Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 30 из 47

239
Пример:
(
)
∫
∫
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
=
=
+
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
/
3 2
2
cos cos cos
,
cos
,
tg
t
a
t
dt
a
t
a
a
x
t
dt
a
dx
t
a
x
a
x
dx
2 2
1 1
cos sin
t dt
t C
a
a
=
=
+ =
∫
{
}
возвращаемся к старой переменной
=
=
2 2
2 2
2 1
1
tg t
x
c
c
a
tg t
a
a
x
=
+ =
+
+
+
Интегралы вида
(
)
2
k
dx
x a
ax
bx c
−
+
+
∫
k
, где
2
≤
, подстановкой
2 1
1
;
x a
dx
t
t
− =
= − dt
приводятся к предыдущему случаю.
!
Пример:
2 1
dx
x x
=
+
∫
2 1
-1 1
;
;
x
dx
dt t
t
t
x
⎧
⎫
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
=
2 2
2 2
2 1
-
1 1 1
1
dt
dt
t
t
t
t
t t
=
= −
+
+
∫
∫
2 2
ln
1 1
dt
t
t
t
c
= −
= −
+
+
+
+
∫
=
2 1
1
ln
1
c
x
x
−
+
+
+ .
6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов
Выражение вида
(
)
p
m
n
x a bx
dx
+
, где
- рациональные дроби,
, называется
дифференциальным биномом.
, ,
m n p
,
a b const
−
Интеграл от дифференциального бинома приводится к интегралу от ра- циональной функции в трех случаях подстановками Чебышева. В ос- тальных случаях интеграл не вычисляется через элементарные функции.
Т
Случай 1:
p
- целое число.

Лекции 5 - 6
240
Используется подстановка
s
x t
=
, где s – НОК знаменателей дробей
m и n (НОК - наименьшее общее кратное).
Случай 2:
1
m
n
+
- целое число.
Используется подстановка
, где s – знаменатель дроби
n
a bx
t
+
=
s
p
Случай 3:
1
m
p
n
+
+
- целое число.
Используется подстановка
n
ax
b t
−
s
+ =
, где s – знаменатель дроби
p
Пример:
(
)
1 1
2 2
2 1
1
dx
x
x
d
x x
−
−
=
+
+
∫
∫
x ,
1 1,
2,
2
m
n
p
= −
=
= −
1 0
m
n
+
=
- целое - случай 2, используется замена
2 2
2 2
2 2
2 1
,
1,
1,
2 1
tdt
x
t
x
t
x
t
dx
t
⎧
⎫
+
=
= −
=
−
=
⎨
⎬
−
⎩
⎭
2 2
2 2
2 2
1 1
ln
1 1
2 1
1 1
1 1 1
ln ln
1 1 1
t dt
dt
dt
t
c
t
t
t
t
t
t
t
x
c
c
t
x
⋅
+
=
= −
= −
+
−
−
−
−
− ⋅
−
+ −
=
+ =
+
+
+ +
∫
∫
∫
=
6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования
иррациональностей
В общем случае интегралы вида
( )
2
n
P x
ax
bx c
+
+
∫
можно вычислить, ис- пользуя следующую формулу:
( )
( )
2 1
2 2
n
n
P x
dx
dx Q
x
ax
bx c
ax
bx c
ax
bx c
λ
−
=
+
+ +
+
+
+
+
∫
∫
, где
( )
1
n
Q
x
−
- многочлен степени n-1 с коэффициентами, подлежащими опре- делению. Число
λ
и неопределенные коэффициенты многочлена
( )
1
n
Q
x
−
на- ходятся дифференцированием вышеприведенной формулы.
Пример:
2 2
2 2
(
)
1 1
1
x
d
dx
Ax B
x
x
x
x
x
x
λ
=
+
+ + +
x
+ +
+
∫
∫
+
Дифференцируем по х

