Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 32 из 47

первооб-
разную
( )
F x для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла);
2) вычислить
( )
( )
F b
F a
−
Пример:
1)
(
)
2 2
2 2
2
b
b
b
a
a
a
x
k
kxdx k xdx k
b
a
=
=
=
−
∫
∫
2)
0 0
sin cos cos cos 0 2
xdx
x
π
π
π
= −
= −
+
=
∫
Пример:
Вычислить
∫
2
ln
e
e
x
x
dx
Решение:
∫
2
ln
e
e
x
x
dx
=
( )
∫
2
ln ln
e
e
x
x
d
= ln
2
ln
e
e
x
= ln(ln e
2
)
− ln(ln e) = ln 2 ≈ 0,69.
Пример:
Вычислить
∫
π
π
4 6
2
x
cos
dx
Решение:
4 2
6
cos
dx
x
π
π
∫
=
4 6
tgx
π
π
= tg
4
π
− tg
6
π
= 1
−
3 3
7.6. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть 1)
( )
f x непрерывна на
[ ]
,
a b ; 2)
( )
x g t
=
- непрерывно диффе- ренцируема на
[
]
,
α β
(
[ ]
,
a b - область значений
( )
g t при изменении
Т

Лекции 7 - 8
254
[
,
t
]
α β
∈
); 3)
( )
a g
α
=
,
( )
b g
β
=
, тогда
( )
( )
(
)
( )
b
a
f x dx
f g t g t dt
β
α
′
=
∫
∫
- форму- ла замены переменной под знаком определенного интеграла.
Доказательство:
Левая часть
( )
( )
( )
b
a
f x dx F b
F a
=
−
∫
Здесь
( )
( )
(
)
F x
F g t
=
( )
(
)
( )
t
x
t
F
F
x
F g t
g t
′
′
′
′
′
=
⋅
=
⋅
;
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
F g t
F x
f x
f g t
′
′
=
=
=
Таким образом,
( )
(
)
( )
'
t
F
f g t
g t
=
⋅ '
, следовательно,
( )
(
)
F g t является перво- образной для функции
( )
(
)
( )
'
f g t
g t
⋅
на
[
]
,
α β
Правая часть
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
'
f g t
g t dt F g
F g
β
α
)
β
α
⋅
=
−
∫
, то есть
( )
(
)
( )
( )
( )
'
f g t
g t dt F b
F a
β
α
⋅
=
−
∫
. Левая часть равна правой части, что и тре- бовалось доказать.
Пример:
2 2
0
sin , 0= sin ,
0
cos
,
= sin ,
2
r
x r
t
r
r
x dx
dx r
tdt
r r
α α
π
β β
=
=
⎧
⎫
⎪
⎪
−
=
=
⎨
⎬
=
=
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
(
)
/ 2
/ 2
/ 2 2
2 2
2 2
2 0
0 0
sin cos cos
1 cos 2 2
r
r
r
tr
tdt
r
tdt
t dt
π
π
π
=
−
=
=
+
∫
∫
∫
=
2 2
2 0
1
sin 2 2
2 4
r
r
t
t
π
π
⎛
⎞
=
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример:
2 2
2 1
1
dt
1 1
1
, dx=-
,1= ,
1,2
, =
t
2 1
dx
x
t
x x
α
β
α
β
⎧
⎫
=
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
+
∫
=
(
)
1 1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 2
2 2
=ln t+
1
=
1 1
tdt
dt
t
t
t
t
t
= −
=
+
+
+
∫
∫
(
)
1+ 5
ln 1+ 2 -ln
2

Определенный интеграл
255
7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций на
[
]
,
a a
−
1)
( )
f x - четная
( )
( )
(
)
f
x
f x
− =
( )
( )
( )
0 0
a
a
a
a
f x dx
f x dx
f x dx
−
−
=
+
∫
∫
∫
( )
0
,
,
0
,
0
a
x
t dx
dt
f x dx
a
a
α
α
β β
−
= −
= −
⎧
⎫
⎪
⎪
= − = −
=
=
⎨
⎬
⎪
⎪
= −
=
⎩
⎭
∫
( )
( )
( )
0 0
0
a
a
a
f
t dt
f t dt
f x dx
= −
−
=
=
∫
∫
∫
,
( )
( )
0 2
a
a
a
f x dx
f x dx
−
=
∫
∫
2)
( )
f x - нечетная функция
( )
( )
(
)
f
x
f x
− = −
( )
( )
( )
0 0
a
a
a
a
f x dx
f x dx
f x dx
−
−
=
+
∫
∫
∫
( )
0
,
,
0
,
0
a
x
t dx
dt
f x dx
a
a
α
α
β β
−
= −
= −
⎧
⎫
⎪
⎪
= − = −
=
=
⎨
⎬
⎪
⎪
= −
=
⎩
⎭
∫
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
a
a
a
a
f
t dt
f t dt
f t dt
f x dx
= −
−
=
= −
= −
∫
∫
∫
∫
,
( )
0
a
a
f x dx
−
=
∫
7.7. Интегрирование по частям
Пусть и имеют на
( )
u x
( )
v x
[ ]
,
a b непрерывные производные, тогда
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
b
b
b
a
a
a
u x v x dx
u x v x
u x v x dx
′
′
=
−
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
∫
Т
, то
b
b
b
a
a
a
udv uv
vdu
=
−
∫
∫
Или: так как
( )
'
v x dx dv
=
,
( )
'
u x dx du
=

