Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 29 из 47

232
6.2. Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические функции
6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических
функций вида
.
∫
sin
cos
m
n
x
xdx
1. Пусть и
- четные, неотрицательные числа.
n
m
2 ,
2 , ,
m
k n
l k l
=
=
∈Ν
. В подынтегральной функции степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу:
2 1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
,
2 1 cos 2
sin
2
x
x
−
=
;
1
sin cos sin 2 2
x
x
x
=
Пример:
2 4
1 cos 2
cos
2
x
xdx
dx
+
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
2 1
1 1
cos 2
cos 2 4
2 4
dx
xdx
xdx
+
+
=
∫
∫
∫
(
)
1 1
sin 2 1 cos 4 4 4 8
x
x
x dx
= +
+
+
=
∫
1 1
sin 2
sin 4 4 4 8 32
x
x
x
x C
+
+ +
+
Пример:
=
=
∫
∫
xdx
x
x
xdx
x
2 2
4 2
cos
)
cos
(sin cos sin
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
2 2
1 2
2 2
cos
2
sin
8 1
2
sin
8 1
2
)
2
cos
1
(
4 2
sin
I
xdx
x
I
xdx
dx
x
x
C
x
x
dx
x
I
+
−
=
−
=
∫
64 4
sin
16 2
4
cos
1 8
1 1
∫
+
=
=
C
x
x
xd
I
2
sin
48 1
)
2
(sin
2
sin
16 1
3 2
2 3
sin 4 1
sin 2 16 64 48
x
x
x C
=
−
+
+
2. Пусть хотя бы одно из чисел и - нечетное положительное.
n
m
От нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала d, а оставшаяся подынтегральная функция выражается через функцию, стоящую под знаком дифференциала по формуле
2 2
sin cos
1
x
x
+
=

Неопределенный интеграл
233
Пример:
3 5
3 4
sin cos sin cos cos
x
xdx
x
x
xdx
=
=
∫
∫
(
)
2 3
4 3
2
sin cos sin sin
1 sin sin
x
xd
x
x
x d
x
=
=
−
∫
∫
=
3 5
7
(sin
2sin sin
) sin
x
x
x d
x
=
−
+
=
∫
4 6
8 1
1 1
sin sin sin
4 3
8
x
x
x C
−
+
+
;
(
)
2 3
2 5
5 5
1 cos cos sin sin sin cos cos cos
x d
x
x
x
xdx
dx
x
x
x
−
⋅
=
= −
=
∫
∫
∫
4 2
1 1
1 4 cos
2 cos
C
x
x
⋅
−
+
3. Пусть и
- таковы, что
n
m
2
m n
k
+ = −
, где
k
∈ Ν
, то есть сумма
m n
+
является четным отрицательным целым. Используется подстановка tgx t
=
, с использованием формулы:
2 2
1 1 tg cos
x
x
+
=
( )
3 3
3 5
3 2
3 5 2
sin sin tg tg tg tg cos cos cos
4
xdx
x dx
x
4
x d
x
x t
x
x
x
− = −
⎧
⎫
=
=
=
⋅
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
∫
∫
∫
C
+
6.2.2. Интегралы вида
∫
cos
cos
αx
βxdx
;
∫
cos
sin
αx βxdx
;
∫
sin
sin
αx βxdx
Для вычисления следует перейти к сумме функций и сумме интегралов:
(
)
(
)
1
cos cos cos cos
2
x
x
x
α
β
α β
α β
=
−
+
+
⎡
⎤
⎣
⎦
x
,
(
)
(
)
1
cos sin sin sin
2
x
x
x
α
β
α β
α β
=
−
+
+
⎡
⎤
⎣
⎦
x ,
(
)
(
)
1
sin sin
[cos cos
]
2
x
x
x
α
β
α β
α β
=
−
−
+
x
x
6.2.3. Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы вида
, где
(sin , cos )
R
x
x d
∫
(
)
( )
sin ,cos
,
R
x
x
R u v
=
– рацио- нальная функция двух переменных, sin ,
cos
u
x v
x
=
=
, вычисляются с помо- щью так называемой
универсальной тригонометрической подстановки
tg
2
x
t
=
Подстановка tg
2
x
t
=
сводит указанный интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции от одной переменной
t

