Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 16 из 47

121
11.3. Односторонние пределы
11.3.1. Число
A
называется
правым пределом функции
( )
y
f
=
x в
точке , если
a
{ }
n
x
a
∀
→ ,
(
)
( )
{
}
n
n
x
a
f x
A
>
⇒
→ . Эквивалентное опре- деление: число
A
называется
правым пределом функции
( )
y
f
=
x в точке , если
a
0
ε
∀ >
( )
( )
0 : 0
x a
δ ε
δ ε
⇒
∃
>
< − <
(
О
)
f x
A
ε
−
< .
Обозначение правого предела:
( )
0
lim
x
a
f x
A
→ +
=
11.3.2. Число
A
называется левым пределом функции
( )
y
f x
=
в точке
, если
a
{ }
(
)
( )
{
}
:
n
n
n
x
a
x
a
f x
A
∀
→
<
⇒
→ , или если
0
ε
∀ > , то
( )
( )
( )
0 : 0 a x
f x
A
δ ε
δ ε
∃
>
< − <
⇒
− <
ε
О
Обозначение левого предела:
( )
0
lim
x
a
f x
A
→ −
=
Пример:
y Sgn x
=
,
.
0 0
lim
1, lim
1
x
x
Sgn x
Sgn x
→+
→−
=
= −
Функция
( )
y
f x
=
имеет предел в точке , если правый и левый преде- лы в точке существуют и равны:
a
a
( )
( )
( )
0 0
lim lim lim
x a
x a
x a
f x
f x
f x
→ +
→ −
→
A
=
=
= .
Т
Доказательство:
Из определения 11.3.1 0
ε
⇒ ∀ >
( )
( )
( )
1 1
: 0 x a
f x
A
δ ε
δ ε
ε
∃
< − <
⇒
− < .
Из определения 11.3.2
⇒
для того же
ε
( )
( )
( )
2 2
: 0 a x
f x
A
δ ε
δ ε
ε
∃
< − <
⇒
<
−
Возьмем
( )
{
}
1 2
min
,
δ ε
δ
=
δ
, тогда можно сказать, что
( )
( )
0
:
x a
ε
δ ε
δ ε
∀ > ∃
− <
, то есть
( )
lim
x a
f x
A
→
= .
11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
и их свойства
Функция
( )
x
α
называется
бесконечно малой в точке
, если
a
( )
lim
0
x
a
x
α
→
= .
О
!
Аналогично определяется функция, бесконечно малая при
x
→ +∞

Лекции 10 – 11
122
( x
→ −∞ ).

Функции. Предел функции
123
Свойства бесконечно малых функций:
Если
( )
( )
lim lim
0
x a
x a
x
x
α
β
→
→
=
= , то
( )
( )
(
)
lim
0
x a
x
x
α
β
→
+
=
Т
Доказательство:
Из условия следует, что для любой последовательности
n
x
a
→ соответ- ствующие последовательности
( )
0
n
x
α
→ и
( )
0
n
x
β
→ .
Покажем, что
( )
( )
0
n
n
x
x
α
β
+
→ . Для этого фиксируем произвольное
ε
:
( )
( )
1 1
:
2
n
N
n N
x
ε
ε
α
∃
>
⇒
< и
( )
( )
2 2
:
2
n
N
n N
x
ε
ε
β
∃
>
⇒
< .
Возьмем
{
}
1 2
max
,
N
N
=
N
, тогда для
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n N
x
x
x
x
α
β
α
β
>
⇒
+
≤
+
<
ε
Свойство может быть расширено: сумма конечного количества беско- нечно малых функций есть бесконечно малая функция.
!
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
Т
Например,
2 0
1
lim sin
0
x
x
x
→
⎛
⎞
⋅
=
⎜
⎟
⎝
⎠
2
x
- бесконечно малая функция в точке
0
x
= ;
1
sin
x
- ограниченная функция.
Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно ма- лая.
С
Если
( )
( )
lim
0, lim
0
x a
x a
f x
A
x
α
→
→
= ≠
= , то
( )
( )
lim
0.
x a
x
f x
α
→
=
Т
Функция
( )
f x
называется
бесконечно большой в точке
, если
a
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
δ
δ
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
> M
. Записывается это как
( )
lim
x a
→
. Если же функция при
О
f x
= ∞
x
a
→ не только возрастает по абсо- лютной величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают:
( )
lim
x a
f x
→
= +∞ ⇔
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
M
δ
δ
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
;
( )
lim
x a
f x
→
= −∞ ⇔
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
M
δ
δ
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
<
1). Аналогично определяются функции, бесконечно большие при
x
!
→ +∞
(
x
→ −∞
).
2). Функция, бесконечно большая при x
a
→ , является неограниченной в окрестности точки , но обратное утверждение неверно: не всякая не- ограниченная функция является бесконечно большой. Так,
a
( )
1 1
f x
x
=
-

