Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
частью комплексного числа , действительное число z Im y z = называется мни- мой частью . z О Комплексное число 0 z = , если Re 0 x z = = и Im 0 y z = = . О О Запись называется алгебраической формой комплексного числа. z x i = + y чис 3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа Так как z = (x, y) определяется как пара действительных чисел, то естественной геомет- рической интерпретацией является изображе- ние комплексного числа точкой М некоторой плоскости с координатами (x, y). Такую плоскость называют комплексной, ось абсцисс - действительной осью, ось орди- нат – мнимой осью. При этом устанавливается взаимно-однозначное соот- ветствие между множеством всех комплексных ел z = (x, y) и множеством точек М(x, y) или множеством радиус-векторов OM . Лекции 3 - 4 200 Введем на плоскости XOY полярные координаты (r, ϕ ). Длина вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается OM z или : r 2 2 z r OM x y = = = + . Угол ϕ между радиус-вектором OM и положительным направлением оси OX называют аргументом комплексного числа z: ( ) Arg z ϕ = . Угол ϕ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2 k π . Удобно рабо- тать с приведенным аргументом ( ) arg z ϕ = , 0 2 ϕ π ≤ < (либо π ϕ π − ≤ < ). Для числа 0 0 z i = + аргумент не определён. При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом: arctg , если 0, arctg , если 0, 0, arctg , если 0, 0. y x x y x y x y x y x ϕ π π ⎧ > ⎪ ⎪ ⎪ = + < ⎨ ⎪ ⎪ − < ⎪⎩ > < (для 0 2 ϕ π ≤ < ). Практически, для определения arg( ) z ϕ = решают систему уравнений cos x r ϕ = , sin y r ϕ = и изображают вектором, чтобы определить, в каком квадранте лежит точка. Так как z cos x r ϕ = , sin y r ϕ = , то комплексное число можно записать в следующем виде: z x iy = + (cos sin ) z r i ϕ ϕ = + , которое на- зывают тригонометрической формой записи комплексного числа. 3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Используя формулу, полученную Эйлером: sin i e cos i ϕ ϕ ϕ = + (которая будет доказана позже, при изучении теории рядов), можно получить еще од- ну, показательную, форму комплексного числа: i z r e ϕ = Комбинируя cos sin i e i ϕ ϕ ϕ = + и ( ) ( ) cos sin cos sin i e i ϕ i ϕ ϕ ϕ − = − + − = − ϕ , можно получить выражения cos 2 i i e e ϕ ϕ ϕ − + = , sin 2 i i e e i ϕ ϕ ϕ − − = Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 201 4 π ϕ − = 2 = r Пример: Записать число 2 z i = − 2 в различных формах. Дать геометрическую интерпретацию. Решение: Алгебраическая форма: 2 2 z i = − ; тригонометрическая форма: 2 2 r z 2 = = + = ; 2 7 2 7 cos sin 2 4 2 , 4 π π = − = , откуда 7 arg 4 ( z ) π ϕ = = , 2 2 7 7 2 2 cos s 2 2 4 4 z i i in π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; показательная форма: 7 4 2 z e π = 3.4. Действия над комплексными числами Операции в арифметической форме производятся в соответствии с усло- вием ( ) 1,0 1 i i ⋅ = − = − и с обычными правилами алгебры. Обозначим ( ) 1 1 1 1 1 y , z x y x i = = + ( , ) 2 2 2 2 2 , z x y x iy = = + 2 3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание Сравнение чисел в алгебраической форме: , если 1 z z = 1 2 x x = и 1 2 y y = Если числа заданы в тригонометрической или пока- зательной форме: 1 1 1 1 (cos sin ) z r i ϕ ϕ = + , 2 2 2 2 (cos sin ) z r i ϕ ϕ = + или 1 1 1 i z r e ϕ = , 2 2 2 i z r e ϕ = , то , если 1 z z = 2 ( 1 2 1 2 , 2 ; r r k k Z ϕ ϕ π = ⎧ ⎨ = + ∈ ⎩ Сложение в алгебраической форме: ) ( ) ( ) 1 2 z z + = 1 2 1 2 1 2 1 2 , x x y y x x i y y + + = + + + Вычитание определяется как действие, обратное сло- жению: пусть , 1 2 z z z = − тогда 1 2 z z z = + , ( ) 1 1 1 2 2 z x iy x x i y y = + = + + + , Лекции 3 - 4 202 откуда ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y − = − + − С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов. 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень Умножение в алгебраической форме: ( )( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 z z x iy x iy x x ix y ix y i y y = + + = + + + = = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 x x y y i x y x y − + + В тригонометрической форме: 1 2 1 2 1 1 2 2 (cos sin ) (cos sin ) z z r r i i ϕ ϕ ϕ ϕ ⋅ = ⋅ + ⋅ + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cos cos - sin sin ( sin cos cos sin ) r r i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + = = 1 2 1 2 1 2 (cos( ) sin( )) r r i ϕ ϕ ϕ ϕ + + + , т.