Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 18 из 47

Пример:
Вычислить предел
(
)
1 0
lim 1 sin
x
x
x
→
+
При x
→ 0 применим sinx ∼ x.
(
)
(
)
1 1
0 0
lim 1 sin lim 1
x
x
x
x
x
x
e
→
→
+
=
+
=
Пример:
Вычислить
0
ln(1 sin )
lim sin 4
x
x
x
→
+
При x
→ 0 применим эквивалентность sinx ∼ x, sin4x ∼ 4x.
!
Т

Лекции 12 – 13
134
0 0
0
ln(1 sin )
ln(1
)
1
ln(1
)
1 1
lim lim lim
1
sin 4 4
4 4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
+
+
+
=
=
= ⋅ =
Пример:
Вычислить
2 1
1 cos lim
x
x
tg
x
π
π
→
+
Заменим t = x - 1. Получаем t
→ 0 и x = t + 1, тогда cos
π
x = cos
π
(t + 1) =
= cos (
π
t +
π
) = -cos
π
t, tg
2
π
x = tg
2
π
(t + 1) = tg
2
(
π
t +
π
) = tg
2
π
t.
( )
2 2
2 2
2 2
1 0
0 2 2 2 2 0
0 2sin
1 cos
0 1 cos
2 2
lim lim lim
2 lim
0 4
1 1
2 lim
2 lim
4 2
x
t
t
t
t
t
t
t
x
t
tg x
tg t
tg t
t
t
t
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
→
→
→
→
→
→
⎛
⎞
⎜
⎟
+
−
⎛ ⎞
⎝
⎠
=
=
=
= ⋅
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⋅
= ⋅
=
0
=
13.1. Непрерывность функции
13.1.1
)
x
D
. Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена на множестве и пусть точка
(
y
f
=
0
x
D
∈
. Функция называется
непрерывной в точке
( )
y
f x
=
0
x
, если функция определена в точке
0
x
, существует предел
0
lim ( )
x x
f x
→
и при этом
0 0
lim ( )
( ).
x x
f x
f x
→
=
(Иначе: 1)
0
( )
f x
∃
, 2)
0
lim ( )
x x
f x
→
∃
, 3)
0 0
lim ( )
( )
x x
f x
f x
→
=
).
1). При нарушении любого из трех условий функция называется раз- рывной в точке
0
x
2). Поскольку
0 0
lim
,
x x
x x
→
=
поэтому первое определение непрерывности может быть записано в виде
( )
0 0
m ( )
lim( ) ,
x x
x x
li
f x
f
x
→
→
=
то есть операция вы- числения непрерывной в точке
0
x
функции
( )
y
f x
=
и операция вычис- ления предела перестановочны.
Пример:
1)
( )
f x
x
=
0
,
x
∀
0 0
0 0
lim ( )
lim
( )
x
x
x
x
f x
x
x
f x
→
→
=
=
=
( )
f x
x
=
0
x
- непрерывна в любой точке по опре- делению.
2)
2
,
0,
( )
1,
0.
x x
f x
x
⎧
<
= ⎨
≥
⎩
( )
f x
0 0
x
непрерывна в любой точке
≠
,
0 1
!
О

Замечательные пределы. Непрерывность функции
135
( )
f x
разрывна в точке 0(нарушено второе условие определения).
Рассмотрим точку
0
x
D
∈
( )
y
f x
функции
=
и точку
0
x x
≠
0
x x x
∆ = −
0
называется
приращением аргумента,
x x
x
=
+ ∆
(
)
( )
0 0
y
f x
x
f x
∆ =
+ ∆ −
Величина
Величина называется
приращением функции, со- ответствующим данному приращению аргумента
x
∆
Функция называется
непрерывной в точке
( )
y
f x
0
=
x
, если функция определена в точке
О
0
x
0
lim
0.
x
y
∆ →
∆ =
и при этом
Вариант формулировки:
функция непрерывна в точке, если беско-
нечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно
малые приращения функции.
Пример:
Показать, что первое и второе определения непрерывности равносильны.
Используя арифметические свойства предела, получаем
[
]
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0, lim
(
)
( )
0,
lim (
) lim ( ) 0, lim (
)
( ) 0.
x
x
x
x
x
y
f x
x
f x
f x
x
f x
f x
x
f x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
=
+ ∆ −
=
+ ∆ −
=
0
lim
∆ →
∆ =
По определению приращения
x x x
∆ = −
0 0
0
lim (
) lim ( ),
x
x
х
, поэтому
f x
x
f x
∆ →
→
+ ∆ =
0 0
0 0
lim ( )
( ) 0 или lim ( )
( ).
x
x
x
x
и тем самым
f x
f x
f x
f x
→
→
−
=
=
Функция называется
непрерывной в точке
( )
x
y
f
=
0
x
, если функция определена в точке
О
0
x
, существуют односторонние пределы
0 0
0 0
lim
( ), lim
( )
x x
x x
f x
f x
→ −
→ +
0
lim
( )
( )
x x
0 0
0 0
lim
( )
x x
f x
f x
f x
→ +
→ −
=
и при этом
=
( )
y
f x
=
0
!
Все три определения непрерывности равносильны.
Используется также понятие
односторонней непрерывности.
Функция называется
непрерывной в точке
x
слева, если функция определена в точке
О
0
x
и существует односторонний предел
0 0
x x
lim
( )
f x
0 0
0
lim
( )
x x
( )
f x
f x
→ −
=
и при этом
→ −
Функция называется
непрерывной в точке
( )
y
f x
=
0
x
справа, если функция определена в точке
О
0
x
и существует односторонний предел
0 0
lim
( )
x x
f x
→ +
0 0
0
lim
( )
( )
x
x
f x
f x
→ +
=
и при этом