Неопределенный интеграл
241
(
)
2 2
2 2
(
) 2 1
1 1
1 2
1
Ax B
x
x
A x
x
x
x
x
x
x
x
λ
+
+
=
+ + +
+
+ +
+ +
+ +
2 1
Находим неопределенные коэффициенты.
(
)
2 2
1 1
(
)
2
x
A x
x
Ax B x
λ
⎛
⎞
=
+ + +
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
2 0
: 2 1;
:
0;
:
0,
2 2
A
B
x
A
x A B
x
A
λ
=
+ +
=
+ + =
1 3
3 4
,
2 2
A
A
B
=
= −
= −
,
1 8
λ
= −
2 2
2 2
1 3
1 1
2 4
8 1
1
x dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
⎛
⎞
=
−
+ + −
⎜
⎟
⎝
⎠
+ +
+ +
∫
∫
=
2 2
1 3
1 1
1
ln
1 2
4 8
2
x
x
x
x
x
x
C
⎛
⎞
−
+ + −
+ +
+ +
⎜
⎟
⎝
⎠
+
Интегралы виды
(
)
2
k
dx
x a
ax
bx c
−
+
+
∫
, где k – любое, подстановкой
1
x a
t
− =
,
2 1
dx
dt
t
= −
приводятся к предыдущему случаю.
!
Пример:
(
)
2 3
2 1
1 1
;
1 3
1
dx
x
dx
dt
t
t
x
x
x
⎧
⎫
=
− =
= −
=
⎨
⎬
⎩
⎭
−
+
+
∫
3 2
2 2
2 5
5 1
1 1
3 1
t dt
t dt
t
t
t
t
t
t
t
= −
= −
=
+ +
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
∫
2 2
3 5
5 1
10 20 10 5
5
t
A
t
t
t
t
⎛
⎞
= −
−
+ + +
⎜
⎟
⎝
⎠
1
dt
+ +
∫
6.3.6. Подстановки Эйлера
В общем случае интегралы вида
2
(x, )
R
ax
bx + c dx
+
∫
можно вычис- лить, используя подстановки Эйлера.
Указанные подстановки классифицируются по виду коэффициентов a, b, c.
Предполагается, что квадратный трехчлен не имеет равных действительных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выра- жением.

Лекции 5 - 6
242
Первая подстановка Эйлера: a > 0
Используется замена
2
ax + bx + c = t ± a x
Выберем для определенности знак +. Возведем в квадрат и выразим
2 2
t
c
x
b
t a
−
=
−
. Поскольку x - рациональная функция от t, то dx и t + ax есть также рациональные функции от t.
Пример:
2 2
2 2
;
1
;
1 2
1
dx
2
x
x t x
x
xt t
x
+ = +
+ =
+
+
+
∫
,
2 2
2 2
1 1
1 1
1
;
2 2
2 2
2 2
t
t
t
x
dx
dt
dt
t
t
t
t
−
+
⎛
⎞
=
=
−
= −
−
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
,
2 2
2 2
1 1
2 1
1 2
2
t
t
t
x
t
t
t
−
− +
+ =
+ =
=
2 2
t
t
+
2 2
2 2
1 1
2
ln ln
1 1
2
t
dt
dt
t
t c
c
t
t
x
x
t
+
−
= −
= −
+ =
+
+ −
∫
∫
+ .
Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби под знаком лога- рифма, умножив числитель и знаменатель на выражение
2 1
x
x
+ + , то- гда:
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
1 1
ln ln ln
1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
+ +
=
=
+ +
+ −
+
−
Вторая подстановка Эйлера: c>0
Используется замена
2
ax
bx c
xt
c
+
+ =
±
. Выберем для определенно- сти знак «+».
Пример:
2 2
; 1 1
1
dx
x
xt
x
+
= +
+
∫
,
2 2 2 2
2 2 2
1 2
1;
2 ;
2
x
x t
xt
x
x t
xt x xt
t
+
=
+
+
=
+
=
+ ,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 4
;
1 1
1 1
t
t t
t
t
t
t
2 2
x
dx
dt
dt
dt
t
t
t
−
+ ⋅
+
−
+
=
=
=
=
−
−
−
t
−
,
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1
t t
t
t
t
x
t
t
⋅
+ −
+
=
+ =
=
−
−
2 2
1 t
+
−
,
(
)
2 2
2 2
2 2 2
2 1 1
2
ln
(1
)
1 1
1
(1
)
(1
)
t dt
dx
dt
t
t
t
t
x
t
t
+
+
=
=
=
+
−
−
+
−
−
∫
∫
∫
=