е. 1 2 1 2 1 2 1 2 (cos( ) sin( )) z z r r i ϕ ϕ ϕ ⋅ = ⋅ + + + ϕ В показательной форме: 1 1 1 i z r e ϕ = , 2 2 2 i z r e ϕ = , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i z z r r e e r r e ϕ ϕ ϕ ϕ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Деление определяется как действие, обратное умножению: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , , x y z z x z x y = = = y , откуда 1 2 z z z = ⋅ Запишем соответствующую формулу для алгебраической формы комплекс- ного числа: ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 2 , , z z z x y xx yy xy x y = ⋅ = = − + , откуда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 2 2 2 2 1 1 xx yy x xy x y y − = ⎧ ⎨ + = ⎩ Решаем, используя формулы Крамера: 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x -y x x y x 0; ; x x x y y y x y y y ∆ = + ≠ = = + + 1 1 , 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x z x x y y x y x y i z y 2 y + − = + + + Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 203 В тригонометрической форме: 1 1 1 2 1 2 2 2 [cos( ) sin ( )] z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − , в показательной форме: 1 2 ( ) 1 1 2 2 i z r е z r ϕ ϕ − = , т.е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя. Возведение в целую степень выводится на основе обобщения операции умножения: (cos sin ) z r i ϕ ϕ = + , 2 2 (cos 2 sin2 ) z z z r i ϕ ϕ = × = + ; n n z z z z = × × = 2 (cos2 sin2 ) n-2 r i z z z × = ϕ ϕ + × (cos i sin ) n r n n ϕ ϕ + ; (cos sin ) n n z r n i n ϕ ϕ = + ; re i z ϕ = , n r e n i z n ϕ = Сравним последние две формулы: in е cos sin n i n ϕ ϕ ϕ = + , с другой стороны: in i n n ( ) (cos sin ) (cos sin ) cos sin n е е i i n ϕ ϕ i n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = + ⇒ + = + ϕ . Послед- нее соотношение называется формулой Муавра. Пример: Найти 11 z , если i z − = 1 Решение: 4 arg ; 2 π − = = z z ( расположено в IV квадранте). z Тогда 4 2 π i e z − ⋅ = 11 11 11 11 4 2 11 11 5 2 2 11 11 ( 2) 2 cos sin 4 4 3 3 2 2 2 cos sin 2 2 (1 ) 4 4 2 2 i z e i i i π π π π π − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ = + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i + 3.4.3. Комплексное сопряжение О Комплексным числом, сопряженным к z x iy = + , называется комплекс- ное число z , отличающееся от только знаком мнимой части: z z x iy = − Свойства операции сопряжения: 1°. z z = ; 2°. z z = тогда и только тогда, когда - действительное число; z Лекции 3 - 4 204 3°. 1 2 1 z z z z ± = ± 2 , 4°. 1 2 1 2 z z z z ⋅ = ⋅ , 5°. ( ) ( ) 1 1 2 2 z z z z ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 6°. 2 2 z z x y ⋅ = + Докажем некоторые соотношения. В алгебраической форме: z = x + iy, z = x - iy Вычислим: а) ( ) ( ) 2 z + z = x + iy x iy x + − = , следовательно, 2 z z x + = ; 2 z z iy − = ; б) ( )( ) 2 zz x + iy x iy x y = − = 2 + , следовательно: 2 2 z z x y ⋅ = + Тогда ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 z z x x y y i x y x y z z z z x y + + − ⋅ = = ⋅ + = = 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x y x y i x y x y + − + + + В тригонометрической форме: (cos sin ) i z z ϕ ϕ = + ; z z ( z z cos sin ) (cos( ) sin( )) i z i ϕ ϕ ϕ ϕ = − = − + − В показательной форме: i e z z ϕ = , i e z z ϕ − = 1 Геометрически - комплексное сопряжение есть операция сим- метричного отражения вектора, соответствующего числу z от- носительно действительной оси. Вывод: пользуясь алгебраической формой комплексного числа, можно производить операции сложения, умножения, вычитания по обычным прави- лам умножения многочленов. При делении комплексных чисел эффективно использовать прием умножения числителя и знаменателя на число, сопря- женное знаменателю. Свойства операций сложения и умножения: 1°. , 1 2 2 z z z z + = + 2°. , ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z + + = + + 3° , 1 2 2 1 z z z z = 4°. , ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z = 5°. ( ) 1 2 3 1 3 2 z z z z z z z + = + 3 Комплексные числа. Многочлены в комплексной области 205 1 Пример: Найти z и ar для числа: g z 1 z i = + Решение: 1 z i = + , 1 1 2 z = + = , arctg arctg1 4 y x π α = = = 1 1 z i = + α 0 3.4.4. Извлечение корня Определяется как действие обратное возведению в степень. Число b называется корнем n-ой степени из числа и обозначается z n b z = , если n b z = Пусть i z re ϕ = , а i b e ϕ ρ = и , r θ известны. Найдем , ρ θ . Два комплексных числа равны , если равны их модули n b = z n n r ρ ρ = ⇒ = r и аргументы от- личаются на 2k π 2 2 k n k n ϕ π θ ϕ π θ + = + ⇒ = , 2к i i n n n re r e ϕ π ϕ + = или окончательно 2 ( ) i k i n n n n re r e ϕ π ϕ + = Здесь k может принимать все возможные целые значения. Различных (неодинаковых) значений корней будет ровно n, и они будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, …, n-1. 0 i n n b r e ϕ = , 0 k = , 2 ( ) 1 i n n n b r e ϕ π + = , 1 k = , 2 ( 2 ) 2 i n n n b r e ϕ π + = , 2 k = , 2 ( ( 1) ) 1 i n n n n n b r e ϕ π + − − = , 1 k n = − Если же, например, , то k n = 2 ( ) n i n n n n b r e ϕ π + = = ( 2 ) 2 i i i n n n n r e re e ϕ ϕ π π + = ⋅ = 0 1 i n n re b ϕ = ⋅ = → 0 n b b = , аналогично и т.д. 1 n b + = 1 b Вывод: корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений. |