Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 26 из 47

212
Пример:
Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:
1 5
0
≤
≤
≤
⎧
⎨
⎩
z
z
Im
Решение:
Запишем в алгебраической форме
z
z
x yi
= +
, тогда из условия :
2 2
2 2
2 1
5 1
5 0
0
x
y
x
y
y
y
⎧
⎧
2
≤
+
≤
⎪ ≤
+
≤ ⇒
⎨
⎨
≤
≤
⎪
⎩
⎩
Геометрически: нижняя половина кольца с внутрен- ним радиусом и внешним
R
1 1
=
R
2 5
=
x
y
5 1
5
−
1
− 0
Пример:
Представить в тригонометрической и показательной формах числа
z
i z
i z
1 2
2 2
2 2
5 12
=
+
= −
= −
;
;
i
3
Решение:
1 1
1 1
1
i
z
x
iy
z e
ϕ
= +
=
;
1
arctg
4
y
x
π
ϕ
=
=
,
z
1 1
2 1
2 1
=
+
=
;
z
e
i
i
1 4
4 4
=
=
+
π
π
π
cos sin ;
2 25 144 169 13
z
=
+
=
=
;
2 12
arctg
;
5
ϕ
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
2
ϕ
−
угол, лежащий в IV четверти.
z
e
i arctg
2 12 5
13
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
12 12 13
; cos arctg sin arctg
5 5
i
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
z
3 1 0 1
=
+ = ;
3 2
π
ϕ
= −
;
z
e
i
i
3 2
2 2
=
=
−
−
π
π
π
cos sin .
Пример:
Выполнить действие:
i
i
i
i
i
i
i
i
9 8
7 2
2 2
11 2
2
+
+ +
+
+
+
+
Решение:
Поскольку
2 4
9 8
7 1;
1,...
,
1,
i
i
i
i i
i
= −
=
=
= +
= −i
2 9
8 7
2 2
1 2
11 2
2 11 1 2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+
−
+
+
=
+
+
+
+ +
+
+ − +
− +
2
+
=
13 13
i
i
i i
=
+ − =

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
213
Пример:
Вычислить
2 2
4
+
i .
Решение:
2 4
4 4
k
i
z
z e
ϕ π
+
=
⋅
;
где
0; 1; 2; 3
k
=
z
=
+ =
2 2 2;
2
arctg
;
4 2
π
ϕ
=
=
ϕ
- угол, лежащий в I четверти.
9 17 4
4 4
4 16 16 16 16 1
2 3
4 2
;
2
;
2
;
2
i
i
i
25
i
z
e
z
e
z
e
z
e
π
π
π
=
=
=
=
π
Пример:
Разложить многочлен на множители с действи- тельными коэффициентами.
4 3
2 6
25 68
x
x
x
+
+
+
x
Решение:
x
1 0
=
. Подбором находим
x
2 4
= −
, с помощью деления “уголком” по- лучаем:
4 3
2 2
6 25 68 2
17 4 4 17 4
x
x
x
x
x
x
; D
x( x
)
+
+
+
0
=
+
+
= − ⋅
<
+
Тогда разложение имеет вид :
4 3
2 6
25 68
x
x
x
x
2 4
2 1
x( x
)( x
x
)
=
+
+
+
+
+
+
7
Пример:
Решить биквадратное уравнение
4 2
4 3
z
z
0
+
+ = .
Решение :
(
)(
)
4 2
2 2
4 3
1 3
z
z
z
z
+
+ =
+
+
= 0
z
i
1 2 1 0
,
= − = ± ; z
i
3 4 3
0 3
,
= − = ±
Пример:
Разложить многочлен на квадратные множители при условии, что задан один из корней.
4 3
2 1
8 21 8
20 4 2
x
x
x
x
; x
+
+
+
+
= − + i
i
Решение:
Поскольку для многочлена с действительными коэффициентами корни появляются только сопряженными парами, то
x
2 4 2
= − −
. Соответст- вующий квадратный трехчлен:
2 2
1 2
2 4 2 4 2 4
4 8
20
( x x )( x x ) ( x
i )( x
i ) (( x
)
i )
x
x
.
−
−
=
+ −
+ +
=
+
−
=
+
+
=
Делением начального многочлена получаем :
4 3
2 2
2 8
21 8
20 8
20 1
x
x
x
x
( x
x
)( x
+
+
+
+
=
+
+
+ )

Лекции 3 - 4
214
Пример:
Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетво- ряющих условию
1
=
− i
z
Решение:
1
)
1
(
)
1
(
1 2
2
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
y
x
y
i
x
i
iy
x
z
,
1
)
1
(
2 2
=
−
+
⇒
y
x
. Следовательно, искомое множество со- стоит из точек окружности единичного радиуса, центр кото- рой имеет координаты
)
1
;
0
(
1 0
y
x
4.4. Разложение рациональных дробей
Т
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырех типов:
(
)
(
)
k
2
2
k
A
A
Bx + C
Bx + C
;
;
;
x - a x - a
x + px + q x + px + q
,
2 4
0
p
q
−
<
При этом каждому действительному корню а кратности m в разложении знаменателя соответствует сумма
)
(x
P
n
(
)
(
)
1
2
m
2
m
A
A
A
+
+ ...+
.
x - a
x - a
x - a
Каждой комплексно сопряженной паре корней i
i z ,z кратности m соот- ветствует сумма
(
)
(
)
1
1
2
2
m
m
2
2
2
2
M x + N
M x + N
M x + N
+
+ ...+
m
.
x + px + q
x + px + q
x + px + q
Коэффициенты
i
i
i
A ,M ,N находятся методом
неопределённых коэффи- циентов при одинаковых степенях x в числителях после приведения к общему знаменателю правой части разложения.
Пример:
Разложить на суммы простейших дробей правильную дробь
(
)
(
)
2 1
2
x
x
x
−
−
Преобразуем знаменатель, пользуясь формулой разности квадратов:
(
)
(
) (
)(
)(
)
2 1
2 1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
−
+
− 2 ;
(
)
1 1
,
1
A
x
x
− ⇒
−
(
)
(
)
3 2
1
,
2 1
2
A
A
x
x
x
x
+ ⇒
− ⇒
+
−
;
(
)
(
)
3 1
2 2
1 1
1 2
A
A
A
x
x
x
x
x
x
=
+
+
−
+
−
−
−
2

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
215
(
)
1 2
3 1 (
2)
(
1)(
2)
(
1)(
1)
x
A x
x
A x
x
A x
x
=
+
− +
−
− +
−
+ .
Первый способ нахождения коэффициентов.
Равенство справедливо для любого x , в том числе и для
2
= 1: 1
( 2)( 3)
x
A
−
− =
− −
3 2: 2
(1) 3
x
A
=
=
⋅
⋅
1 1: 1 2 ( 1)
x
A
=
=
⋅ ⋅ −
1 2
3 1
1
,
,
2 6
A
A
A
⇒
= −
= −
=
2 3
Второй способ нахождения коэффициентов.
Многочлены равны, когда равны коэффициенты перед одинаковыми степенями x.
2 1
2 3
1 1
2 0
1 2
3 1
2 3
:
0;
:
3 1;
: 2 2
0 1
1
,
,
2 6
x A
A
A
x
A
A
x
A
A
A
A
A
A
+
+
=
− −
=
−
+
−
= ⇒
⇒
= −
= −
=
2 3
Третий способ:
Комбинация первого и второго способов.
Ответ:
(
)
(
)
2 1
1 2
2(
1) 6(
1) 3(
2)
1 2
x
x
x
x
x
x
= −
−
+
−
+
−
−
−
Пример:
2 2
2 1
?
(
1)
x
x x
−
=
+
Порядок многочлена
(
)
2 2
1
x x
+
в знаменателе равен 5.
;
A
x
x
⇒
(
)
2 2
1
x
+
1 1
2 2
2
(
1)
(
1)
2 2
B x D
B x D
x
x
+
+
⇒
+
+
+
;
(
)
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
(
1)
(
1)
1 2
x
A B x D
B x D
x x
x
x
x
−
+
=
+
+
+
+
+
+
;
(
)
(
)
2 2
2 2
1 1
2 2
1
(
1 )
(
1)
x
A x
B x D x x
B x D x
− =
+
+
+
+ +
+
;
0 : 1
x
A
=
= −
;
4 1
: 0
x
A B
+
= ;
3 1
:
0
x D
= ;
2 1
2
: 2 1
x
A B
B
+
+
= ;
1 2
:
0
x D
D
+
= ;
1 1
2 2
1,
1,
0,
0,
2
A
B
D
D
B
⇒ = −
=
=
=
=
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
1 1
2 1
1 1
x
x
x
x
x
x x
x
−
= − +
+
+
+
+

