Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 23 из 47

Пример:
Функция
( )
3
f x
x
=
возрастает на отрезке
[
]
1,1
−
, однако ее производная
( )
2
'
3
f x
x
=
обращается в нуль в точке
0
x
=
Рассмотрим возрастание или убывание функции в точке.

Исследование функций и построение графиков
183
Функция
( )
f x называется возрастающей в точке
0
x x
= , если сущест- вует такая окрестность
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
точки
0
x , в которой для всех
0
x x
< имеем
( )
( )
0
f x
f x
<
, а для всех
0
x x
> верно
( )
( )
0
f x
f x
>
Функция
( )
f x называется убывающей в точке
0
x x
= , если существует такая окрестность
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
точки
0
x , в которой для всех
0
x x
< имеем
( )
( )
0
f x
f x
>
, а для всех
0
x x
> верно
( )
( )
0
f x
f x
<
Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке.
Пусть функция
( )
f x в точке
0
x x
= имеет производную
( )
'
f x . Если
( )
0
'
0
f x
> , то функция
( )
f x в точке
0
x
возрастает; если
( )
0
'
0
f x
< , то
( )
f x
0
в точке x убывает.
Доказательство:
( )
0
'
0
f x
>
Пусть
. Это означает, что
(
)
( )
0 0
0
lim
0
x
f x
x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
>
∆
0
δ
>
Но тогда существует такое
, что для всех
x
∆
, удовлетворяющих усло- вию 0
x
δ
< ∆ < , верно неравенство
(
)
( )
0 0
0
f x
x
f x
x
+ ∆ −
>
∆
0
x
δ
< ∆ <
Отсюда следует, что при величины
(
)
(
0 0
)
f x
x
f x
+ ∆ −
и
x
∆
имеют один и тот же знак: если
x
∆
<0, то и
(
)
( )
0 0
f x
x
f x
+ ∆ −
<0, т.е.
(
)
( )
0 0
f x
x
f x
+ ∆ <
; если же
x
∆
>0, то и
(
)
( )
0 0
f x
x
f x
+ ∆ −
>0, т.е.
(
)
( )
0 0
f x
x
f x
+ ∆ >
. Согласно определению, это и означает, что функция
( )
f x
0
в точке
x
возрастает.
Аналогично можно доказать, что если
( )
0
'
f x
0
< , то функция
( )
f x в точке
0
x убывает.
Т
О

Лекции 1 - 2
184
Теорема дает достаточные, но не необходимые условия возрастания и убывания функции в точке. Так, функция, гра- фик которой приведен на рисунке, возрастает в точке
0
x
=
, но в этой точке производная функ-
!
ции не существует.
( )
3
f x
x
=
Функция возрастает в точке
0
x
=
, но ее производная
( )
'
f x в точке
0
x
=
обращается в нуль.
1.2.2. Локальный экстремум функции
Пусть функция
( )
f x определена в некото- рой окрестности точки
О
0
x , включая и саму точку
0
x . Точка
0
x называется
точкой ло-
кального максимума (минимума) функ- ции
( )
f x , если существует такое
0
δ
>
, что для всех
x
из интервала
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
верно неравенство:
( )
( )
0 0
f
f x
f x
∆ =
−
≤ (
( )
( )
0 0
f
f x
f x
∆ =
−
≥ ).
Значение функции
( )
f x в точке максимума называется локальным
максимумом, а значение функции в точке минимума - локальным ми-
нимумом данной функции.
О
Локальные максимум и минимум называются
локальными экстрему-
мами.
Эти определения означают, что
( )
0
f x - ло- кальный максимум функции
( )
f x , если суще- ствует такой интервал
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
, в котором
( )
0
f x является наибольшим значением функ- ции
( )
f x , и
( )
0
f x - локальный минимум функ- ции
( )
f x , если существует интервал
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
, в котором
( )
0
f x является наи- меньшим значением функции на этом интерва- ле.
Термин
локальный(местный) обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» бу-