Лекции 12 – 13
136
!
Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что
функция непрерывна в точке
0
x
, если она непрерывна в ней справа
и слева.
13.1.2. Непрерывность функций на множестве
О
Функция, непрерывная в любой точке множества
,
называется не-
прерывной на множестве .
D
D
D
[ ]
,
a b
Для некоторых точек множества двусторонние пределы могут не суще- ствовать, например, если в качестве множества рассматривается отре- зок
. В этом случае в крайних точках отрезка двусторонние преде- лы заменяются на односторонние.
Функция
непрерывна на отрезке
[ ]
,
a b
(
О
, если она
непрерывна на ин-
тервале
)
,
a b
a
b
,
непрерывна справа в точке и непрерывна слева в
точке .
13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций
Основными элементарными функциями обычно называют следующие:
x
a
lo tg
x
x
g
x
cctg
x
g
a
x
, ctg
, arct
, ar
y x
α
=
,
, sin x , cos x , s x
,
, arcs
, arcco in x
Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке
0
x
их об- ласти определения.
Пример:
Показать, что функция y = x
2
непрерывна в произвольной точке
0
x
веще- ственной оси.
∆y = (x
0
+
∆x)
2
– x
0 2
= x
0 2
+ 2x
0
⋅ ∆x + ∆x
2
– x
0 2
= 2x
0
⋅ ∆x + ∆x
2
(
)
2 0
0 0
0 0
0 0
0
lim lim 2 2
lim lim lim
2 0
0 0.
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ =
⋅ ∆ + ∆
=
⋅
∆ +
∆ ⋅
∆ =
⋅
⋅ =
0
x
+
Непрерывность функции y = x
n
в произвольной точке
0
x
вещественной оси доказывается с использованием формулы бинома Ньютона.
Пример:
Показать, что функция
0
x
( ) sin
f x
x
=
непрерывна в произвольной точке вещественной оси.
Докажем, что:
1)
.
0
lim sin
0
x
x
→+
=
{ }
0
n
x
∀
→ +
)
x
>
0 sin
n
n
(
0
.
По лемме
x
x
<
<
n
→ ∞
lim sin
0
n
x
→∞
при
, по теореме о переходе к пределу в неравенствах
n
=
0
lim sin
0 sin(0)
x
x
→ +
= =
- непрерывность в
!
Т

Замечательные пределы. Непрерывность функции
137
{ }
0
n
x
→ −
( )
x
−
(
точке
0
x
=
справа. Пусть
. Заменим
x
на
,
)
0
x
− >
( )
x
x
Тогда выполняется условие:
0 sin( )
<
− < −
in
( )
,
0
s x
x
< −
< −
0 sin
Умножим неравенство на (-1). Тогда
x x
>
>
(
0
n
x
<
sin
0
x
x
<
<
lim sin
0 sin(0)
x
. Рассмотрим
,
)
n
n
⇒
0
x
→ −
= =
0
x
- непрерывность в точке
=
слева.
2)
∀
точки
0
x x
=
0
lim sin
x x
0
≠
Покажем, что
0
sin
x
x
→
=
, то есть
0 0
lim(sin sin ) 0
x
x
x
x
→
−
=
0 0
0 2 cos sin
2 2
sin sin
x x
x x
x
x
+
−
−
=
0 0
) 2 lim (cos
x
x
→
→
0
cos
2
x x
+
0 0
0
lim (sin sin sin
) 0 2
2
x
x
x x
x x
x
x
+
−
=
−
=
(так как
- величина ограниченная,
0
sin
2
x x
−
- бесконечно малая и
) и все произведение
0
→
⇒
0
→
Пример:
Вычислить предел:
4
lim sin .
x
x
π
→
Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому
4 4
2
lim sin sin lim sin
4 2
x
x
x
x
π
π
π
→
→
⎛ ⎞
⎜
⎟
=
=
=
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
13.1.4. Свойства непрерывных функций
( )
y
f x
=
( )
y
x
ϕ
=
Т
и
Если функции определены на множестве и непрерывны в точке
D
0
x
D
∈
(
, то функции
)
( )
f x
x
ϕ
+
,
( )
k f x
⋅
( ) ( )
f x
x
ϕ
⋅
( )
( )
f x
x
ϕ
,
, непрерывны в точке
0
x
, причем частное требует условия
( )
0 0
x
ϕ
≠
0
x
, выполняется условие:
Поскольку функции непрерывны в точке
0 0
0 0
lim ( )
( ), lim ( )
( ).
x x
x x
f x
f x
x
x
ϕ
ϕ
→
→
=
=
(
)
0 0
0
lim
( )
)
lim ( ) lim ( )
( )
( ),
x x
x x
x x
Используя арифметические свойства предела, получаем:
0 0
(
f x
x
f x
x
f x
x
ϕ
ϕ
ϕ
→
→
→
+
=
+
=
+
( )
( )
f x
x
ϕ
+
0
x
но это и означает, что функция непрерывна в точке .