Лекции 7 - 8
256
Доказательство:
( )
'
'
'
uv
uv vu
=
+
[
]
( )
'
'
'
b
b
a
a
uv vu dx
uv dx
+
=
∫
∫
,
,
'
'
b
b
b
a
a
a
uv dx
vu dx uv
+
=
∫
∫
,
b
b
b
a
a
a
udv uv
vdu
=
−
∫
∫
, что и требовалось доказать.
Пример:
(
)
1 0
2 1
2 1
0 0
arcctg arcctg
1 1
1
arcctg ln
1
ln2 2
4
u
x, dv dx
2
xdx
dx
du
, v x
x
x
x
x
π
=
=
⎧
⎫
⎪
⎪
=
=
⎨
⎬
= −
=
⎪
⎪
+
⎩
⎭
=
+
+
= +
∫
.
Пример:
Вычислить
∫
−
1 0
dx
xe
x
∫
−
1 0
dx
xe
x
{
=
u
= x, dv = e
-x
dx
, du = dx, v = -e
-x
} =
=
1 0
x
xe
−
−
+
= -е
∫
−
1 0
dx
e
x
-1 1
0
x
e
−
−
=
e
e 2
−
8.1. Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах
1)
( )
0
f x
≥ ,
( )
b
a
S
f x d
=
∫
x
2)
( )
0
f x
≤ ,
( )
b
a
S
f x
= −
∫
dx

Определенный интеграл
257
3)
( )
( )
1 2
f x
f x
≥
,
( )
( )
1 2
b
a
S
f x
f x
=
−
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
dx
1)*
( )
0
f y
≥ ,
( )
d
c
S
f y d
=
∫
y
2)* и 3)* аналогичны 2) и 3).
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной пара- болой у = х
2
, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абс- цисс .
Решение:
2
y
x
=
Используем формулу 3.1 S =
2 2
1
x dx
−
∫
=
2 3
1 3
x
−
= 3.
Пример:
Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у =2х
− х
2.
Решение:
y
x
= −
Преобразуем уравнение параболы у =2х
− х
2
=
− (х
2
− 2х + 1) + 1, (у − 1) =
=
− (х − 1)
2
Находим абсциссы точек пересечения (А и В), имеем:
2 1
2 2
,
,
3.
y
x x
x
y
x x
⎧ =
−
=
⎨
= −
=
⎩
0,
S
=
(
)
( )
3 2
0 2
x x
x
d
⎡
⎤
−
− −
⎣
⎦
∫
(
)
3 2
0 3x-x dx
∫
x =
=
3 2
3 0
3 1
2 3
x
x
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
=
9 2

Лекции 7 - 8
258
Пример:
Вычислить площадь эллипса
2 2
2 2
1
x
y
a
b
+
=
2 2
1
x
y
b
a
= ±
−
,
2 2
0 4
1
sin ,
0,
2
a
эл
x
S
b
dx
x a
t
a
π
α
β
⎧
⎫
=
−
=
=
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
[
]
2 2
2 0
0 4
cos
2
sin 2
ab
tdt
abt ab
t
ab
π
π
π
=
=
+
=
∫
эл
S
ab
,
π
=
8.1.2. Параметрическое задание линий
Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости коор- динат x и y от некоторого параметра t:
( ),
( )
x x t y y t
=
=
. При изменении пара- метра t текущая точка M(x, y) описывает некоторую кривую на плоскости.
Исключением параметра уравнение линии приводится к уравнению в декар- товых координатах и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрическими уравне- ниями.
8.1.3. Вычисление площадей фигур, граница которых задана
кривыми в параметрической форме
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:
( )
( )
,
,
x
x t
y
y t
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
t
α
β
≤ ≤ ,
( )
a x
α
=
,
( )
b x
β
=
( )
( )
( )
{
}
( ) ( )
, =
'
b
b
a
a
S
f x dx
ydx
x
x t
dx x t dt
y t x t dt
β
α
′
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
;
( ) ( )
'
S
y t x t d
β
α
=
∫
t .
Пример:
Вычислить площадь эллипса.
Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид: cos sin
x a
t
y b
t
=
⎧
⎨ =
⎩
,
0 2
t
π
≤ ≤

