Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Из рисунка видно, что если ϕ – угол между прямой и плоскостью, то ( ) cos , co n a s cos sin 2 π ψ ϕ ϕ ⎛ ⎞ = = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 ) Al Bm Cn sin cos( 2 A B C l m n ϕ ϕ + + = + + ⋅ + + π = − Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 65 Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор пря- мой коллинеарен нормальному вектору плоскости, т.е. A B C l m n = = Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, т.е. ( ) 0 a n ⋅ = , 0. Al Bm Cn + + = В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: виды уравнений плоскости, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; виды уравнений прямой, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; способы решения стандартных задач, связанных с прямой и плоскостью: (угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности этих объектов, расстояние от точки до плоскости, координаты точки пересечения прямой и плоскости). Лекция 6 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция 6 посвящена аналитической геометрии на плоскости. Рассмотрены задачи, связанные с простейшими объектами на плоскости – точками и прямыми. Подробно ана- лизируются кривые второго порядка: выводятся канонические уравнения кривых, иссле- дуется их форма, обсуждаются элементы кривых. Показано, что преобразованиями коор- динат, т.е. параллельным переносом и поворотом координатных осей общее уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду. Заканчивается лекция рассмот- рением линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически. 6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками 6.1.2. Деление отрезка в данном отношении 6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой 6.2.2. Каноническое уравнение прямой 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки 6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 6.2.5. Уравнение прямой в отрезках 6.2.6. Нормальное уравнение прямой 6.2.7. Расстояние от точки до прямой 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых 6.2.9. Угол между двумя прямыми 6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 6.3. Кривые второго порядка 6.3.1. Эллипс 6.3.2. Окружность 6.3.3. Гипербола 6.3.4. Парабола 6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос 6.4.2. Поворот координатных осей 6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей 6.4.4.* Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 6.5.* Линии в полярной системе координат 6.5.1.* Полярные координаты на плоскости 6.5.2.* Связь полярных координат с декартовыми 6.5.3.* Уравнения линий в полярной системе координат 6.6.* Параметрическое задание линий 6.6.1.* Окружность 6.6.2.* Циклоида 6.6.3.* Астроида Аналитическая геометрия на плоскости 67 6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками Пусть даны две точки M 1 (x 1 ,y 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ). Рас- с ие между ними равно длине вектора тоян { } 1 2 2 1 2 1 , M M x x y y = − − и может быть вычислено по формуле: 2 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( d M M x x y y = = − + − ) 6.1.2. Деление отрезка в данном отношении Точка M(x,y) делит отрезок M 1 M 2 в отношении λ , если 1 2 M M MM λ = . Тогда 1 , 2 M M MM λ = а отсюда 1 1 2 2 , x x y y x x y y λ − − = = − − и координаты точки М находят- ся по формулам: 1 2 1 2 1 1 x x x y y y λ λ λ λ + ⎧ = ⎪⎪ + ⎨ + ⎪ = ⎪ + ⎩ Координаты середины отрезка С получаются при М 1 М=ММ 2 , то есть 1 λ = : 1 2 1 2 2 2 c c x x y y x , y . + + = = Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное на- правление на отрезке М 1 М 2 , так как при изменении направления на противо- положное λ не меняется. 6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой на плоскости XOY получается из общего урав- нения плоскости в пространстве при z = 0. Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением Ax+By+C=0. Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x 0 ,y 0 ) перпендикулярно вектору { } , n A B = , ее уравнение принимает вид: 0 0 ( ) ( ) A x x B y y − + − = 0 Лекция 6 68 6.2.2. Каноническое уравнение прямой Если прямая проходит через точку (x 0 ,y 0 ) параллельно направляющему вектору {l,m} a = , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравне- ния прямой на плоскости в виде 0 0 x x y y l m − − = и 0 0 , , x x lt y y mt = + ⎧ ⎨ = + ⎩ где t – параметр, t ( , ) ∈ −∞ ∞ . 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть на плоскости заданы две точки M 1 (x 1 ,y 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ). Для того чтобы написать уравнение пря- мой, проходящей через эти точки, полагаем в соот- ветствующем уравнении прямой в пространстве Тогда получаем искомое уравне- ние в виде 1 2 3 0. z z z z = = = = Y M 2 M 1 O X 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − − 6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Пусть прямая составляет угол α с осью OX. Уг- ловым коэффициентом прямой k называется число tg k α = Прямая может быть задана точкой М 1 (x 1 ,y 1 ) и угловым коэффициентом k или двумя точками М 1 (x 1 ,y 1 ) и М 2 (x 2 ,y 2 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если 0 B ≠ , тогда , где y k x b = + А k B = − и B C b − = . Пусть прямая пересекает ось OY в точке P(0,b). Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем 2 1 1 1 2 1 ( ). y y x x x x y y − − = − − Аналитическая геометрия на плоскости 69 Отсюда 2 1 2 1 tg y y k x x α − = = − Таким образом, 1 1 ( ) y y k x x . − = − Уравнение полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффици- ентом k, если b = y 1 - k x 1 6.2.5. Уравнение прямой в отрезках Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду уравнения прямой «в отрезках»: 1 x y a b + = . Прямая в отрезках пересекает ось OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b). 6.2.6. Нормальное уравнение прямой Пусть известно расстояние от прямой до начала координат OP p = и угол α между перпендикуляром к прямой и осью OX. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что cos( ) 2 π α sin α − = , получаем нормальное уравнение прямой на плоско- сти в виде: cos sin 0 x y p α α + − = Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель 2 2 1 A B µ = ± + . Знак числа µ должен быть противоположен знаку числа С. Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой. Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и осью OY равен β, то 2 2 cos cos 1 α β + = 6.2.7. Расстояние от точки до прямой Расстояние d от точки M 0 (x 0 ,y 0 ) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ , d = | δ |, где 0 0 0 0 2 2 cos sin Ax By C x y p A B δ α α + + = + − = ± + Лекция 6 70 По этой формуле δ положительно, если точка М 0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно. 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых Если прямые заданы уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 =0, то ко- ординаты точки их пересечения (x 0 , y 0 ) получаются как решение системы уравнений: 1 1 1 2 2 2 0, 0 A x B y C A x B y C + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ по формулам Крамера в виде: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 , , B C C A B C C x y A A B A B А B A = = B при 1 1 2 2 0. A B A B ≠ 6.2.9. Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы уравнениями: 1 1 1 2 2 2 , y k x b y k x b = + = + Острый угол ϕ пересечения этих прямых (от- считываемый против часовой стрелки) находит- ся из следующих соотношений: 2 1 2 1 1 2 tg tg ) 1 tg tg tg tg( α α α ϕ α α α − = + = − Отсюда 2 1 2 1 tg 1 k k k k ϕ − = + Если прямые заданы общими уравнениями А 1 x+B 1 y+C 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 =0, то угловые коэффициенты прямых равны: 1 1 2 1 2 tg , tg 2 A A B B α α = − = − и угол ϕ ме- жду прямыми определяется формулой: 1 2 2 1 1 2 1 2 tg A B A B . A A B B ϕ − = + Аналитическая геометрия на плоскости 71 6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Прямые y 1 =k 1 x+b 1 и y 2 =k 2 x+b 2 параллельны друг другу, если 0 ϕ = . Сле- довательно, tg 0 ϕ = , то есть k 1 =k 2 Прямые y 1 =k 1 x+b 1 и y 2 =k 2 x+b 2 перпендикулярны друг другу, если 2 π ϕ = . Сле- довательно, tg ϕ → ∞ , то есть k 1 k 2 = -1. Отсюда 1 2 1 k k = − Если прямые заданы общими уравнениями, то: А 1 В 1 – А 2 В 1 =0, 1 1 2 2 A A B B = – условие параллельности, А 1 А 2 +В 1 В 2 =0 – условие перпендикулярности прямых. 6.3. Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими уравнениями второго порядка. 6.3.1. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место всех точек ( , ) M x y , для которых сумма расстояний до двух заданных точек ( ) 1 ,0 F c + и ( ) 2 ,0 F c − (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a О Каноническое уравнение эллипса может быть получено непосредственно из определения эллипса. По определению 1 2 2 F M F M + = a и 1 2 2 , F F c = где . Воспользуемся форму- лой расстояния между двумя точками: a c > 2 2 1 1 ( ) F M x c y r = − + = , 2 2 2 2 ( ) F M x c y r = + + = По определению . Подставим в это равенство найденные и : 1 2 2 r r a + = 1 r 2 r 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x c y x c y + + + − + = a . Лекция 6 72 Проделаем очевидные преобразования: 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) , x c y a x c y + + = − − + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 4 ( ) ( ) , x c y a a x c y x c y + + = − − + + − + 2 2 2 ( ) a x c y a cx − + = − , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a c x a y a a c − + = − Так как , то положим a c > 2 2 a c b − = , тогда или 2 2 2 2 2 2 b x a y a b + = 2 2 2 2 1 x y a b + = . Полученное уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки , , , A B C D - вершины эллипса; точки ( ) 1 ,0 F c + , ( ) 2 ,0 F c − - фокусы эллипса; - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле: 2c 2 2 c a b = − ; 2 AB a = и CD - большая и малая оси эллипса; 2b = и b - большая и малая полуоси эллипса; a 1 c e , ( e a = < )- эксцентриситет эллипса, который вычисляется по фор- муле: 2 2 1 b e a = − Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси. Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние a / e, называются директри- сами эллипса. Уравнения правой и левой директрис эллипса имеют вид: a x e = ± . Отметим, что a a e > , так как для эллипса 1 e < Фокальный параметр 2 b p a = - это половина хорды, проведённой через фо- кус параллельно малой оси. Аналитическая геометрия на плоскости 73 6.3.2. Окружность О Окружность представляет собой геометриче- ское место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности. Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a = b = R: x 2 + y 2 = R 2 6.3.3. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место всех точек ( ) , M x y , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек ( ) 1 ,0 F c + и (называемых |