Лекции 5 - 6
234
Рассмотрим:
2 2
2 2
2 2
2 sin cos
2 sin cos
2 2
2 2
2 2
2
sin
1
cos sin
1
cos
1 2
2 2
2 2
x
x
x
x
x
tg
t
x
x
x
x
x
x
t
tg
tg
=
=
=
+
⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
;
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
cos
1
cos sin
1 2
2 2
2
cos
1
cos sin cos
1 2
2 2
2
x
x
x
x
tg
t
x
x
x
x
x
t
tg
⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
=
=
+
⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
;
2 2
2arctgt,
1
dt
x
dx
t
=
=
+
Формулы универсальной тригонометрической подстановки имеют вид:
2 2
2 2
1 1 t
2 2
; sin
;cos
1 1
dt
t
t
dx
x
x
t
t
−
=
=
=
+
+
+
;
2 2
1
t
tgx
t
=
−
;
(
)
2 2
2 2
1 2
sin ,cos
;
1 1
1
t
t
d
R
x
x dx
R
t
t
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
2
t
t
+
+
+
⎝
⎠
∫
∫
Пример:
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
tg ,
, sin sin
2 1
1 2
1
ln tg
2 1
2
dx
x
dt
t
t
dx
x
x
t
dt
t
dt
x
C
t
t
t
⎧
⎫
=
=
=
=
=
⎨
⎬
+
+
⎩
⎭
+
=
=
=
+
+
∫
∫
∫
t
Пример:
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
−
=
=
=
+
+
∫
2 2
2 2
1 2
1 2
sin
1 1
cos
2
tg
5
sin
3
cos
4
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
x
t
x
x
dx

Неопределенный интеграл
235
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 4 4 6
5 5 6
9 4
3 5
1 1
1 2
2 2
(
3)
3
tg
3 2
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dt
C
C
x
t
t
+
=
=
=
−
+
−
+ + +
+ +
+
+
+
+
+
=
= −
+ = −
+
+
+
+
∫
∫
∫
=
∫
Если подынтегральная функция
(
)
sin , cos
R
x
x является четной функци- ей sin x
, cos x
, то более эффективной, чем подстановка tg
2
x
t
=
, является подстановка tg
t
x
=
!
Пример:
(
)
{
}
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
tg sin cos cos tg tg
1 1
tg arctg
dx
dx
d x
b
a
x b
x
a
x a
x b
x
a
dt
at
t
x
C
b
a
ab
b
t
a
=
=
+
+
+
= =
=
=
+ =
+
∫
∫
∫
∫
=
1
tg arctg
a
x
C
ab
b
⋅
=
+
Вообще говоря, перечисленные методы не исчерпывают всех способов вычисления интегралов от тригонометрических функций.
Пример:
∫
∫
∫
=
−
=
=
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
2 2
sin
1
cos cos cos cos sin cos
x
t
dt
xdx
=
⎧
⎫
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
2 1 1 1
1 2 1 1
dt
t (
t )
dt
t
(
t )(
t )
+ + −
=
=
−
+
−
∫
∫
=
+
+
−
∫
∫
t
dt
t
dt
1 2
1 1
2 1
1 1
2
ln t
−
− +
1 1
1 1
2 2
1
t
ln
t
C
ln
C
t
+
+
+ + =
+ =
−
1 1
2 1
sin x
ln
C
sin x
+
+ =
−
4 2
tg ln
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin ln
2 1
2 2
C
x
C
x
x
x
x
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
π
4 2
tg ln cos
C
x
x
dx
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⇒
∫
π

Лекции 5 - 6
236
6.3. Интегрирование иррациональных выражений
6.3.1. Линейные иррациональности
Рассмотрим интегралы вида
1 2
1 2
,
(
) ,
(
) ,..., (
)
k
k
m
m
m
n
n
n
R x ax b
ax b
ax b
dx
⎧
⎫
⎪
⎪
+
+
+
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
, где
(
)
i
i
m
n
ax +b
- линейные иррациональности-корни порядка n
i
, а
(
...)
R x, y,z,
- дробно-рациональная функция своих аргументов.
Пусть S – общий знаменатель дробей
1
2
1
2
k
m m
m
, ,
...,
n
n
n
k
b
, тогда подстановка сводит указанный интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции одного аргумента.
s
t
ax +
=
Пример:
3 4
(2 -1)
(2 -1)
1
x
dx
x
=
+
∫
4 4
3 1 3 1
, ,
4,
2 1 ;
;
2 2 4 2
t
S
t
x
x
dx
t dt
⎧
⎫
+
=
=
−
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
2 3
2 3
2 2
3 3
3 2
(
1 1)
2 2
- 2 1
1
t t dt
t t
t dt
dt
t dt
t
t
t
+ −
=
=
=
+
+
∫
∫
∫
∫
1
=
+
3 3
3 3
3 2
2 2
2
- ln
1 3
3 1 3 3
dt
t
t
t
c
=
t
=
−
=
+ +
+
∫
3 3
4 4
2 2
(2 -1)
ln (2 -1)
1 3
3
x
x
c
=
−
+ +
6.3.2. Дробно-линейные иррациональности
Интегралы вида
1 1
,
, ... ,
k
k
m
m
n
n
ax b
ax b
R x
dx
cx d
cx d
⎛
⎞
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
( , ,...)
, где
R x y
– дробно-рациональная функция, вычисляются при помощи подстановки
S
ax b
t
cx d
+
=
+
, где – общий знаменатель дробей
S
1 1
,...,
k
k
m
m
n
n
Пример:
2 1
1 x dx
(1 x)
1-x
+
=
+
∫

