Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
 Скачать 9.25 Mb.
|
|
линейно зависимой, если существуют действительные числа 1 2 , , ..., n a a a 1 2 , , ..., n α α α , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство: О 1 1 2 2 0 n n a a a α α α + + + = . (*) В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех 0, 1, ..., i i n α = = , то система векторов называется линейно незави- симой. ! Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде ли- нейной комбинации остальных. Например, если 0 n α ≠ , то из (*) следует, что 1 1 1 2 2 1 1 1 n n n n i i i a a a a a β β β β − − − = = + + + = ∑ 1 1 1 1 , ..., n n n n α α β β α α − − = − = − , где Векторная алгебра 43 Геометрические критерии линейной зависимости 2 Система двух ненулевых векторов 1 , a a линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны. Т Доказательство: Необходимость. Пусть 1 1 2 2 0 a a α α + = и 1 0 α ≠ . Тогда 2 1 1 2 2 1 2 1 , a a a a α α α α = − = − ; или 1 a a 2 λ = , где 2 1 α λ α = − Достаточность. Пусть 1 a a 2 λ = . Запишем это равенство в виде или , где 1 2 0 a a λ − = 1 1 2 2 0 a a α α + = 1 1 α = , 2 0 α λ = − ≠ . Итак, существует нулевая линейная комби- нация с ненулевыми коэффициентами, а это и означает, что система векторов линей- но зависима. Система трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда век- торы компланарны. 1 2 3 , , a a a Т Система четырех векторов всегда линейно зависима, т.е. для любых найдутся такие числа 1 a a 2 3 4 , , , a a 1 2 3 4 , , , α α α α , не равные одновременно нулю, что 1 1 2 2 3 3 4 4 0 a a a a α α α α + + + = Т 4.4. Базис и координаты О Базисом в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. О Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. О Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой пря- мой. Т Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно. d может быть d a b c Иначе, если , , – три некомпланар- ных вектора в пространстве, то любой вектор записан в виде: a b c α β γ = + + Доказательство возможности: Пусть { } , , a b c - некоторый базис в простран- стве, - произвольный вектор. Тогда d 0 a b c α β γ + + = только при 0 α β γ = = = . 1 2 3 4 0 a b c d α α α α + + + = , при этом 4 0 α ≠ , так как если Лекция 4 44 4 0 α = , то 1 2 3 0 a b c α α α + + = , а этого быть не может, т.к. { } , , a b c - ба- зис. Тогда 4 1 2 3 c d a b α α α α = − − − , 1 2 3 4 4 4 d a b c α α α α α α = − − − d a b c α β γ = + + , Доказательство единственности: Предположим, что существуют два разложения вектора по базису d { } , , a b c , то есть 1 1 1 d a b c α β γ = + + 2 2 2 d a b c α β γ = + + ; . Вычтем из од- ного равенства другое: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 a b α α β β γ γ c − + − + − = . Так как { } , , a b c - базис, ни один из векторов { } , , a b c не может быть выражен через другие при ненулевых коэффициентах, поэтому 1 2 α α = , 1 2 1 , 2 β β γ γ = = Геометрически вектор представляет собой пространственную диаго- наль параллелепипеда, построенного на векторах d a , b и . с ! О Коэффициенты разложения вектора по базису называются координата- ми вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются одно- значно: { } = , , d a b c α β γ α β γ = + + При сложении двух векторов 1 d и 2 d их координаты (относительно лю- бого базиса) складываются. При умножении вектора на любое число 1 d α все его координаты умножаются на это число. Т Доказательство: Пусть 1 1 1 1 d a b c α β γ = + + 2 2 2 2 d a b c α β γ = + + ) , . Тогда в силу свойств 1˚-7˚ линейных операций над векторами 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( d d a b c α α β β γ γ + = + + + + + , 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d a b c λ λα λβ λγ = + + В силу единственности разложения вектора по базису теорема доказана. О Системой координат в пространстве называют совокупность базиса { } , , a b c и некоторой точки, называемой началом координат. Вектор , идущий из начала координат в точку OM M , называется ради- ус-вектором точки M . О Координатами точки ( ) , , M α β γ называются координаты вектора OM О Таким образом, координаты радиус-вектора OM и координаты точки M совпадают. Векторная алгебра 45 4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных векто- ра с длинами, равными единице. Обозначения: { } i, j,k , 1 i = j = k = О Такой базис называетс ортонормированным (ОНБ). Векторы называются базисны- ми ортами. Зафиксируем точку О – начало ко- ординат и отложим от нее векторы я k , , i j , , i j k Z X Y z x y k j i M 0 . По- лученная система координат называется пря- моугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора: { } , , a x y z x i y j z = = ⋅ + ⋅ + k ⋅ О Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: – порождает ; i Ox j – порождает Oy ; k – порождает Oz . Координаты точки М (вектора ) в декартовой системе координат по осям , , называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. OM Ox Oy Oz Декартовы прямоугольные координаты , , x y z вектора a равны проекци- ям этого вектора на оси Ox , Oy , соответственно; другими словами, Oz np cos OX x a a α = = , np cos OY y a a β = = , np cos OZ z a a γ = = Здесь , , α β γ – углы, которые составляет вектор a с координатными осями , , соответственно, при этом Ox Oy Oz cos α , cos β , cos γ называ- ются направляющими косинусами вектора a . Вектор { 0 cos , cos , cos a a a } α β γ = = представляет собой вектор единич- ной длины данного направления, или орт данного направления. Для на- правляющих косинусов справедливо соотношение: 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + = . Лекция 4 46 4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей ( b a Углом между векторами и (обозначается ) , a b ) называется наи- меньший угол, на который надо повернуть вектор О a до совмещения с вектором b Проекцией вектора на ось l, a пр l a О , называ- ется величина А`В` направленного отрезка A`B` оси l. ( ) 0 пр cos cos , l a a a a l ϕ = = , где 0 l - орт оси l. О Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ( ) ( ) ( ) , c a b a b a b a b a b ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ os , Если один из векторов , a b нулевой, то ( ) 0 a b ⋅ = ! Алгебраические свойства скалярного произведения: 1˚. Переместительное свойство: ( ) ( ) a b b a ⋅ = ⋅ 2˚. Сочетательное свойство: ( ) ( ) ( ) a b a b a b λ λ λ ⋅ = ⋅ = ⋅ 3˚. Распределительное свойство: ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a c b c + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a c ⋅ + = ⋅ + ⋅ 4˚. ( ) , a a > 0 ≠ , если a , и 0 ( ) , a a 0 = , если 0 a = ! Доказательства свойств следуют из определения. Геометрические приложения скалярного произведения: 1. Связь с понятием модуля: ( ) 2 2 o , | | | | cos , cos0 a a a a a a a a ∧ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ( ) , a a a = 2. Косинус угла между векторами: ( ) ( ) , cos , a b a b a b = ⋅ 3. Связь с понятием проекции. Векторная алгебра 47 Проекция пр вектора на вектор b b a a : = пр b a a ( ) ( ) ( ) , , cos , a b a b a b a a b b = ⋅ = ⋅ , т.е. ( ) , пр b a b a b = Аналогично: ( ) , пр a a b b a = 4. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендику- лярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скаляр- ного произведения: : a b ⊥ ( ) , ( , 2 a b a b) 0 π = ⇔ = . Выражение скалярного произведения векторов через декартовы координаты сомножителей Если два вектора и заданы своими декартовыми прямоугольными координатами a b { } 1 1 1 , , a x y Т z = , { } 2 2 2 , , b x y z = , то скалярное произведе- ние этих векторов равно сумме парных произведений их соответствую- щих координат, т.е. ( ) 1 2 1 2 1 2 , a b x x y y z z = + + Доказательство: 1 1 1 a x i y j z k = + + , b x 2 2 2 i y j z k = + + В силу свойств 2 и 3 имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , a b x i y j z k x i y j z k = + + + + = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , , x x i i x y i j x z i k = + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , y x j i y y j j y z j k + + + , + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , , . z x k i z y k j z z k k + + + Так как i j , i k ⊥ ⊥ , j k ⊥ , то o ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 cos90 0 i j i k j i j k k i k j = = = = = = ⋅ ⋅ = 2 = Но , аналогично ( 2 ( , ) | | cos( , ) | | 1 i i i i i i = = , ) 1 j j = , ( , ) 1 k k = . Таким образом, ( ) 1 2 1 2 1 2 , a b x x y y z z = + + 1. Длина вектора: { } , , a x y z = , ( ) 2 2 , a a a x y 2 z = = + + С 2. Расстояние между двумя точками: Если ( ) 1 1 1 , , A x y z = , ( ) 2 2 2 , , B x y z = – точки, Лекция 4 48 то 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 AB AB x x y y z z ρ = = − + − + − 3. Угол между векторами: Если ( ) 1 1 1 , , a x y z = , ( ) 2 2 2 , , b x y z = , то ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 , cos , a b x x y y z z a b a b 2 2 x y z x y z + + = = ⋅ + + ⋅ + + 4. Проекция пр вектора b a a на вектор b ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , пр b a b x x y y z z a b x y z + + = = + + 5. Направляющие косинусы вектора: 2 2 cos cos , x a i 2 x y z α ∧ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + , 2 2 cos cos , y a j 2 x y z β ∧ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + , 2 2 cos cos , z a k 2 x y z γ ∧ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + ; cos 2 α + cos 2 β + cos 2 = 1 γ 4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 1 a , , , приведен- ных к одному началу, называется правой, если из конца третьего векто- ра кратчайший поворот первого вектора 2 a 3 a 3 a 1 a ко второму виден со- вершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка назы- вается левой. 2 a правая левая 1 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a О Векторная алгебра 49 О Система координат называется правой, если ее базисные векторы обра- зуют правую тройку. В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы коорди- нат. При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется. Если тройки a b c , b c a , c a b - правые, то , a c b c b a , - левые. При круговой ( циклической) перестановке векторов ори- ентация тройки не меняется. b a c b a О Векторным произведением вектора на вектор называется |