Лекции 10 – 11
124
бесконечно большая при
, а
0
x
→
( )
2 1
sin
x
f x
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
- является неограни- ченной при
0
x
→ , но бесконечно большой не является.
В первом случае для любого числа M
можно указать окрестность
точки
0
x
= , в каждой точке которой
( )
f x
M
>
; во втором случае для любого числа M
в каждой окрестности точки
0
x
= можно указать
точку, в которой
( )
f x
M
>
, но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например,
( )
0
f x
= .
Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при x
a
→ подтверждается следующей теоремой.
Если
( )
x
α
- бесконечно малая функция при x
a
→ и
( )
0
x
α
≠ при x a
≠ , то
( )
1
x
α
- бесконечно большая функция при x
a
→ . Если
( )
x
α
- беско- нечно большая, то
( )
1
x
α
- бесконечно малая.
Т
Свойства бесконечно больших функций
1˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
2˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
3˚. Сумма бесконечно больших функций
может не быть бесконечно боль- шой функцией:
( )
f x
x
= ,
( )
1
g x
x
= − ,
( )
( )
1
f x
g x
+
= .
( )
f x и
( )
g x - бесконечно боль- шие при
x
→ ∞
функции, но
( ) ( )
f x
g x
+
таковой не является;
( )
f x
x
= ,
( )
2 1
g x
x
= − ,
( )
( )
2 1
f x
g x
x x
+
= + − .
Все функции,
( )
f x ,
( )
g x и
( )
( )
f x
g x
+
- бесконечно большие при
x
→ ∞ .
11.5. Таблица определений предела
В таблице приведены все встречавшиеся в лекции определения преде- лов. Для краткости приведены только определения Коши.

Функции. Предел функции
125
Понятие
Обозначение
Определение
Предел функции
f
в точке
x a
=
( )
lim
x
a
f x
A
→
=
( )
( )
0 0 :
: 0
x
x a
f x
A
ε
δ ε
δ
ε
∀ > ∃
>
∀
< − < ⇒
−
<
( )
lim
x a
f x
→
= +∞
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
( )
lim
x a
f x
→
= −∞
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
<
«Обращение функции
f
в бесконеч- ность» в точке
x a
=
( )
lim
x
a
f x
→
= ∞
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
( )
lim
x
f x
A
→+∞
=
( )
( )
0
:
:
M
x x M
f x
A
ε
ε
ε
∀ > ∃
∀
≥
⇒
− <
Предел функции
f
при
x
→ +∞
, соответственно
x
→ −∞
( )
lim
x
f x
A
→−∞
=
( )
( )
0
:
:
M
x x M
f x
A
ε
ε
ε
∀ > ∃
∀
≤
⇒
− <
( )
lim
x
f x
→+∞
= +∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≥
⇒
>
( )
lim
x
f x
→+∞
= −∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≥
⇒
<
( )
lim
x
f x
→−∞
= +∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≤
⇒
>
( )
lim
x
f x
→−∞
= −∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≤
⇒
<
( )
lim
x
f x
→+∞
= ∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≥
⇒
>
«Обращение функции
f
в бесконеч- ность» при
x
→ +∞
, соответственно
x
→ −∞
( )
lim
x
f x
→−∞
= ∞
( )
( )
0 0
:
:
M
x M
x x x
f x
M
∀
∃
∀
≤
⇒
>
( )
0
lim
x a
f x
A
→ +
=
( )
( )
0 0 :
: 0
x
x a
f x
A
ε
δ ε
δ
ε
∀ > ∃
>
∀
< − < ⇒
− <
Пределы справа и слева
( )
0
lim
x a
f x
A
→ −
=
( )
( )
0 0 :
: 0
x
a x
f x
A
ε
δ ε
δ
ε
∀ > ∃
>
∀
< − < ⇒
− <
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
M
δ
δ
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
( )
0
lim
x a
f x
→ +
= +∞
( )
0
lim
x a
f x
→ −
= +∞
( )
(
0 :
: 0
)
M
M
x
a x
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
( )
0
lim
x a
f x
→ +
= −∞
( )
(
0 :
: 0
)
M
M
x
x a
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
<
( )
0
lim
x a
f x
→ −
= −∞
( )
(
0 :
: 0
)
M
M
x
a x
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
<
( )
0
lim
x a
f x
→ +
= ∞
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
x a
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
«Обращение функции
f
в бесконеч- ность» справа и слева в точке
x a
=
( )
0
lim
x a
f x
→ −
= ∞
( )
( )
0 :
: 0
M
M
x
a x
f x
δ
δ
M
∀
∃
>
∀
< − < ⇒
>
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: функция, график функции, способы задания функции; предел функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы; бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