Неопределенный интеграл
237
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 1
, 1
,
1, (1
)
1,
1-
1 1 2 2
4
,
1
,
d
1 1
1
(1
)
x
t
x t
xt
x xt
t
x
t
t
x
t
t
t
x
x
dx
t
t
t
t
t
+
⎧
⎫
=
+ = −
+
= −
+
= −
⎪
⎪
⎪
⎪
=
=
⎨
⎬
−
+ −
−
⎪
⎪
=
=
= +
=
⎪
⎪
+
+
+
+
⎩
⎭
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 4
4
t
(1 t )
(
1 1)
1 1
1
tdt
t dt
t
t
t
t
=
⋅ ⋅
=
+
+ + −
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∫
∫
=
2 2 2 2
4 1
1
-
(2 )
1
t dt
dt
x
c
c
t
t
t
x
=
=
= − + =
+
∫
∫
- + .
6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические
подстановки
Интегралы вида
(
)
2
,
R x ax
bx c dx
+
+
∫
, где
2
ax
bx c
+
+ - квадратичная иррациональность, а
( , )
R u v
- дробно-рациональная функция своих аргумен- тов, выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и заменой
2
b
u = x +
a
приводятся к интегралу одного из следующих трех типов:
1)
(
)
2 2
,
R u l
u du
−
∫
;
2)
(
)
2 2
,
R u l
u du
+
∫
;
3)
(
)
2 2
,
R u u
l du
−
∫
, к которым применяют тригонометрические подстановки соответственно:
1) или
, sin
u l
t
=
th
u l t
=
2) или
, tg
u l t
=
sh
u l
t
=
3) cos
l
u
t
=
или
, ch
u l
t
=
после чего подынтегральная функция сводится к тригонометрической.
Пример:
2 2
5 2 -
5 (
2 )
x x dx
x
x dx
+
=
−
−
=
∫
∫
2 2
5 - ( -1)
1 6 - ( -1)
x
dx
x
dx
+
=
=
∫
∫
2
-1 6 -
x
u
u du
dx du
=
⎧
⎫
=
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
∫
=
6 sin ,
6 cos ; arcsin
6
u
u
t du
t dt
t
⎧
⎫
=
=
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
2 2
6 6 - 6 sin 6 cos
6 cos
(1 cos 2 )
2
t
t dt
t dt
t dt
=
=
=
∫
∫
∫
+
=

Лекции 5 - 6
238
3
-1 3 3 sin 2 3 arcsin sin 2arcsin
2 2
6 6
x
x
t
t c
=
+
+ =
+
+
-1
c
=
-1 3 3arcsin sin 2 2
6
x
c
α
=
+
+ =
{
}
sin 2 2 sin cos
α
α
α
=
=
2
-1 3
-1
( -1)
3arcsin
2 1
2 6
6 6
x
x
x
c
=
+
−
+ .
Частные случаи квадратичных иррациональностей
1. Интегралы вида
2
dx
ax
bx + c
+
∫
выделением полного квадрата в знаме- нателе сводятся к табличным.
Пример:
2 2
2 5
2 1 4
dx
dx
x
x
x
x
=
=
+
+
+
+ +
∫
∫
2 2
2
(
1)
ln
1 2
5
(
1)
2
d x
x
x
x
x
+
=
=
+ +
+
+
+
∫
c
+ +
2. Для интегралов вида
2
Ax B
dx
ax
bx c
+
+
+
∫
в числителе выделяется произ- водная квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и интеграл сво- дится к табличному, либо рассмотренному ранее.
Пример:
2 5 - 3 2
8 1
x
dx
x
x
=
+
+
∫
2 2
2 5
(4 8) -13 5
(4 8)
4
-13 4
2 8
1 2
8 1
2 8
1
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
=
2 2
2 5
(2 8
1)
13 4
2 1
2 8
1 4
4 4 2
d x
x
dx
x
x
x
x
+
+
=
−
+
+
+
+ + −
∫
∫
=
2 2
5 13
(
2 2 8
1 4
2 7
(
2)
2
d x
x
x
x
2)
+
=
+
+ −
+
−
∫
=
2 2
5 13 2 2 8
1
ln
2 4
4 2
2 1
x
x
x
x
x
=
+
+ −
+ +
+
+
c
+ .

Неопределенный интеграл