Лекции 12 – 13
138
С
1). Многочлен P
n
(x) = a
n
x
n
+ … +a
1
x + a
0
непрерывен в любой точке
0
x
вещественной оси.
2). Дробно-рациональная функция
1 0
1 0
( )
( )
n
n
m
m
m
x a
R x
Q x
b x
b x b
+
=
=
+ +
+
0
( )
n
P x
a x
a
+ +
не- прерывна в любой точке
x
вещественной оси, где Q
m
(x
0
)
≠ 0.
Если функция непрерывна в точке
( )
y
f x
=
Т
0
x
, то она ограничена в не- которой окрестности этой точки.
Т
Об устойчивости знака непрерывных функций.
( )
f x
0
- непрерывна в точке
x
и
0
( )
f x
0
≠
Если
, то такая
∃
δ
- окрестность точки
0
x
, что для всех значений x из этой окрестности
( ) 0
f x
≠
0
( )
и имеет знак, совпадающий со знаком
f x
0 0
lim ( )
( )
x x
Доказательство:
f x
f x
→
=
0
По условию,
0
: x x
δ
Таким образом,
ε
∀ >
δ
<
∃
−
⇒
0
(
f x
( )
)
f x
ε
,
−
<
0 0
( )
( )
( )
f x
f x
f x
ε
ε
− <
<
+
то есть,
0
( )
f x
ε
−
0
( )
f x
ε
+
0
( )
f x
0
( )
f x
ε
<
Если взять
ε
:
, то числа
, и должны иметь
одинаковый знак. Таким образом, для
0
( ) , ( )
f x
f x
ε
<
из
ε
- окре- стности имеет один знак с
0
( )
f x
13.1.5. Непрерывность обратной функции
Т
Если:
1)
- строго монотонная, непрерывная на
( )
y
f x
=
[ ]
,
a b
( ), ( )
,
f a
f b
α
β
=
=
1
( )
, то x
f
y
−
∃ =
2)
- строго монотонная, непрерывная на
[
]
,
α β
Пример:
sin
y
x
=
,
2 2
π π
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
arcsin
x
y
, на
- строго монотонна и непре- рывна
⇒ имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию
=
на
[
]
1,1
−
arcsin
y
x
После переобозначения
=
13.1.6. Непрерывность сложной функции
О
Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются
сложными:

Замечательные пределы. Непрерывность функции
139
{ }
t
{ }
x
О
Пусть: 1)
( )
x
t
ϕ
=
задана на и имеет множество значений
;
2)
задана на
{
( )
y
f x
=
}
x .
{ }
Тогда на t задана сложная функция
( )
y
f x
=
, где
( )
x
t
ϕ
=
[
]
( )
f
t
или
( )
y F t
ϕ
=
=
, x - промежуточный аргумент, - независимая пере- менная.
t
Пример:
sin
y
x
=
2
x t
=
2
sin
y
t
=
,
,
- сложная функция.
Непрерывность сложной функции.
Т
( )
x
t
ϕ
=
Если: 1)
непрерывна в точке t a
= ,
2)
непрерывна в точке
( )
y
f x
=
( )
x b
a
ϕ
= =
[
,
]
( )
y
f
t
ϕ
=
непрерывна в точке t a
= . то
Доказательство:
Используя определение предела по Гейне, докажем, что
[
]
[
]
(
lim
( )
( )
)
t
a
f
t
f
b
a
f
ϕ
ϕ
→
=
=
{ }
n
t
a
∀
→
{
}
( )
( )
n
t
a
b
ϕ
ϕ
→
=
( )
n
n
(доказано условие 1)),
, то есть
{ }
n
x
b
→ ,
{
}
( )
( )
n
f x
f b
→
[
]
x
t
ϕ
=
(доказано условие 2)), но ( )
( )
n
n
f x
f
t
ϕ
=
, то есть
{ }
n
t
a
{
∀
→ ,
[
]
}
[
]
( )
( )
n
f
t
f
a
ϕ
ϕ
→
⇒
[
]
( )
f
t
ϕ
- непрерывна в точке t
, что и требовалось доказать.
a
=