Лекции 12-13
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
В лекциях 12–13 доказаны основные теоремы, на которые опираются конкретные приемы вычисления пределов функций. Рассмотрены первый и второй замечательные пределы, позволяющие вычислять пределы неопределенных выражений, приведена клас- сификация бесконечно малых величин, показана важность эквивалентных бесконечно ма- лых для вычисления пределов функций. Рассмотрено понятие непрерывности, излагаются определения и теоремы, разъясняющие это понятие.
12.1. Свойства функций, имеющих предел
12.2. Замечательные пределы
12.2.1. Первый замечательный предел
12.2.2. Второй замечательный предел
12.3. Сравнение бесконечно малых функций
13.1. Непрерывность функции
13.1.1. Непрерывность функции в точке
13.1.2. Непрерывность функции на множестве
13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций
13.1.4. Свойства непрерывных функций
13.1.5. Непрерывность обратной функции
13.1.6. Непрерывность сложной функции
13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке
13.2. Точки разрыва и их классификация
12.1. Свойства функций, имеющих предел
Для рассмотрения свойств функций, имеющих предел, будет полезна следующая теорема о связи бесконечно малой функции и функции, имеющей предел. Теоремы этого параграфа сформулированы для пределов в точке
0
x
, но все они справедливы и для пределов при
x
→ ±∞
Если
, то
0
lim ( )
и
x x
f x
A
A
→
=
< ∞
( )
( )
f x
A
x
α
= +
, где
0
lim ( ) 0.
x x
x
α
→
=
Т
Доказательство:
Если
0
lim ( )
,
x x
f x
A
→
=
то, по определению Коши, при произвольном
0
ε
> выполняется неравенство
( )
f x
A
ε
−
< . Обозначим
( )
( )
f x
A
x
α
−
=
Тогда для любого
0
ε
> выполняется
( )
x
α
ε
< . Но это и означает, что
( )
x
α
– бесконечно малая при
0
x
x
→

Лекции 12 – 13
126
Справедливо и обратное утверждение: если функция
( )
f x представима в виде
( )
( )
f x
A
x
α
= +
, где
( )
0
lim
0
x x
x
α
→
=
, то существует
0
lim ( )
x x
f x
A
→
=
!
Пусть функции
( )
y
f x
=
и
( )
y
x
ϕ
=
имеют одну область определения .
D
Т
Если
0
lim ( )
x
x
f x
A
→
=
и
0
lim ( )
x x
x
B
ϕ
→
=
, то
(
)
0 0
1) lim
( )
( )
lim ( ) lim ( );
x
x
x
x
x
x
0
f x
x
f x
x
ϕ
ϕ
→
→
→
+
=
+
(
)
0 0
2) lim
( )
( )
lim ( ) lim ( );
x
x
x
x
x
x
0
f x
x
f x
x
ϕ
ϕ
→
→
→
⋅
=
⋅
(
)
0 0
3) lim
( )
lim ( );
x x
x x
k f x
k
f x
→
→
⋅
= ⋅
0 0
0
lim ( )
( )
4) lim
,
( )
lim ( )
x x
x x
x x
f x
f x
x
x
ϕ
ϕ
→
→
→
=
где
(x)
(x)
ϕ
α
≠
Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой: где
0
lim ( ) 0;
x x
x
α
→
=
0 0
lim ( )
( )
( ),
lim ( )
( )
( ),
x
x
x
x
f x
A
f x
A
x
x
B
x
B
x
α
ϕ
ϕ
→
→
= ⇔
= +
= ⇔
= +
β
где
0
lim ( ) 0
x x
x
β
→
=
Докажем свойство 1:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
f x
x
A
x
B
x
ϕ
α
β
+
=
+
+
+
=
(
)
( )
( )
(
)
(
) ( )
,
A B
x
x
A B
α
β
γ
=
+
+
+
=
+
+
x где
( )
( )
( )
x
x
x
γ
α
β
=
+
Применяя теорему о связи вновь и учитывая, что
(
)
0 0
lim ( ) lim
( )
( )
0,
x x
x x
x
x
x
γ
α
β
→
→
=
+
=
получаем
(
)
0 0
lim
( )
( )
lim ( ) lim ( ).
x x
x x
x x
0
f x
x
A B
f x
x
ϕ
ϕ
→
→
+
= + =
+
→