Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
вектор , удовлетворяющий следующим трем требова- ниям: , c a b a b a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = × = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b × 1). Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е. c a b ( ) , s c a b a b a ⎡ ⎤ = = ⋅ ⋅ ⎣ ⎦ in ,b . 2). Вектор ортогонален к каждому из векторов c a и b , т.е. перпенди- кулярен плоскости, в которой лежат векторы c a и b . 3). Вектор c направлен так, что тройка a b c является правой. Алгебраические свойства векторного произведения: 1˚. Антиперестановочность сомножителей: , , a b b a ⎡ ⎤ ⎡ = − ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 2˚. Сочетательное свойство: , , a b a b α α ⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 3˚. Распределительное свойство: [ ] , , , a b c a c b c ⎡ ⎤ ⎡ + = + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 4˚. [ ] , a a = 0 для любого вектора a . Геометрические свойства векторного произведения векторов: Модуль вектора равен площади параллелограмма, построен- ного на векторах и b . , a b ⎡⎣ ⎤⎦ пар S a Т Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна | | | | | | | || | sin( , ) пар S AD BE b h b a a ∧ = ⋅ = ⋅ = b . Лекция 4 50 Т Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство: Необходимость. Пусть и b a коллинеарны. Тогда ( ) [ , ] | | | | sin , 0 [ , ] 0 a b a b a b a b = ⋅ ⋅ = ⇒ = . Достаточность. Пусть ( ) [ , ] 0 [ , ] 0 | | | | sin , 0 a b a b a b a b = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = . Тогда существуют три возможности: 1) либо ( ) sin , 0 a b = , 2) либо 0 a = , 3) либо b 0 = 1) ( ) ( ) sin , 0 , 0 a b a b = ⇒ = , a коллинеарен b ; 2) и 3) a коллинеарен b по определению. Т Выражение векторного произведения через координаты сомножите- лей. Если два вектора и b a заданы своими декартовыми координатами { } 1 1 1 , , a x y z = , { } 2 2 2 , , b x y z = , то их векторное произведение имеет вид: { } 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , c a b y z z y z x x z x y y x ⎡ ⎤ = = − − − ⎣ ⎦ , или в виде символического определителя (более удобном для запомина- ния): 1 1 1 2 2 2 , i j k c a b x y z x y z ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ Доказательство: Тройка { } , , i j k - правая. Преобразуем: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 c a b x i y j z k x i y j z k ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × = + + × + + ⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ 1 2 1 2 1 2 x x i i x y i j x z i k ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × + × + × ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + ⎣ ⎦ 1 2 1 2 1 2 y x j i y y j j y z j k ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + × + × + × + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 1 2 1 2 z x k i z y k j z z k k ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ + × + × + × ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ Векторная алгебра 51 Заметим, что 0, , i i j j k k i j j i k ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ × = × = × = × = − × = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , i k k i j j k k j i ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ × = − × = − × = − × = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ С учетом этих равенств выражение для c можно представить в виде: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ) ) ( a b y z z y i x z z x j x y y x k ⎡ ⎤ = − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ ⎣ ⎦ , что можно выразить через определители: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , i j k y z x z x y a b i j k x y z y z x z x y x y z ⎡ ⎤ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⎣ ⎦ Если два вектора ( ) 1 1 1 , , a x y z = и ( ) 2 2 2 , , b x y z = коллинеарны, то их ко- ординаты пропорциональны, то есть 1 1 2 2 1 2 x y z x y z = = С 4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей Если вектор умножить векторно на вектор a b , а результат ска- лярно умножить на вектор , a b ⎡⎣ ⎤⎦ c , то полученное число называется смешан- ным произведением векторов a , b , c : ( ) , , a b c a b c ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ О Смешанное произведение некомпланарных векторов a , , по абсо- лютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу. Оно положительно, если тройк , b , правая и отрицательно, если она левая. Если же векторы , b b c а a a c , c компланарны, то равно нулю. a b c Т Доказательство: Объем параллелепипеда равен произведе- нию площади основания на высоту. θ a c b 0 , осн S b ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ c ; cos h a θ = ⋅ ; , cos осн V S h b c a θ ⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎣ ⎦ ( ) , , a b c a b c ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ Лекция 4 52 Знак смешанного произведения зависит от знака cos θ : , если вектор направлен в ту же сторону, от плоскости, определяемой векто- рами и , что и вектор 0 a b c > a b c , b c ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , т.е. когда тройка векторов правая; ана- логично доказывается, что 0 a b c < для левой тройки. ! Если же векторы , и a b c компланарны, то вектор c лежит в плоскости, определенной векторами a и b , следовательно, e пр c = 0 ⇒ ( ) [ , ], 0 a b c = 1. ( ) ( ) ( ) [ , ], [ , ], [ , ], a b c b c a c a b = = , поскольку тройки и a b c b c a , c a b имеют одинаковую ориентацию (циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет его знака). С Нециклическая перестановка векторов в смешанном произведении приводит к изменению ориентации и смене знака сме- шанного произведения: тройки векторов b a c a c b c b a a b c = = = − . Это означает, что смешанное произведение можно записывать просто в виде , так как a b c ( ) ( ) ( ) [ , ], [ , ], , [ , ] a b c b c a a b c = = (смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связа- ны первичным знаком векторного произведения). 2. Критерий компланарности трех векторов. Необходимым и достаточ- ным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство: Если , cos a b c a b c θ ⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ = ⎣ ⎦ 0 , то должно выполняться хотя бы одно из условий: 1) 0 a = => векторы компланарны; 2) , b c ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 0 , если и b c коллинеарны, => a , b , c - компланарны; 3) cos 0 θ = , тогда , a b c ⎡ ⎤ ⊥ ⎣ ⎦ , т.