Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 20 из 47

О
Касательной к графику функции в точке
( )
y
f x
=
( , ( ))
M x f x
называется
предельное положение секу-
щей при
0
x
∆ → ( P
M
→
).
Нормалью к графику функции
( )
y
f x
=
в точке
( , ( ))
M x f x
называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.
О
Если функция имеет в точке
( )
y
f x
=
x производную
( )
f x
′
, то график функции в точке
( , ( ))
M x f x
имеет касательную с угловым коэффициен- том
( )
f x
′
Т

Лекции 14 – 15
148
Доказательство:
Пусть tg ( )
y
x
x
ϕ
∆
∆ =
∆
и
0
x
∆ →
Так как существует
0 0
lim
( ) lim tg ( )
x
x
y
f x
x
ϕ
∆ →
∆ →
∆
′
=
=
∆
∆
x
, то: 1) существует предельное положение секущей, то есть касательная; 2) угловой коэффициент касательной ра- вен
( )
f x
′
1). Значение
( )
0
y x
′
позволяет записать
уравнение касательной к кри- вой
( )
y y x
=
в точке
0
x
:
С
( ) (
)
0 0
0
x
x
x
y
y
y
−
⋅
′
=
−
2). Поскольку условие перпендикулярности прямых:
, то
уравнение нормали имеет вид:
1 2
1
k k
⋅ = −
0 0
0 1
( )
(
)
( )
y
f x
x x
f x
−
=
+
−
′
3). При
( )
0
y x
′
> в точке x функция является возрастающей, а при
( )
0
y x
′
< – убывающей.
14.1.3. Механический смысл производной
Рассмотрим движение точки по прямой.
( )
S
f t
=
- перемещение точки в момент времени ,
t
0
(
)
(
( ) lim
t
)
f t
t
f t
V
f t
t
∆ →
+ ∆ −
′
=
=
∆
- мгновенная скорость в момент времени t .
Пример:
( )
2 2
gt
S t
=
,
( )
( )
'
V t
S t
gt
=
=
14.2. Правила и формулы дифференцирования
14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
1)
, c c
( )
0
c ′
=
onst
=
;
2)
( ( )
( ))
( )
( )
f x
g x
f x
g x
′
′
′
±
=
±
;
3)
(
( ))
(
c f x
c f x)
′
′
⋅
= ⋅
;
4)
( ( )
( ))
( )
( )
( )
( )
f x g x
f x g x
g x f x
′
′
′
⋅
=
⋅
+
⋅
;
5)
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f x
f x g x
g x f
g x
g x
′
′
′
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
x

Производная и дифференциал
149
Доказательство правила 2:
(
) (
) (
)
0
lim
x
f
f
g
g
f
g
x
∆ →
+ ∆ +
+ ∆ −
+
=
∆
0 0
lim lim
x
x
f
f
f
g
g g
x
x
∆ →
∆ →
+ ∆ −
+ ∆ −
=
+
∆
∆
=
0 0
lim lim
x
x
f
g
f
g
x
x
∆ →
∆ →
∆
∆
=
+
=
∆
∆
+
.
Пример:
2 3sin
5log
10
y
x
x
=
+
−
,
2 1
3cos
5 log
y
x
x
′ =
+
e
14.2.2. Производная обратной функции
Пусть ( )
f x
Т
1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки
0
x
,
2) функция дифференцируема в точке
0
x
и
0
( ) 0
f x
′
≠
, тогда:
1) существует производная обратной функции в точке
0
x
:
(
)
1
( )
f
y
−
′
;
2)
(
)
0 1
0 1
( )
( )
y y
f
y
f x
−
=
′
=
′
Доказательство:
Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной обратной функции
1
( )
x
f
y
−
=
. Рассмотрим
1
( )
x
f
y
−
=
в окрестности точки
. Зададим приращение аргументу
0
( )
y
f x
=
0
y
∆ ; ему соответствует приращение функции
x
∆
и
1
x
y
y
x
∆
=
∆
∆
∆
(*).
Из строгой монотонности
1
( )
f
y
−
при
0
y
∆ ≠
следует, что
0
x
∆ ≠ . Устре- мим
, из непрерывности
0
y
∆ →
1
( )
0
x
f
y
x
−
=
⇒ ∆ →
. Но при
0
x
∆ → ,
0
( )
y
f x
x
∆
′
→
∆
, следовательно,
0 1
( )
x
y
f x
∆
→
′
∆
Таким образом,
(
)
0 1
0 1
( )
( )
y y
f
y
f x
−
=
′
=
′

