Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
97 Пример: 1) { } ( { ) } 1,1, 1,1,... 1 n − − = − ; 2) 1 2 1 0, , ,... 2 3 n n − ⎧ ⎫ ⎧ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ ; 3) { } { } 1, 2,3,... n = ; 4) 1 1 1 1 , 1 , 1, 2,3,... 2 2 n n n n x x x x n + − = = ⇒ = = ; 5) 2 1 1 2 3 4 , 1, 1 2, 3,... n n n x x x x x x x + + = + = = ⇒ = = О Если рассмотреть произвольную возрастающую последовательность на- туральных чисел: и выбрать из последовательности 1 2 3 , , ,.... ,... n k k k k { } n x ее члены с соответствующими номерами 1 2 n то полученная по- следовательность называется подпоследовательностью последователь- ности , ,..., ,... k k k x x x { } n x . Например, для произвольной последовательности подпосле- довательностями являются последовательности четных или нечетных членов. Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы теоремы об ограниченных множест- вах. ! Пример : Последовательность { } { } { } 1, 2, 3,... ,... n x n n = − = − − − − ограничена сверху , поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству 1 n x ≤ − Последовательность { } { } 2 n x n = ограничена снизу, т.к. 1 2 ≥ = n x n Последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n 1 ограничена. Для любого n ∈ N 1 1 0 ≤ < n , т.е. 1, 0 M m = = Пример : Неограниченные последовательности: 1) { } { } 2 n x n = . При любом достаточно взять 0 M > n M > 2) ( ) ( ) { } n n 1 1 − − . Среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий условию M x n ≥ для любого 0 M > Лекции 8 – 9 98 8.6. Свойства ограниченных последовательностей 1. Сумма двух ограниченных последовательностей есть последователь- ность ограниченная. 2. Разность двух ограниченных последовательностей есть последова- тельность ограниченная. 3. Произведение двух ограниченных последовательностей есть после- довательность ограниченная. ! Неограниченные последовательности таких свойств не имеют. 9.1. Предел числовой последовательности Конечное число называется пределом числовой последовательности a { } n x (обозначается lim n n x a →∞ = или ), если для любого положи- тельного числа n n x →∞ → a ε найдется такое натуральное число (зависящее от N ε ), что при всех выполняется неравенство n N > n x a ε − < . Это может быть описано также в следующих терминах: последовательность { сходитсяк ; } n x a последовательность { имеет предел,равный; } n x a n x (общий член последовательности) стремитсяк . a Сокращенная запись: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n lim x a N N : n N x a n ε ε ε →∞ = ⇔ ∀ > ∃ = ∀ > ⇒ − < ε Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящей- ся. То же утверждение может быть сформулировано короче. Число есть предел последовательности a { } n x , если ее члены отли- чаются от сколь угодно мало, начиная с некоторого места. a Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». 0 n x a ε ε ∀ > − < - точная формулировка первого утверждения, а ( ) n N ε ∀ > - второго. Пример : Дано: { } 1 n n x n − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , 1 1 lim lim lim 1 1 n n n n n x n n →∞ →∞ →∞ − ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = . Докажем, что 1 lim 1 1 n n →∞ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Доказательство: ! О О Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 99 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 1 1 0, 1 1 1 ; , n n n n n ε ε ε ε ε − ∀ > − < ⇒ − − < < > ⇒ 1 Если взять ( ) N ε – любое целое, большее, чем 1 ε , то неравенство 1 1 n n ε − − < будет выполнено ( ) n N ε ∀ > , ч.т.д. Геометрическая интерпретация примера: 1 1 1 , 2; 2 1 2 2 2 1 1 1 , 5; 5 1 5 5 5 n n N n x N n x ε ε ⎛ ⎞ = = > ⇒ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = > ⇒ − < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ < 1 , 1 1 n n x x ε ε ε ε − < − < − < < + Последовательность ( ) { } 1 n − не имеет предела, так как нельзя указать номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа. ! О Последовательности, не имеющие предела, называются расходящими- ся. 9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности { } n x О Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M можно указать такое натуральное число (зависящее от N M ), что при всех выполняется неравенст- во n N > n x M > ( ) ( ) 0 n M N N M : n N M x M ∀ > ∃ = ∀ > ⇒ > Если числовая последовательность { } n x бесконечно большая и ее члены (по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак ( или ), говорят, что последовательность + − { } О имеетпредел n x +∞ n n →∞ = +∞ (или ): , или li −∞ lim x n n x →∞ → +∞ m n n x →∞ = −∞ , n n x →∞ → −∞ Лекции 8 – 9 100 Пример: Последовательности { } n α , 0 α > , являются бесконечно большими, т.к. для любого из следует, что если 0 M > n M α > α M n > , то условие оп- ределения выполнено. Последовательность { } n x называется бесконечно малой, если для лю- бого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое нату- ральное число (зависящее от N ε ), что при всех ( ) n N ε > выполняется неравенство n x ε < . О ( ( ) 0 N ε ε ∀ > ∃ : ( ) : n n N x ε ε ∀ > < ). ! Из определения предела последовательности следует, что последова- тельность { } n x бесконечно мала, если lim 0 n n x →∞ = . Пример: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия n n x q = , 1 q < , явля- ется бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого 0 ε > из неравенства ε < n q следует, что при ε q n log > это неравенство выпол- нено, т.