е. a компланарен b и c Обратно, если , b , - компланарны и не имеют место случаи 1) и 2), то имеет место случай 3). a c Векторная алгебра 53 a b c Выражение смешанного произведения через декартовы координаты сомножителей Если три вектора , и заданы своими декартовыми координатами 1 1 1 a x i y j z k = + + , , 2 2 2 b x i j z k = + + y 3 3 3 c x i y j z k = + + , то смешанное произведение a b c равняется определителю, строки которого соответ- ственно равны координатам перемножаемых векторов: Т 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x y z a b c x y z x y z = Доказательство: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 , i j k y z x z x y b c x y z i j k y z x z x y x y z ⎡ ⎤ = = − + ⎣ ⎦ 2 3 , ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 , , 1 2 3 x y z y z x z x y a b c x y z x y z y z x z x y x y z ⎡ ⎤ = − + = ⎣ ⎦ С Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты перво- го вектора, во второй - второго, в третьей - третьего. В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: различия между скалярными и векторными величинами; определения и свойства линейных операций над векторами (сложение и умножение на число); понятие базиса и координат вектора в данном базисе; определения скалярного, векторного и смешанного произведений; алгебраические и геометрические свойства произведений векторов; выражение произведений векторов через координаты сомножителей; что вычисляется с помощью произведений векторов: скалярного (число) – длины векторов, углы, проекции, векторного (вектор) – площади треугольников и параллелограммов, смешанного (число) – объемы. Лекция 5 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Предметом изучения аналитической геометрии является описание геометрических объектов на плоскости и в пространстве с помощью уравнений. Методы аналитической геометрии широко используются в современном естествознании и прикладных техниче- ских дисциплинах при построении математических моделей объектов и процессов. В лек- ции 5 рассматриваются наиболее простые объекты, описываемые уравнениями первой степени – плоскости и прямые. Приводятся различные виды уравнений плоскостей и пря- мых в пространстве, показывается, для какого типа задач тот или иной тип более уместен. Примеры иллюстрируют методы решения типичных задач. 5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности 5.1.2. Уравнения линии 5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. 5.2.2. Неполные уравнения плоскостей 5.2.3. Уравнения плоскости «в отрезках» 5.2.4. Нормальное уравнение плоскости 5.2.5. Расстояние от точки до плоскости 5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 5.2.7. Угол между двумя плоскостями 5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей 5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой 5.3.2. Параметрические уравнения прямой 5.3.3. Канонические уравнения прямой 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки 5.3.5. Общие уравнения прямой 5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости 5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве 55 5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности Аналитическая геометрия ставит своей задачей изучение геометриче- ских объектов с помощью аналитического метода. Геометрические объек- ты: точка, линия, поверхность. Точка. Задается аналитически совокуп- ностью чисел: одного - для точки на прямой; двух - для точки на плоскости; трех - для точ- ки в пространстве. Эти числа называются ко- ординатами. Введем в пространстве декартову прямо- угольную систему коорд нат т.е. зададим на- чало координат 0, базис и , i j k , оси Ox, Oy, Oz. О Декартовыми координатами точки М называются декартовы коорди- наты ее радиус–вектора { } , , OM x y z = Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями, связы- вающими координаты точек, принадлежащих данному объекту. Эти уравнения реализуют условия принадлежности точки данному геомет- рическому объекту. Пусть задано уравнение: F (x, y, z) = 0 (*) и поверхность S. Поверхность S - есть геометрическое место точек, определяемое уравнением (*), если координаты точек поверхности S удовлетворяют уравнению (*), а коор- динаты любой точки, не лежащей на ней, - не удовлетворяют. О Поверхность, определяемая в декартовой системе координат алгебраиче- ским уравнением n–й степени, называется алгебраической поверхно- стью n–го порядка. 5.1.2. Уравнения линии В аналитической геометрии каждая линия в пространстве рассматрива- ется как пересечение двух поверхностей и определяется заданием двух урав- нений. Если F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 являются уравнениями двух поверхностей S 1 и S 2 , пересекающихся по линии L , то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют систе- ме уравнений: ( , , ) 0, : ( , , ) 0. F x y z L x y z Φ = ⎧ ⎨ = ⎩ Лекция 5 56 5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости Т В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плос- кость. Возьмем на плоскости P произвольную точку 0 0 0 0 ( , , ) M x y z . Выбе- рем вектор { , , } n A B C = , перпендикулярный плоскости (нормальный вектор). Пусть ( ) , , M x y z – произвольная точка плоскости . Точка P M принадлежит плоскости (записывается: P ( ) , , M x y z P ∈ ) тогда и только тогда, если 0 M M ⊥ n 0 => 0 ( ) M M n ⋅ = . Так как 0 0 0 { , , }, { , , }, n A B C M M x x y y z z = = − − 0 − то скалярное произведение 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( n M M A x x B y y C z z ⋅ = − + − + − 0 ) . Уравнение плоскости, проходящей через точку 0 0 0 0 ( , , ) M x y z с нормаль- ным вектором , имеет вид: { , , } n A B C = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) A x x B y y C z z − + − + − = 0 0 Раскрывая скобки и обозначая через 0 0 D Ax By Cz = − − − , получим уравнение первой степени (так называемое об- щее уравнение плоскости): Ax By + + 0 Cz D + = Составим, например, уравнение плоскости, про- ходящей через точку (1,1,1) M перпендикулярно к вектору {2,2,3} n = Искомое уравнение примет вид: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 x y z − + − + − = 0 0 , 2 2 3 7 x y z + + − = Если два уравнения 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = и 2 2 2 2 0 B y C z D A x + + + = оп- ределяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональ- ны: |