Лекции 14 – 15
150
Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементар- ных функций.
1)
x
y a
=
,
( )
?
x
a ′
=
0,
0
a
a
>
≠
log
a
x
y
=
;
( )
(
)
1 1
ln
1
log log log log
x
x
x
a
a
a
a
y
a
a
a
e
e
y
e
y
′ =
=
=
=
=
′
a
′ =
;
( )
ln
x
x
a
a
a
,
( )
x
x
e
e
′ =
2)
,
(
)
arcsin
y
x
=
arcsin
?
x ′
=
sin
x
y
=
,
(
)
(
)
2 2
1 1
1 1
arcsin cos
1 sin
1
sin
x
y
y
x
y
′ =
=
=
=
′
−
−
;
(
)
2 1
arcsin
1
x
x
′ =
−
3)
(
)
2 1
arccos
1
x
x
′ = −
−
4)
(
)
arctg , arctg
?
y
x
x ′
=
=
tg
x
y
=
,
(
)
2 1
tg cos
y
y
′ =
;
(
)
(
)
2 2
2 1
1
arctg cos
1 tg
1
tg
x
y
y
x
y
′ =
=
=
=
′
1
+
+
;
(
)
2 1
arctg
1
x
x
′ =
+
5)
(
)
2 1
arcctg
1
x
x
′ = −
+
14.2.3. Таблица производных
Таблица получена, исходя из определения производной и правил диффе- ренцирования.
1.
( )
1
x
x
α
α
α
−
′
= ⋅
2.
( )
(
)
( )
ln 0,
1
x
x
x
a
a
a a
a
e
′
′
=
>
≠ ⇒
x
e
=
.
3.
(
)
(
) ( )
1 1
log log
0,
1
ln
a
a
x
e
a
a
x
x
x
′
′
=
⋅
>
≠ ⇒
=
4.
(
)
sin cos
x
x
′ =
5.
(
)
cos sin
x
x
′ = −
.

Производная и дифференциал
151
6.
( )
2 1
tg cos
x
x
′ =
7.
(
)
2 1
ctg sin
x
x
′ = −
.
8.
(
)
2 1
arcsin
1
x
x
′ =
−
9.
(
)
2 1
arccos
1
x
x
′ = −
−
10.
(
)
2 1
arctg
1
x
x
′ =
+
11.
(
)
2 1
1
arcctg
x
x
+
−
=
′
12.
( )
x
x
ch sh
=
′
Гиперболический синус sh
2
x
x
e
e
x
−
−
=
13.
( )
ch sh
x
x
′ =
Гиперболический косинус ch
2
x
x
e
e
x
−
+
=
14.
( )
2 1
th ch
x
x
′ =
Гиперболический тангенс sh th ch
x
x
x
=
15.
(
)
2 1
cth sh
x
x
′ =
Гиперболический котангенс ch cth sh
x
x
x
=
14.2.4. Производная сложной функции
Если: 1)
[
]
( )
y
f
t
ϕ
=
- сложная функция, t- независимая переменная,
ϕ - промежуточный аргумент; 2) существуют
0
( )
f x
′
и
Т
0
( )
t
ϕ
′
0
, где
0
( )
x
t
ϕ
=
, то
{
}
[
]
0 0
( )
( )
( )
f
t
f x
t
ϕ
ϕ
′
′
′
=
⋅
(
)
(
t
t
x
t
t
t
Доказательство:
Рассмотрим:
0 0
0
)
ϕ
ϕ
+ ∆ ⇒ ∆ =
+ ∆ −
0 0
(
)
( ).
x
y
f x
x
f x
∆ ⇒ ∆ =
+ ∆ −
,
Пусть
, тогда
0
t
∆ →
0
lim
t
x
t
∆ →
∆
∃
∆
(см. условие
0 0
( )
( )
f x
y x
′
′
=
).
Вычислим:
0 0
0 0
0
lim lim lim lim
( )
( )
t
t
t
t
y
y
x
y
x
0
f x
t
x
t
x
t
ϕ
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆ ∆
∆
∆
t
′
′
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∆
∆ ∆
∆
∆
, что и требовалось доказать.
!
Независимой переменной была , промежуточным аргументом -
t
x . На практике чаще имеем дело с функциями вида:
( ), ( )
y
f u u
x
ϕ
=
=
, тогда