Исследование функций и построение графиков
185
дем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума.
Точка
0
x называется точкой строгого максимума (минимума) функции
О
( )
f x , если существует
0
δ
>
такое, что для всех
x
, удовлетворяющих условию
0 0
x x
δ
< −
< , верно строгое неравенство
( )
( )
0 0
f x
−
<
f x
(со- ответственно
( )
( )
0 0
f x
f x
−
> ). В приведенном определении не предпо- лагается непрерывности функции
( )
f x в точке
0
x
Пример:
2
,
0 1,
0,
x
x
y
x
⎧
≠
= ⎨
=
⎩
,
В точке 0 - максимум, хотя в ней нет не- прерывности функции.
1.2.3. Необходимые условия экстремума
Функция
( )
f x может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная
( )
'
f x либо равна нулю, либо не существует.
Т
Доказательство:
Пусть в точке
0
x функция
( )
f x имеет производную и
( )
0
'
0
f x
≠ . Пусть для оп- ределенности
( )
0
'
f x
> 0. Тогда функция
( )
f x
0
в точке x будет возрастающей. По- этому найдется такое
0
δ
>
, что для всех
x
из интервала
(
)
0
,
0
x
x
δ
−
верно нера- венство
( )
( )
0
f x
f x
<
, а для всех
x
из ин- тервала
(
)
0 0
,
x x
δ
+
верно неравенство
( )
( )
0
f x
f x
>
0
x
Из этого следует, что не существует окрестности точки , в которой ве- личина
( )
0
f x была бы наибольшим или наименьшим значением функ- ции
( )
f x , и поэтому точка
0
x
не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции
( )
f x . Аналогичными рассуждениями придем к то- му же выводу при
( )
0
'
0
f x
< .

Лекции 1 - 2
186
Итак, если в точке
0
x существует произ- водная
( )
0
'
f x
≠ 0 0
, то в точке x не может быть ни максимума, ни минимума функции
( )
f x .
Следовательно, экстремум функции
( )
f x мо- жет быть только в такой точке, в которой про- изводная
( )
'
f x либо равна нулю, либо не су- ществует, что показано на рисунке.
Функция имеет экстремумы в точках
( )
y
f x
=
1 2
3 4
, , ,
x x x x ; при этом в точках
1
x и
4
x производная
( )
'
f x не существует, а в точках
2
x и
3
x она равна нулю.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции
( )
f x , называются критическими точками этой функции.
Они определяются как корни уравнения
( )
'
f x
0
= и как точки, где
О
( )
'
f x не существует (в частности, где
( )
'
f x - бесконечно большая функция).
Корни уравнения
( )
'
f x
0
= называют стационарными точками функ- ции
( )
f x : скорость изменения
( )
f x в такой точке равна нулю.
Утверждение, обратное к теореме, неверно: не в каждой своей критической точке функция
( )
f x обязательно имеет максимум или минимум.
Например, для функции
( )
3
f x
x
=
( )
' 0 0
f
= , поэтому точка
0
x
=
явля- ется критической для данной функции. Но функция
( )
3
f x
x
= в точке
0
x
=
экстремума не имеет:
( )
0
f
= 0 , для
0
x
<
( )
0
f x
< , для
0
x
>
( )
0
f x
> , так что в точке
0
x
=
данная функция возрастает. Для функции
1
sin
,
0,
( )
0,
0
x
x
f x
x
x
⎧
⎫
⎛ ⎞
≠
⎪
⎪
⎜ ⎟
=
⎝ ⎠
⎨
⎬
⎪
⎪
=
⎩
⎭
0
x
=
в точке производная не существует, однако экстремум отсутствует.
1.2.4. Достаточные условия экстремума
Пусть
0
x x
= – критическая точка для функции
( )
f x и функция
( )
f x
Т
непрерывна в точке
0
x .
Пусть существует такое
0
δ
>
, что для всех
x
из интервала
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
производная
( )
'
f x
> 0, а для всех
x
из интервала
(
)
0 0
,
x x
δ
+
( )
'
0
f x
< , то есть при переходе
x
через точку производная
( )
0
x
'
f x меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке функция
( )
f x имеет максимум.
0
x

