Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
! Свойства 1, 2, 4, в которых фигурируют три различных предела, можно читать в двух направлениях: если два любых предела существуют, то существует и третий и соотношение выполняется. Замечательные пределы. Непрерывность функции 127 Пример: Вычислить предел 2 2 2 5 lim 3 x x x → + − Значение функции 2 2 5 ( ) 3 x f x x + = − определено в точке 0 2 x = , 2 2 2 5 9 (2) 9 1 2 3 f + = = − = , поэтому 2 2 2 5 lim 9. 3 x x x → + = − Если функция ( ) f x определена в точке 0 x , то ( ) 0 0 0 lim ( ) lim ( ). x x x x f x f x f x → → = = Пример: Вычислить предел 3 3 2 lim 3 1 x x x x x →∞ + − + Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на : 3 x 3 2 3 2 3 1 1 1 0 lim lim 1. 3 1 1 3 1 1 0 0 x x x x x x x x x →∞ →∞ + ∞ + + ⎡ ⎤ = = = = ⎢ ⎥ − + ∞ − + − + ⎣ ⎦ Пример: Вычислить предел 2 0 9 5 4 3 lim x x x x → + + − Непосредственно подставляя число 0 0 x = в функцию, получаем неопре- деленность (0/0). Учтем формулу ( )( ) 2 a b a b a b 2 − + = − и умножим чис- литель и знаменатель на выражение ( ) 2 9 5 4 3 : x x + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 9 5 4 3 9 5 4 3 0 lim lim 0 9 5 4 3 9 5 4 9 5 4 5 0 lim lim 9 0 0 3 9 5 4 3 9 5 4 3 5 5 3 3 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → + + − + + − ⎡ ⎤ = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⋅ + + + + + − + + = = = + + + + + + ⋅ + + + = = + = Лекции 12 – 13 128 Пример: Вычислить предел: ( ) 2 lim 1 x x x →+∞ + − В данном примере имеет место неопределенность типа ( ∞ - ∞); наличие иррациональности не допускает прямого сокращения, поэтому применя- ется следующий прием: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x − + − − = = + + : ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) lim ( 1 ) ( ) lim 1 x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − + − = ∞ −∞ = = + + 2 2 2 2 1 1 lim lim 0 1 1 x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − = = + + + + = Если функции и ( ) y f x = ( ) y x ϕ = имеют одну область определения и D ( ) ( ) x D f x x ϕ ∀ ∈ ≤ , то 0 0 lim ( ) lim ( ). x x x x f x x ϕ → → ≤ Иначе говоря, знак нера- венства сохраняется при предельном переходе. Заметим, что из строгого неравенства ( ) ( ) f x x ϕ < по-прежнему следует 0 0 ( ) lim ( ) x x lim x x f x x ϕ → → ≤ : пусть ( ) 4 f x x = , ( ) 2 x x ϕ = , при 1 x < ( ) ( ) f x x ϕ < , но 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x f x x ϕ → → = = . Т Т Теорема о пределе промежуточной функции. Если 1) ( ) ( ) ( ) x D f x x g x ϕ ∀ ∈ , 2) ≤ ≤ 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → A = = , то 0 lim ( ) x x x A ϕ → ∃ = 12.2. Замечательные пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел В теории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов. 12.2.1. Первый замечательный предел Функция sin x y x = при 0 x → имеет предел, равный 1: 0 sin lim 1 x x x → = Т Замечательные пределы. Непрерывность функции 129 Доказательство: Рассмотрим единичную окружность. Пусть , COB x ∠ = 0 2 x π < < , 1 OB r OC = = = , sin AC x = , cos OA x = , tg BD x = . Сравнивая площади треугольника , сектора и треугольника , получаем OAC OB OAC OBC S S C OBD OBD S < < , 1 1 1 sin cos 2 2 2 sin cos x x x x x ⋅ < < ⋅ Разделим двойное неравенство на ( ) sin 0 2 x > : 1 cos sin cos x x x x < < . Нера- венство справедливо и для 0 x < , так как sin( ) sin( ) cos( ) cos , x x x x x x − − = = − . Перейдем к пределу при 0 x → : cos( ) x - функция непрерывная, cos cos(0) 1 x → = . Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем: 0 sin 1 lim 1 x x x → ≤ ≤ , то есть 0 sin lim 1 x x x → = В первом замечательном пределе имеет место неопределенность 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ! Пример: Вычислить предел: 0 sin 2 lim x x x → Если x → 0, то и 2x → 0 и тогда 0 0 0 sin 2 0 2 sin 2 sin 2 lim lim 2 lim 2 1 2. 0 2 2 x x x x x x x x x → → → ⋅ ⎡ ⎤ = = = ⋅ = ⋅ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎣ ⎦ Пример: Вычислить предел: 0 tg li m x x x → 0 0 0 0 tg 0 sin 1 sin 1 1 lim lim lim lim 1 1. 0 cos cos cos0 x x x x x x x x x x x x → → → → ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ = Лекции 12 – 13 130 12.2.2. Второй замечательный предел Функция ( ) 1 1 x y x x ⎛ = + ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ при x → ∞ имеет предел, равный числу : e Т 1 lim 1 x x e x →∞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Доказательство: При рассмотрении предела монотонной последовательности было полу- чено соотношение: 1 lim 1 n n e n →∞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Пусть x → +∞ . Любое x удовлетворяет двойному неравенству , где - целая часть 1 n x n ≤ < + [ ] n x = x . Тогда 1 1 1 n x < ≤ + 1 n , 1 1 1 1 1 1 n x + < + ≤ + + 1 n и 1 1 1 1 1 1 1 n x n x + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + < + ≤ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 n n . При x → +∞ n → +∞ Рассмотрим раздельно пределы левой и правой части двойного неравен- ства: 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 n n n n n e n e n n + →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + = = ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = , 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 n n n n n e e n n n + →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + ⋅ + = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = . Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем, что 1 lim 1 x x e e x →+∞ ⎛ ⎞ ≤ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ , откуда 1 lim 1 x x e x →+∞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Пусть x → −∞ . Сделаем замену переменной: ( ) 1 t x = − + , ; ( ) 1 x t = − + из x → −∞ следует t → +∞ 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim lim 1 1 x t t x t t t t t x t t t − − − − + →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 t + = − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 t t t t t t t e e t t t t t + →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = + ⋅ + = + ⋅ + = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = Замечательные пределы. Непрерывность функции 131 С ( ) 1/ 0 lim 1 t t t e → + = (заменим переменную: 1 t ; ( ) ( ) 1/ 0 lim 1 lim 1 1 t x t x t x → →∞ e + = + = ). x = Пример: Вычислить предел: ( ) 7 lim 1 1 x x x →∞ + ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 lim 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 x x x x x x x x x ∞ →∞ →∞ →∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + = = + = + = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ e Функция ( ) ( ) ( ) x y f x ϕ = ( ( ) 0 f x ) называется степенно-показательной функцией или сложно-показательной функцией. О > Предел степенно-показательной функции ( ) ( ) ( ) x y f x ϕ = при 0 x x → вы- числяется по формуле: ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x x x f x f x ϕ ϕ → → → ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Применим основное логарифмическое тождество, считая 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x A x B ϕ → → = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) lim ( ) lim lim x x x x f x x f x x f x x x x x x x f x e e e ϕ ϕ ϕ ϕ → ⋅ ⋅ → → → = = = = 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ln ( ) ln ln lim ( ) B x x x x x x x x f x B A A B x x e e e A f x ϕ ϕ → → → ⋅ ⋅ → ⎡ ⎤ = = = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Во втором замечательном пределе имеет место неопределенность 1 ∞ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Пример: Вычислить предел 2 1 1 lim 2 x x x x − →∞ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Вычислим предел 1 1 1 1 0 lim lim 1 2 1 2 1 0 x x x x x x →∞ →∞ + + + = = = − − − и предел ( ) lim 2 1 x x →∞ − = ∞ Таким образом, функция 2 1 1 2 x x y x − + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ порождает не- определенность [1 ∞ ]. ( ) 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 2) x x x x x x x x x + + + − + ⎛ ⎞ = + − = + = + = + ⎜ ⎟ − − − − − ⎝ ⎠ 3 ! Т Лекции 12 – 13 132 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 lim 1 lim 1 2 ( 2 x x x x x x x − − ∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ = = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ) 3 = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 3 2 1 3 lim 6 2 1 lim 1 ( 2) 3 x x x x x x x e e x →∞ − ⋅ − − − − →∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = + = = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ − ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , поскольку 6 3 lim 6. 2 x x x →∞ − = − 12.3. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции α 1 (x) и α 2 (x) являются бесконечно малыми при x → x 0 Если 0 1 2 ( ) lim , ( ) x x x A x α α → = то возможно несколько ситуаций: 1) если A < ∞, то α 1 (x) и α 2 (x) называются бесконечно малыми одного порядка; 2) если A = 1, то α 1 (x) и α 2 (x) называются эквивалентными. Обозначение: α 1 (x) ∼ α 2 (x) ⇔ 0 1 2 ( ) lim 1 ( ) x x x x α α → = ; 3) если A = 0, то функция α 1 (x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с α 2 (x). ем символ α 1 (x) = о ( α 2 (x)) ⇔ 0 1 2 ( ) lim x x 0. ( ) x x α α → = Введ Т Если α 1 (x), α 2 (x), α 3 (x) являются бесконечно малыми при x → x 0 и при этом α 1 (x) ∼ α 2 (x), α 2 (x) ∼ α 3 (x), то 0 0 1 1 2 3 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x x x x x α α α α → → = В самом деле, α 3 (x) ∼ α 2 (x) ⇔ 0 3 2 ( ) lim 1. ( ) x x x x α α → = Тогда 0 0 1 1 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x α α α α α α → → ⋅ = = ⋅ 0 0 1 3 3 2 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x x x x x α α α α → → ⋅ = 0 1 3 ( ) lim 1 ( ) x x x x α α → ⋅ = 0 1 3 ( ) lim ( ) x x x x α α → = Замечательные пределы. Непрерывность функции 133 Аналогично: если α 1 (x) ∼ α 2 (x) при x → x 0 , то ( ) ( ) 0 0 1 2 1) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ; x x x x f x x f x x α α → → ⋅ = ⋅ 0 0 1 2 ( ) ( ) 2) lim lim ( ) ( ) x x x x x x f x f x α α → → = ; ( ) ( ) 0 0 1 2 3) lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x α α → → = Если x → 0, то выполняются следующие эквивалентности: 1) sin x ∼ x 5) arcsin x ∼ x 9) 2 1 cos 2 x x − ∼ 2) tg x ∼ x 6) arctg x ∼ x 10) sh x x ∼ 3) e x – 1 ∼ x 7) ln(1 + x) ∼ x 11) 1 1 2 x x ± − ± ∼ 4) 1 ln x a x − ⋅ ∼ a 8) ( ) log 1 ln a x x a + ∼ 12) ( ) 1 1 x x α α + − ∼ Указанные эквивалентности являются следствиями соответствующих предельных соотношений: 0 sin 1 x x x → ⎯⎯⎯ → , 0 1 ln x x a a x → − = ⎯⎯⎯ → , 0 tg 1 x x x → ⎯⎯⎯ → , ( ) 0 1 1 a x x a x → + − = ⎯⎯⎯ → , 0 log (1 ) 1 ln a x x x a → + = ⎯⎯⎯ → , 0 1 1 2 x x x → + − 1 = ⎯⎯⎯ → |