Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
7º. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходит- ся к тому же пределу. 9.5. Монотонные последовательности Последовательность { } n x называется щей п ую н е неубываю ( невозрастаю- щей), если каждый ослед щий чле этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n спра- ведливо нерав нство 1 n n x x + ≤ ( 1 n n x x + ≥ ). О Неубывающие и невозрастающие последовательности называются мо- нотонными последовательностями. О Если вместо нестрогих неравенств 1 n n x x + ≥ и 1 n n x x + ≤ имеют место стро- гие неравенства 1 n n x x + < или 1 n n x x + > , то последовательности называют- ся возрастающей и убывающей соответственно. О Лекции 8 – 9 104 Пример : 1). Последовательность { } 1,1, 2, 2,3,3, 4, 4,..., , ,... n n -неубывающая. 2). Последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +1 2 2 n n – возрастающая, так как 1 n x + > n x Действительно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n + + − + + + − = = + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 1 1 n n n + = > + + + 3). Последовательность 1 n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ – убывающая, так как ( ) 1 1 1 1 0 1 1 n n x x n n n n + − = − = − < + + ност Признак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последователь ь { } n x ограничена сверху (снизу), то она схо Т дится. Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена свер- ху, то она сходится (имеет предел). Доказательство: { } n x - ограничена сверху ⇒ { } n x имеет { } x Sup x = ⇒ покажем, что ∃ lim n n x x →∞ = . x 1) , n n x x ∀ ≤ ; 2) 0 ε ∀ > найдется элемент N x x ε > − , (по условию , N n N x x ∀ > ≤ n { } n x - неубываю- щая), т.е. запишем последовательно: N n x x x x ε − < ≤ ≤ ⇒ n x x x ε − < ≤ ⇒ n x x x ε − ≤ − < − + ⇒ 0 n x x ε ≤ − < ⇒ n x x ε − < , то есть по определению предела lim n n x x →∞ = 1. Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом. 2. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной. ! Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 105 Пример: { } n x , ( ) 2 1 1 k n x n − = + , lim 1 n n x →∞ = , однако { } n x - немонотонная. еограниченная монотонная последовательность является бесконечно .6. Число е как предел монотонной последовательности Рассмотрим последовательность Н большой. 9 { } n x , 1 n ⎛ ⎞ 1 n x n = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ последовательности, доста- Исходя из признака сходимости монотонной точно доказать, что: 1) { } n x - является возрастающей; 2) { } n x - ограничена сверху. Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела 1 1 n n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ + ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ рмулой бинома Ньютона: ⎩ ⎭ Доказательство: Воспользуемся фо ( ) ( ) 0 1 1 1 n n n n n a b a b na b − − + = + + 2 2 2! n a b − + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 3 0 1 2 ... 1 1 2 3! ! n n n n n n n n n n a b a b n − − − − − − − + + + , где а 1 2 3 n! ... n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Тогд ( ) ( ) ( ) 2 1 ... 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2! ! n n n n n n n n n 1 n n n n n − − − − ⎛ ⎞ = + = + + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x n 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 2! 3! ! n n n n n n n − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ = + − + − − + + − − ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ n ⎞ ⎟ ⎠ Аналогично для 1 n x + 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2! 1 3! 1 1 n x n n n + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + − + − − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Т Лекции 8 – 9 106 ( ) 1 1 2 1 1 ... 1 1 ! 1 1 1 n n n n n ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + , 1) 1 1 1 1 1 n n ⎛ ⎞ ⎛ − < − ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ . Заметим, что 1 n x + содержит на одно положитель- ное слагаемое больше, чем n x , следовательно n ∀ 1 n n x x + < Таким образом, { } n x – последовательность возрастающая 2) При 2 n ≥ 1 0 1 => 1 n ⎛ ⎞ < − < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 n x > 3) 1 1 1 2 2! 3! ! n x n < + + + + ; если заменить каждое слагаемое еще боль- шим: 2 1 1 1 1 1 1 , ,... 2! 2 3! 2 3 2 2 2 = = < = ⋅ ⋅ , 1 1 1 ! 2 n n − < , получаем: 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n n x − ⎧ ⎫ < + + + + + ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ { } ... - сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой 1 1 1 1 1 , , 2 2 2 n n b q b − = = = , 1 (1 ) 1 n b q S q − = − ⇒ 1 1 2 n S = − ; n ∀ 1 S n < ⇒ ∀ 3 n x < Вывод: возрастающая последовательность { } n x ограничена сверху, сле- довательно, последовательность сходится. 1. Обозначение 1 lim 1 n n e n →∞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 e 3 < < (Эйлер); ! 2 e ,7 1828 1828 459045... ≈ 2. Число e имеет большое значение в математическом анализе. x y e = - показательная функция с основанием e ; ln y = x - натуральный логарифм (логарифм по основанию e ). 3. Справедливо утверждение: если { } n α – произвольная бесконечно малая последовательность и 0 n α ≠ , то ( ) 1 lim 1 n e n n α α + = → ∞ Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 107 9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы О Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности { } n x , если в любой ε -окрестности этой точки име- ется бесконечно много элементов последовательности { } n x . ! Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на чи- словой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки. Подобный «геометрический» подход позволяет высказать два утвержде- ния, строгое доказательство которых опустим: 1) всякая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку; 2) последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится. Пример: 1). Последовательность { } 1 ( 1) n − − имеет две предельные точки и , но не имеет предела. 