Лекции 14 – 15
152
x
u
x
y
y u
′
′
=
′. Например, arctg x
y e
=
;
, arctg , ?
u
x
y e u
x y ′
=
=
= Решение: arctg
2 2
1 1
, u
,
1 1
u
x
u
x
x
y
e
y
e
x
x
′
′
′
=
=
=
⋅
+
+
14.2.5. Логарифмическая производная
При вычислении производной некоторого выражения полезно предвари- тельное логарифмирование этого выражения.
Рассмотрим функцию
( ), ?
y
f x y′
=
=
[ ]
1
ln ln ( ), ln
x
y
f x
y
y
=
y
′
′
=
;
y
y
′
- называется логарифмической производной.
Отсюда
[ ]
ln
y
y
y
′
′ = ⋅
Пример:
1)
, 0, ?
y x
y
α
α
′
=
≠
=
1
ln ln ,
y
y
x
y
x
α
α
′
=
=
1
,
x
y
y
y
x
x
α
α
α
′
′
= ⋅ ⋅
= ⋅
,
( )
1
x
x
α
α
α
−
′ = ⋅
2)
(
)
2
sin
, ?
x
y
x
y′
=
=
,
2
ln ln(sin )
y x
x
=
2 1
2 ln(sin )
cos sin
y
x
x
x
x
y
x
′
=
+
⋅
{
}
( )
2 2
2 ln(sin )
ctg sin
x
y
x
x
x
x
′ =
+
Пример:
В общем случае для степенно-показательных выражений.
( )
( )
ln
( ) ln ( )
x
y
f x
y
x
f x
ϕ
ϕ
=
⇒
=
( )
( )
( )
( )
ln ( )
( )
( )
x
f x
y
f x
x
f x
x
f x
ϕ
ϕ
ϕ
′
⎛
⎞
′
′
=
⋅
⋅
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример:
Логарифмическая производная применяется
д
ля вычисления производ- ной произведения большого числа сомножителей.
1). sin cos
, ?
y
x
x x y′
=
⋅
⋅
=
ln ln sin ln cos ln
y
x
x
x
=
+
+
cos sin
1 1
sin cos ctg tg sin cos
y
x
x
y
x
x x
x
x
y
x
x
x
′
−
x
⎡
⎤
′
=
+
+ ⇒
=
⋅
⋅
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦

Производная и дифференциал
153
2).
(
)
5 7
3 6
1
+
−
=
x
x
x
y
, ?
y′
=
(
)
(
)
1
ln
3ln
7ln
1
ln
6 5
y
x
x
x
=
+
− −
+
⎡
⎤
⎣
⎦
;
(
)
1 3 7
1
ln
;
5 1
y
x
x
x
′
⎡
⎤
=
+
−
⎢
⎥
−
+
⎣
⎦
6
(
)
7 3
5 1
1 3 7
1 5 6 1
6 6
x x
y
x
x
x
−
⎡
⎤
′ =
+
−
⋅
⎢
⎥
−
+
+
⎣
⎦
14.2.6. Производная неявной функции
Пусть уравнение
( )
(
)
,
F x y x
0
= задает неявно функцию
( )
y
y x
=
Для вычисления нужно продифференцировать тождество
( )
y x
′
( )
,
F x y
= 0 по переменной
x
, рассматривая функцию
( )
(
)
,
F x y x как слож- ную функцию аргумента
x , а затем полученное уравнение
( ) ( )
(
)
1
,
,
F x y x y x
′
= 0 разрешить относительно
( )
y x
′
Пример:
2 2
2 2
1, ?
(
0)
x
y
y
y
a
b
′
+
=
=
>
Решение:
Первый способ. Выразим явно из уравнения:
y
2
b
y
a
a
= ±
−
2
x
. Так как
,
0
y
>
2 2
b
y
a
a
x
=
−
,
(
)
(
)
1 2
2 2
2 2
1 2
2
b
b
x
=
y
a
x
x
a
a a
x
−
′ =
−
−
= −
−
2 2
b x
a y
−
Второй способ. Продифференцируем выражение
2 2
2 2
1
x
y
a
b
+
=
по пере- менной x :
2 2
2 2
0
x
y
y
a
b
′
+
=
, откуда
2 2
b x
y
a y
′ = −
Выражение для производной
( )
y x
′
может зависеть как от x , так и от .
y
!
14.2.7. Производная функции, заданной параметрически

Лекции 14 – 15
154
Пусть функция
( )
y
y x
=
задана параметрически:
( )
( )
x x t
y y t
=
⎧
⎨ =
⎩
Если: 1)
( ), ( )
x t y t
- дифференцируемы, 2)
( )
x x t
=
имеет обратную функ- цию
, 3)
( ), ( )
t t x
t x
′
=
∃
( ) 0
x t
′ ≠
, то
t
x
t
y
y
x
′
′ =
′
Т
Доказательство:
Рассмотрим функции:
( ), ( )
y y t t t x
=
=
. Рассматривая как промежуточ- ный аргумент, можно считать, что
- сложная функция
t
y
x . Тогда
x
t
x
y
y t
′
′ ′
=
⋅ ,
1
t
x
x
t
t
y
t
y
x
x
′
′
′
=
⇒
=
′
′
Пример:
2 3
, , ?
x
x t
y t y ′
=
=
=
Решение:
2 2
3 3
2 , 3 ,
2 2
t
t
x
t
x
t y
t
y
t
t
′
′
′
=
=
=
=
15.1. Производные высших порядков
15.1.1. Определение производной n-го порядка
Производной второго порядка от функции
( )
y
f x
=
называется произ- водная от ее первой производной. Обозначение:
(
)
( )
( )
f x
f x ′
′′
′
=
О
Производной -го порядка (или n–й производной)называется произ- водная первого порядка от производной
n
(
)
1
n
− -го порядка.:
(
( )
( 1)
( )
( )
n
n
)
f
x
f
x
−
′
=
.Также используют обозначение
( )
( )
n
n
n
d y
y
x
dx
=