Лекции 3 - 4
216
Пример:
Разложить рациональную дробь на сумму простейших, предварительно выделив целую часть:
3 3
2 8
2 4
x
x
x
x
x
− +
−
+ +
Решение:
Разделив «уголком», получим:
3 2
3 2
3 2
8 2
2 1
2 4
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
− +
−
+
= +
4
−
+ +
−
+ +
Разложим на множители знаменатель:
x
1 1
= − ;
x
x
x
x
x
x
3 2
2 2
4 1
3 4
−
+ +
+
=
−
+ ;
x
x
x
x
x
x
3 2
2 2
4 1
3
−
+ + =
+
−
+
(
)(
4).
2 2
2 2
2 2
2 4
3 4
(
1)(
3 4)
1 3
4
x
x
A
Bx C
Ax
Ax
A Bx
Bx Cx C
x
x
x
x
x
x
−
+
+
=
+
=
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
2 1
0
:
2
: 3 2
1;
:
4 4
0
x
A B
A
x
A B C
B
x
A C
C
+ =
=
⎫
⎪
−
+ + = − ⇒ =
⎬
⎪
+ =
=
⎭
1;
Искомый результат:
3 3
2 2
16 1
1 2
4 1
3
x
x
x
4
x
x
x
x
x
x
− +
= +
+
−
+ +
+
−
+
4.5. Примеры решения задач
Пример:
Разложить на суммы простейших дробей дробь
x
x
+
3 10
Решение:
Знаменатель
, корни
x
x
x
P
+
=
3 3
)
(
i
x
;
x
,
±
=
=
0 0
3 2
1
).
1
(
)
(
2 3
+
= x
x
x
P
2 2
3 2
2 10 1
1
A Bx C
Ax
A Bx
Cx
.
x
x
x
x
x( x
)
+
+ +
+
= +
=
+
+
+
Приравниваем числители и коэффициенты при одинаковых степенях
x :
;
10 2
2
Cx
Bx
A
Ax
+
+
+
=
2 1
0
:
0 1
:
0 1
:
10 0
x A B
A
x
C
B
x
A
C
+ =
=
⎫
⎪
=
⇒ = −
⎬
⎪
=
=
⎭
0;
0;
,
тогда искомое разложение имеет вид:
1 10 10 10 2
3
+
−
=
+
x
x
x
x
x

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
217
Пример:
Разложить неправильную дробь на сумму многочлена и простейших дробей.
)
3
)(
3
(
9 9
9 3
3 9
3 3
2 2
3 2
3 4
+
+
−
+
=
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 3
)
3
)(
3
(
9 9
2 2
+
+
+
+
=
+
+
−
x
C
Bx
x
A
x
x
x
3 3
3 9
9 2
2
C
Bx
Cx
Bx
A
Ax
x
+
+
+
+
+
=
−
2 1
0
:
0
:
3 9
:3 3
9 0,
x
A B
A
x C
B
B
x
A
C
C
+ =
=
⎫
⎪
+
= − ⇒ = −
⎬
⎪
+
=
=
⎭
3;
3;
Ответ:
3 3
3 3
9 3
3 9
3 3
2 2
3 2
3 4
+
−
+
+
=
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример:
Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей
3 1
1 2
2 2
x
x
x
x
(
) (
−
+ + )
3 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2
x
x
x
x
A
x
B
x
Cx D
x
x
(
) (
)
(
)
−
+ +
=
−
+
−
+
+
+ +
=
=
− +
+
+ +
−
+
+
−
+
−
+ +
Ax
A Bx
Bx B Cx
x
Cx Dx
Dx D
x
x
x
3 2
3 2
2 2
2 2
2 1
1
(
) (
)
Приравниваем коэффициенты :
3 2
1 0
0 1
2 3
2 0
0 0
A C
A
x
A
C D
B
x
B C
D
C
x
A B D
D
x
;
1;
1;
+ =
=
⎫
⎪
−
+ =
=
⎪ ⇒
⎬
+ −
=
= −
⎪
⎪
− + + =
=
⎭
Тогда искомое разложение
3 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
) (
)
(
)
−
+ +
=
−
+
−
−
+ +
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: комплексные числа и формы их записи, действия над комплексными числами, многочлены в комплексной области.
Студент должен уметь: преобразовывать комплексные числа из одной формы в другую, сравнивать, складывать, вычитать, умножать, делить комплексные числа, возводить в целую степень, извлекать корни целых степеней в удобной для каждого действия форме; разлагать рациональные дроби на сумму элементарных.

Лекции 5 - 6
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке, в тесной связи с воз- никшим тогда же дифференциальным исчислением. В данных лекциях рассматривается первая часть задачи – вычисление первообразной как операция, обратная дифференциро- ванию.
5.1. Основные определения
5.2. Свойства неопределенного интеграла
5.3. Таблица основных интегралов
5.4. Методы интегрирования
5.4.1. Непосредственное интегрирование
5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
5.4.3. Интегрирование по частям
5.4.4. Возвратное интегрирование
6.1. Интегрирование рациональных дробей
6.1.1. Интегрирование простейших дробей
6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби
6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида sin cos
m
n
x
xdx
∫
6.2.2. Интегралы вида cos cos
αx
βxdx
∫
; cos sin
αx
βxdx
∫
; sin sin
αx βxdx
∫
6.3. Интегрирование иррациональных выражений
6.3.1. Линейные иррациональности
6.3.2. Дробно-линейные иррациональности
6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические подстановки
6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов
6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей
6.3.6. Подстановки Эйлера

Неопределенный интеграл