0 x = 2 x = 2). Последовательность { } n e − имеет одну предельную точку кото- рая является одновременно пределом этой последовательности. 0, x = Принцип Больцано – Вейерштрасса. У всякой ограниченной последо- вательности существует хотя бы одна предельная точка. Т Наибольшая предельная точка последовательности { } n x О называется верхним пределом последовательности и обозначается lim n n a x →∞ = Наименьшая предельная точка последовательности { } n x О называется нижним пределом последовательности и обозначается lim n n a x →∞ = Пример: 1). Последовательность 1 1 1 , , 1, , ..., 1, 2 3 n 1 имеет верхний предел 1 = a и нижний предел 0 a = 2). Последовательность 1 , 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, ..., 1, 2, , .... n имеет нижний предел 1 a = , тогда как обычного предела у нее нет, по- скольку она неограниченная. Лекции 8 – 9 108 Сформулируем без доказательства теорему, показывающую важность этих понятий (значения пределов в ней могут быть и несобственными числа- ми, т.е. +∞ или ). −∞ Т Для любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и доста- точное для существования предела (в обычном смысле). Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным чис- лом. ! В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: множество, элемент множества; целые, натуральные, рациональные, действительные числа; виды числовых множеств (интервал, сегмент, луч и т.п.); ограниченные и неограниченные множества; числовая последовательность, способы ее задания; предел числовой последовательности; бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства; свойства сходящихся последовательностей; монотонные последовательности, признак сходимости монотонной последовательности; предельная точка (точка сгущения) последовательности. Лекции 10 - 11 ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В лекциях 10 – 11 рассматривается одно из основных понятий математики – понятие функции. Обсуждаются способы задания функции, различные свойства функций, приво- дится классификация функций и, для справки, таблица основных элементарных функций с их графиками. Далее рассмотрено опорное для всего математического анализа понятие предела функции, приведены разновидности определений (определение по Коши и опре- деление по Гейне, предел в точке и предел в бесконечности, односторонние пределы и т.п.). Заканчивается лекция описанием бесконечно малых и бесконечно больших функций - весьма удобного математического инструмента, широко использующегося в различных доказательствах. 10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции 10.2. Основные характеристики функции 10.3. Обратная функция. Сложная функция 10.4. Основные элементарные функции 10.5. Элементарные и неэлементарные функции 11.1. Предел функции в точке 11.2. Предел функции в бесконечности 11.3. Односторонние пределы 11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства 11.5. Таблица определений предела 10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно от- носится к установлению соответствия между элементами двух множеств. Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие единственный элемент y из множества , то говорят, что на множестве О Y X задана функция ( ) y f x = , x X ∈ , y Y ∈ Множество X называется областью определения функции (ООФ) и обозначается ( ) D f . Множество изменения функции называется об- ластью значений функции (ОЗФ) и обозначается Y ( ) E f . В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ являются числовыми множествами, Y X ⊂ , . В этом случае переменная величина Y ⊂ x называется независи- мой переменной или аргументом, величина - зависимой переменной или функцией (от x). Число , соответствующее данному значению x, назы- вается частным значением функции в точке x. y y Лекции 10 – 11 110 Множество точек ( ) ( ) , x f x плоскости называется графиком функ- ции Oxy ( ) y f x = О Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с по- мощью таблицы. При аналитическом задании функция может быть определена: 1) явно - уравнением вида ( ) y f x = или ( ) ( ( ) ( ) 1 1 2 2 , , ) f x x D D f y f x x D D f ∈ ⊂ ⎧⎪ = ⎨ ∈ ⊂ ⎪⎩ ; 2) неявно - уравнением вида ( ) , 0 F x y = ; 3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной – параметра – ( ) ( ) , , x x t t T y y t = ⎧ ∈ ⊂ ⎨ = ⎩ Пример: Явное задание: 1). { } { } { } { } 2 1 , : 1 , : 0 1 y x x x x y y y = − = ≤ = ≤ ≤ ; 2). { } { } { } { } , 0, , 0, : , : 0 x x y x x x x x x y y y ≥ ⎧ = = ⎨ − < ⎩ = −∞ ≤ ≤ ∞ = ≤ ≤ ∞ 3). sgn y x = - знак x , 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0, x x x x > ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪− < ⎩ { } { } { } { } : , x x x y = −∞ ≤ ≤ ∞ = −1,0,1 4). Функция Дирихле 0, иррац., 1, рац., x y x − ⎧ = ⎨ − ⎩ { } { } { } { } : , 0,1 . x x x y = −∞ ≤ ≤ ∞ = 5). [ ] y x = - целая часть x (наибольшее целое, не превосходящее x ) ( ) { } { } : D f x x x = = −∞ ≤ ≤ ∞ , ( ) { } { } :целые числа E f y y = = ; эта функция может быть задана в виде [ ] [ ) [ ) [ ) 1, 1; 2 , 0, 0;1 , 1 1; x x x x ⎧ ⎪ ∈ ⎪⎪ = ∈ ⎨ ⎪− ∈ − ⎪ ⎪⎩ 0 , Функции. Предел функции 111 Неявное задание: уравнение может определять не одну, а несколько функций вида ( ) , F x y = 0 ( ) y f x = . Так, уравне- ние определяет две функции: 2 2 1 0 x y + − = ( ) 2 1 1 y f x x = = + − и ( ) 2 2 1 y f x x = = − − Аналитический способ задания функции является наиболее точным и предпочтительным для дальнейшего исследования функции методами мате- матического анализа. Графическое и табличное описание возникает, напри- мер, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных за- висимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую аналитиче- скую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую экспе- риментальные данные (так называемая |