Неопределенный интеграл
243
=
2 2
2 2
1 1 1
1 1
ln ln
1 1 1 1 1
x
x
x
x
x
x
x
x
+ −
+
+ − +
=
+ −
+
−
− −
Третья подстановка Эйлера
В этом случае квадратный трехчлен имеет действительные корни
α
и
β
Используется замена
(
)
2
ax
bx c
x
t
α
+
+ =
−
Пример:
2 1
dx
x
−
∫
;
(
)(
)
2 1
1 1
x
x
x
− =
−
+ ,
(
)
2 1
1
x
x
t
− =
−
,
(
)(
) (
)
2 2 1
1 1
x
x
x
t
−
+ =
−
,
(
) (
)
2 1
1
x
x
t
+ =
−
,
2 2
1 1
;
;
1 1
1
x
x
t
t
x
xt
x
x
+
+
=
=
+ =
−
−
2
t
−
,
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1 4
;
1 1
1
t t
t
t
t
x
dx
dt
dt
t
t
t
− −
+
+
=
=
= −
−
−
−
,
(
)
2 2
2 2
1 2
1 1
1 1
1
t
t
x
x
t
t
t
t
⎛
⎞
+
− = −
=
−
=
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
,
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 1
2 2
2 1
1 1
1
t
dt
t
dx
dt
dt
t
t
t
x
t
−
−
=
= −
=
=
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1 1
2 1
1 1
1
ln ln ln
2 1
1 1
1 1
x
t
x
x
t
x
x
x
x
+
+
+
+
−
=
=
=
−
+
+ −
−
−
1
x
+
−
=
−
(
)
2 2
2 1
1 2 1
1
ln ln
1 1
2
x
x
x
x
x
x
x
+
−
− +
− + +
=
=
=
+ − +
2
ln
1
x
x
c
+
− +
2
На самом деле во всех возможных случаях достаточны первая и третья подстановки. Действительно, если квадратный трехчлен имеет действи- тельные корни, то применима третья подстановка. Если действительных корней нет, т.е. дискриминант
4 0
b
ac
−
<
, то трехчлен
!

Лекции 5 - 6
244
(
2 2
1
(
)
(
4 4
ax
bx c
ax b
b
ac
a
+
+ =
+
−
−
)
2
)
при всех значениях x имеет знак a.
Случай a<0 нас не интересует, так как радикал в этом случае вовсе не имеет вещественных значений, значит проходит первая подстановка для a>0.
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: таблицу основных интегралов; основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, за- мена переменной, интегрирование по частям).
Студент должен уметь: вычислять интегралы от основных типов функций (рациональные дроби, выражения, содержащие тригонометрические функции, иррациональные вы- ражения).

Лекции 7 - 8
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Развитая в прошлой лекции техника вычисления первообразных находит конкретные геометрические и механические приложения в виде определенного интеграла, вычисление которого через основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона – Лейб- ница) сводится к вычислению первообразных.
7.1. Определенный интеграл и его свойства/ Основные определения
7.2. Геометрический смысл определенного интеграла
7.3. Теоремы существования
7.4. Свойства определенного интеграла
7.5. Формула Ньютона-Лейбница
7.6. Замена переменной в определенном интеграле
7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций
7.7. Интегрирование по частям
8.1. Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах
8.1.2. Параметрическое задание линий
8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме
8.1.4. Полярные координаты на плоскости
8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми
8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат
8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат
8.2. Вычисление длины дуги кривой
8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах
8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме
8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметриче- ской форме
8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой
8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах
8.2.6. Площадь поверхности вращения
8.3. Вычисление объемов тел
8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений
8.3.2. Вычисление объемов тел вращения

Лекции 7 - 8
246
7.1. Определенный интеграл и его свойства.
Основные определения
Пусть на
[ ]
,
a b задана непрерыв- ная функция
( )
f x . Ра б зо ьем
[ ]
,
a b частей точками деления:
0 1
a x
=
на n
x
x
x
b
<
<
< <
= .
0 2
n
Обозначим:
1 1
x
x
x
=
− ,
2 2
1
x
x
x
=
− ,…
1
i
i
i
x
x
x
−
= −
….
В каждом из отрезков
[
]
1
,
i
i
x
x
−
возьмем по точке
[
]
1
,
i
i
i
x
x
ξ
−
∈
Составим сумму:
n
S
f
x
f
x
f
x
f
x
ξ
ξ
ξ
ξ
=
+
+ +
=
∑
а х
∆ и высоты f (ξ
i
).
n
S называют
интегральной
су
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1
n
n
n
i
i
i
=
Геометрически
n
S есть алгебраическая сумм площадей прямоугольни- ков, имеющи
х
основания
i
ммой для
( )
f x на
[ ]
,
a b .
n
S
зав сит от сп разбиения и
]
,
a b
отрезки на
[
]
1
,
i
i
x
x и от особа
[
−
выбора точек
i
ξ
внутри
[
]
1
,
i
i
x
x
−
Каждому разбиению соответствует своя
n
S . образом, получается последовательность
{
Таким
}
n
S
Обозначим max
i
x - ибольшую из длин отрезков разбиения и устремим
Если при
любыхразбиениях на max
0
i
x
→ .
[ ]
,
a b таких, что
x
→
, и при