Определенный интеграл
259
Решение:
(
)
2 2
0 2
2 0
0 4
4
sin sin 2 2
1 cos 2 2
2
S
S
ab
tdt
t
ab
t dt
ab t
ab
π
π
π
π
=
=
=
⎛
⎞
=
−
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
Пример:
Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды х = а (t
− sin t); у = а (1 − cos t) и отрезком оси абсцисс
Решение:
Точкам О и А соответствуют значения параметра
t
О
= 0 и t
А
= 2
π, поэтому искомая площадь равна
S=
=
=
(
) (
)
2 0
1 cos
1 cos
a
t a
t dt
π
−
−
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
(
)
2 2
2 0
1 cos
a
t dt
π
−
∫
=
2 2
0 1 cos 2 1 2cos
2
t
a
t
d
π
+
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
t = а
2 2
0 3
1 2sin sin 2 2
4
t
t
t
π
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
= 3
πa
2
a
2
y
a
π
2
a
π
x
8.1.4. Полярные координаты на плоскости
Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси
ρ
Координаты точки М в полярных координатах за- даются длиной радиус-вектора
OM
ρ
=
этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом
0
, 0
ρ
ϕ
≤ < ∞
≤ ≤ ∞ .
8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми
Совместим начало декартовой системы с по- люсом полярной системы координат, а ось Оx с по- лярной осью
ρ
. Найдём связь координат точки
M(x,y) и M(
ρ
,
ϕ
Она выражается следующей сис- темой уравнений:
).
2 2
,
cos ,
sin ,
tg
x
y
y
y
x
x
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ϕ
=
+
⎨ =
=
⎩
ρ
=
⎧

Лекции 7 - 8
260
8.1.6. Примеры уравнений
полярной
координат
линий в
системе
Уравнение вида
( )
ρ ρ ϕ
=
, задающее
ρ
как функцию
ϕ
, определяет на плос кривую
Пример:
кости некоторую рхимедова спираль:
А
ρ
=а
ϕ,
0 0
,
ϕ
ρ
< < ∞
≥
Решение:
ϕ
0 2
π
π
2
π
5 2
π
ρ
0 2
a
π
⋅
a
π
⋅
2a
π
5 2
a
π
Кривая представляет собой путь, описываемый точкой, движущейся с
!
постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О, с по- стоянной скоростью
ω
:
v
a
ω
=
Пример:
кружность со смещенным центром
О
: cos
a
ρ
ϕ
=
Решение:
ϕ
0 4
π
2
π
π
3 2
π
7 4
π
2
π
cos
ϕ
1 2
2 0 -1 0 2
2 1
ρ
a
2 2
a
0 0 0 2
2
a
a
оордината
К
ρ
принимает только положительные значения.
Поскольку cos
a
ρ
ϕ
=
значит, угол ОМА - прямой.
Вывод: ура cos
a
внение
ρ
ϕ
=
задает окружность с центром в точке
2.
(a/2,0) и радиусом a/
Преобразуем: cos
a
ρ
ϕ
=
, cos
a
ρ ρ
ρ
ϕ
⋅ = ⋅
;
x
y
2 2
2
cos
a
ρ
ρ
ϕ
=
+
;
2 2
x
y
ax
2 2
2 2
0
x
y
ax a
a
+
−
+
−
= .
+
=
;
2 2
2 2
2
a
a
x
y
⎛
⎞
⎛ ⎞
−
+
=
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
- каноническое уравне- ние окружности с центром в точке (
2
a
,0) радиусом
2
a

Определенный интеграл
261
8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат
Пусть
( )
ρ ρ ϕ
=
- непрерывная функция. Опре- делим площадь криволинейного сектора, ограничен- ного кривой
( )
ρ ρ ϕ
=
и лучами
ϕ α
=
,
ϕ β
= .
Разобьем указанный сектор лучами на сектора вели- чины
i
ϕ
. Пусть
i
i
ρ
ρ
→
= - величина радиус-вектора для произвольного
[
]
1
,
i
i
i
ϕ
ϕ ϕ
+
∈
Лемма: Площадь кругового сектора равна
2 2
r
S
α
α
=
Доказательство следует из пропорции:
2
круга
2 ;
;
S
r
S
α
π
π
α
=
→
→
2 2
2 2
r
r
S
α
απ
α
π
=
=
Тогда площадь кругового сектора равна
i
S
2 1
2
i
i
S
i
ρ ϕ
=
; сумма
2 1
1 2
n
i
i
Q
i
ρ ϕ
=
=
∑
- площадь ступен- чатого сектора, спрямляющего криволинейный сек- тор. При
, - интегральная сумма, то- гда
n
→ ∞ Q
S
→
Q
2 1
2
S
β
α
d
ρ ϕ
=
∫
- площадь криволинейного сектора.
Пример:
Вычислить площадь круга
2 cos
a
ρ
ϕ
=
В силу симметрии достаточно вычислить 1/2 искомой площади.
( )
/ 2
/ 2
/ 2 2
2 2
2 0
0 0
/ 2
/ 2 2
2
/ 2
/ 2 0
0 0
0 2
2 2
1 2
2
cos
4 2
2
cos 2 1
4 4
sin 2 2
2 2
4 1
1 4
0
sin sin 0 4
4 4
4 4
S
d
a
d
a
d
a
d
a
a
a
a
π
π
π
π
π
π
π
ϕ
cos 2
d
ρ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
π
+
=
=
=
⎡
⎤
ϕ
=
⎡
⎤
=
+
=
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
=
− +
−
=
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
∫
∫
∫