + = , ( ) 1 1 1 1 2 0 y u y a y u ′′ ′ ′ + + = . Заменой u p ′ = , приходим к ДУ первого порядка для нахождения функции р: ( ) 1 1 1 1 2 y p y a y p 0 ′ ′ + + = 2 1 ( ) y u x y = , интегрирование ко- торого позволяет найти функцию и , т.е. ( ) u x 1 2 1 2 1 a dx e y y d y − ∫ = ∫ x 12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение Линейные дифференциальные уравнения 303 0 y py qy ′′ ′ + + = . (*) Ищем его решение в виде (подстановка Эйлера), найдем значения . Продифференцируем : , . Подстановка такого вида реше- ния в ДУ дает: kx y e = k y kx y ke ′ = 2 kx y k e ′′ = 2 0 kx kx kx k e pke qe + + = , 2 0 k pk q + + = . О Уравнение 2 0 k pk q + + = (**) называется характеристическим уравнением ОЛДУ для определения k Решения характеристического уравнения имеют вид: 2 2 2 4 p p k q 1, = − ± − . Возможны следующие виды решений: 1). Если 2 0 4 p D q = − > , то характеристическое уравнение имеет два действи- тельных различных корня и , 1 k 2 k 1 2 k k ≠ . В этом случае ОЛДУ имеет два линейно независимых ( 1 k k 2 ≠ ) различных ча- стных решения . Общее решение ДУ имеет вид: 1 1 2 , k x k x y e y e = = 2 1 2 1 2 k x k x y c e c e = + , где 2 1,2 2 4 p p k q = − ± − . Пример: Найдите решение ОЛДУ 0 8 2 = − ′ − ′′ y y y x x e c e c y k k k k 2 2 4 1 2 1 2 , 2 , 4 , 0 8 2 − + = − = = = − − 2). Если 2 0 4 p D q = − = 2 , то и характеристическое уравнение имеет ко- рень 1 k k = 2 p k = − кратности два. Одно частное решение имеет вид: 2 1 p x y e − = . Вто- рое линейно независимое частное решение ищем в виде: 2 2 1 ( ) p x y y u x e − = ⋅ = ⋅u , тогда 2 2 2 2 2 2 p p p x x x p p y e u e u e u u − − − ⎛ ⎞ ⎛ ′ ′ ′ = ⋅ + − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ , Лекции 12 - 13 304 2 2 2 2 2 2 2 2 4 p p p x x x p p p p y e u u e u u e u pu u − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ = − − − = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ После подстановки в ОЛДУ и сокращения на 2 p x e − получим 2 2 0 4 2 p p u pu u pu u qu ′′ ′ ′ − + + − + = , и уравнение для принимает вид: ( ) u x 2 0 4 p u q u ⎛ ⎞ ′′ + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ В рассматриваемом случае равных корней характеристического уравнения 2 0 4 p D q = − = , и тогда 1 0, , u u C ′′ ′ = = 1 2 u C x C = + , ( ) 2 2 1 2 p x y C x C e − = + . По- ложим, , тогда 1 2 1, 0 C C = = 2 2 p x y xe − = Общее решение ОЛДУ в случае 1 2 k k k = = имеет вид: ( ) 1 2 kx y e c c x = + , где 2 p k = − ! Убедиться в том, что выражение является вторым линейно не- зависимым решением дифференциального уравнения при условии, что 2 kx y xe = 2 p k = − является решением характеристического уравнения, можно не- посредственной подстановкой. Пример: 0 9 6 = + ′ − ′′ y y y ( ) x e x c c y k k k k 3 2 1 2 1 2 , 3 9 9 3 , 0 9 6 + = = − ± = = = + − 3). Если 2 0 4 p D q = − < , то характеристическое уравнение имеет два сопря- женных комплексных корня 2 1,2 2 4 p p k i q = − ± − , 1 2 , k i k i α β α β = + = − , где 2 , 2 4 p p q α β = − = − Частные решения имеют вид: ( ) ( ) 1 2 , i x i x y e y e α β α β + − = = Общее решение ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 i x i x x i x i x y c e c e e c e c e α β α β α β β + − = + = + − , где 1 c и 2 c - та- кие комплексные постоянные, что у – действительная функция. Линейные дифференциальные уравнения 305 По формуле Эйлера: cos sin i x e x i x β β β = + cos sin i x e x i x β , β β − = − , тогда ( ) ( ) 1 2 1 2 cos sin x y e c c x i c c x α β β ⎡ ⎤ = + + − ⎣ ⎦ . Полагая 1 2 c c c 1 + = , ( ) 1 2 i c c c − = 2 , - действительные постоянные, получим общее решение ОЛДУ в виде 1 2 , c c ( ) 1 2 cos sin x y e c x c x α β β = + , где 2 1,2 2 4 p p k i q i α β = − ± − = ± 4). В частном случае , когда 2 0 y y β ′′ + = 2 0, , 0 p q β α = = = , 1,2 k i β = ± , об- щее решение имеет вид: 1 2 cos sin y c x c x β β = + Пример: 0 13 6 = + ′ − ′′ y y y 2 , 3 , 2 3 , 0 13 6 2 = = ± = = + − β α i k k k , ( ) x c x c e y x 2 sin 2 cos 2 1 3 + = 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка ′′ ′ 0 0 2 y + py + qy = , k + pk + q = Корни характеристического уравнения Вид общего решения 1. 2 1 1,2 2 0, 2 4 k p p D k q k ⎡ > = − ± − = ⎢ ⎣ - действительные, разные. 1 2 1 2 k x k x y c e c e = + 2. 1 2 2 p k k k = = = − - действительные, равные, кратность 2. ( ) 1 2 kx y c c x e = + 3. 2 1,2 , , 2 4 p p k i q α β α β = ± = − = − - комплексные. ( ) 1 2 cos sin x y e c x c x α β β = + 4. 1,2 , 0 k i β α = ± = 1 2 cos sin y c x c x β β = + |