о. ( ) [ ] N q ε ε = log 9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей Т Бесконечно малая последовательность ограничена . Доказательство: Пусть { } n x – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного ε , начиная с некоторого номера, имеет место неравенство n x ε < . Вы- бирая в качестве M максимальное из чисел 1 2 1 , , ,..., n x x x ε − , получим n x M < для всех , что и требовалось доказать. n Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последова- тельность бесконечно малая. Т Т Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последова- тельность бесконечно малая. Т Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая. Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 101 Доказательство: Пусть { } n x – бесконечно малая, а { } n y – ограниченная последовательно- сти, т.е. для любого 0 ε > существует ( ) N ε такое, что для ( ) n N ε > n x ε < , и существует такое число M , что для всех n n y M < . Тогда для последовательности { } n n x y ⋅ при ( ) n N ε > имеем n n x y M ε ⋅ < ⋅ . Так как M – фиксированное число, а ε – сколь угодно малое, то M ε ⋅ также сколь угодно малое. Теорема доказана. С Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть после- довательность бесконечно малая. Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно ма- лая последовательность всегда ограничена. Если элементы бесконечно малой последовательности { } n x не равны нулю, то последовательность 1 n x ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ будет бесконечно большой. Т Если { } n x бесконечно большая последовательность и , то после- довательность 0 n x ≠ 1 n x ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ – бесконечно малая. Т Пример : 1). Последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n sin – бесконечно малая, т.к. ее элементы яв- ляются произведением элементов ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности { n sin } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n 1 2). Последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + 3 1 n n – бесконечно малая, т.к. является суммой бесконечно малых последовательностей ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 n и ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 3 1 n 3). Последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − n e n – бесконечно малая, т.к. является произве- дением бесконечно малой последовательности { } n e − на бесконечно малую последовательность ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n 1 Последовательность { } n x называется фундаментальной, если для лю- бого положительного 0 ε > найдется номер ( ) N ε такой, что для всех , удовлетворяющих условию n ( ) n N ε > , и для всех натуральных чисел ( ) справедливо неравенство m 1,2,3,... m = n m n x x ε + − < О 0 ( ) : ( ) : n m n N n N m N x x ε ε ε + ∀ > ∃ ∀ > ∀ ∈ − < ε Лекции 8 – 9 102 Критерий Коши. Для того чтобы последовательность { } Т n x была сходя- щейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна. 9.4. Свойства сходящихся последовательностей 1º. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: n n x a α = + , где { } n α – бесконечно малая последовательность. Доказательство: По определению предела ( ) ( ) 0 : N n N ε ε ε ∀ > ∃ > , n x a ε − < . Рассмотрим n n n x a x a n α α = − ⇒ = + , подставим 0 ( ) : ( ) n n a a N n N α ε ε ε ε α + − < ⇒ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ < ε n , т.е. lim 0 n n α α →∞ = ⇒ - бесконечно малая последовательность. 2º. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство: Пусть и , n n a lim x →∞ = n n b lim x →∞ = a b ≠ , a r b < < – два предела сходящейся последовательности { } n x 1 1 1 0 n n N : n N x a r a n N x r ε ∀ > ∃ ∀ > − < − ⇒ ∀ > < ; 2 2 2 0 n n N : n N x b b r n N x r ε ∀ > ∃ ∀ > − < − ⇒ ∀ > > . Выберем ( ) { } 1 2 N N max N ,N ε = = и : тогда должно одновременно выполняться n N ≥ n x r < и n x r > , что невозможно, значит, a b . = 3º. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно, например, последовательность { } sin 2 n n x π ⎧ = ⎨ ⎩ ⎭ ⎫ ⎬ является ограниченной, но предела не имеет. ! 4º. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что и ) двух сходящихся последовательностей 0 n n y ∀ ∈ ≠ lim 0 n n y →∞ ≠ { } n x и есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответст- венно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей. { } n y Доказательство (сумма): Пусть { } n x и – сходящиеся последовательности и { } n y lim n n x a →∞ = , . Тогда lim n n y →∞ = b n n x a α = + , n n y b β = + где { } n α и { } n β – бесконечно малые последовательности, и n n n x y a b n α β + = + + + , т.е. последова- тельность { } n n x y a b + − − – бесконечно малая, и поэтому { } n n x y + схо- дится и имеет своим пределом a b + . Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности 103 Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. С 5º. Если элементы сходящейся последовательности { } n x , начиная с не- которого номера, удовлетворяют неравенству n x b ≤ ( n x b ≥ ), то и предел этой последовательности lim n n x a →∞ ≤ удовлетворяет неравенству a b ≤ ). ( a b ≥ 1. Если элементы n x и сходящихся последовательностей n y { } n x и { } n y , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству n n x y ≤ , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: lim lim n n n n x y →∞ →∞ ≤ С 2. Если все элементы сходящейся последовательности { } n x находятся на отрезке [ , то и ее предел также находится на этом отрезке. ] ; a b 6º. Пусть { } n x и { } n z сходя – щиеся последовательности и lim lim n n n n x z →∞ →∞ = = . некоторого номера, элементы последовательности a Пусть, начиная с { } n y удовлетворяют авенствам n n n нер x y z ≤ ≤ .Тогда ательность { } n y сходится и lim n a → = . y ∞ последов n |