Исследование функций и построение графиков
187
Доказательство:
Так как по условию
( )
'
f x
> 0 в интервале
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
, то на отрезке
[
]
0 0
,
x
x
δ
−
функция
( )
f x возрастает; так как
( )
'
f x
0
< в интервале
, то на отрезке
[
]
0 0
,
x x
δ
+
функция
(
)
0 0
,
x x
δ
+
( )
f x убывает. Следовательно,
( )
0
f x есть наи- большее значение функции
( )
f x в окрестности
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
точки
0
x
, а это означает, что
( )
0
f x есть локальный максимум функции
( )
f x .
Пусть
0
x x
= – критическая точка для функции
( )
f x и функция
( )
f x
Т
непрерывна в точке
0
x .
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
Пусть существует такое
0
δ
>
, что для всех
x
из интервала производная
( )
'
f x
< 0, а для всех
x
из интервала
(
)
0 0
x x
,
δ
+
имеем
( )
'
0
f x
> , то есть при переходе
x
через точку
0
x производная
( )
'
f x ме- няет знак с минуса на плюс. Тогда в точке
0
x
функция
( )
f x имеет ми- нимум.
1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции
Чтобы найти точки максимума и минимума функции
( )
f x , надо:
1).
Найти производную
( )
'
f x , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение
( )
'
0
f x
= .
2).
Найти точки, в которых производная
( )
'
f x не существует. Эти точки и корни уравнения будут критическими точками для функции
( )
'
f x
= 0
( )
f x .
3).
Исследовать знак производной
( )
'
f x слева и справа от каждой критиче- ской точки. Если при переходе
x
через критическую точку
0
x
произ- водная
( )
'
f x меняет знак с плюса на минус, то в точке
0
x функция
( )
f x имеет максимум; если знак
( )
'
f x меняется с минуса на плюс, то в точке
0
x функция
( )
f x имеет минимум. Если при переходе
x
через критическую точку знак
( )
'
f x не меняется, в точке
0
x
0
x функция
( )
f x не имеет ни максимума, ни минимума.

Лекции 1 - 2
188
(
)
0
f x
x
′
− ∆
( )
0
f
x
′
(
)
0
f x
x
′
+ ∆
Экстремум
0
>
0,
,
± ∞ ∃
0
>
нет
0
>
0,
,
± ∞ ∃
0
<
max
0
<
0,
,
± ∞ ∃
0
>
min
0
<
0,
,
± ∞ ∃
0
<
нет
2.1. Исследование функций с помощью второй производной
2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум
с помощью второй производной
Пусть в точке
0
x функция
( )
f x имеет первую и вторую производные, причем
( )
0
'
0
f x
= , а
( )
0
''
0
f
x
≠ . Тогда в точке
Т
( )
f x
0
x данная функция имеет максимум, если
( )
0
''
0
f
x
< , и минимум, если
( )
0
''
0
f
x
> .
Доказательство:
Точка
0
x
является критической точкой для данной функции
( )
f x , так как
( )
0
'
f x
= 0. Пусть
( )
0
''
0
f
x
< . Из этого следует, что в точке
0
x первая производная
( )
'
f x убывает, то есть существует такая окрестность
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
0
точки x , что для всех
x
из интервала
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
верно неравенство
, а для всех
( )
( )
0
'
'
0
f x
f x
>
=
x
из интервала
(
)
0 0
,
x x
δ
+
верно
( )
( )
0
'
'
f x
f x
<
= 0
Таким образом, при переходе
x
через критическую точку
0
x производ- ная
( )
'
f x меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, функция
( )
f x
0
в точке x имеет максимум.
Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке
0
x вторая производная
( )
0
''
0
f
x
> , то функция
( )
f x в точке
0
x имеет минимум.
( )
0
f x
′
( )
0
f x
′′
Экстремум
0 0
<
max
0 0
>
min
0 0

Исследование функций и построение графиков
189
2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
Пусть кривая задана уравнением
( )
y
f x
=
и пусть функция
( )
f x в точке
0
x имеет ко- нечную производную
( )
0
'
f x , то есть в точке
( )
(
)
0 0
0
,
M x f x
существует касательная к дан- ной кривой, не параллельная оси
Oy
Если существует такая окрестность
О
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
точки
0
x
, что все точки данной кривой, абсциссы которых содер- жатся в этой окрестности, расположены выше касательной к кривой в точке
0
M , то говорят, что
выпуклость данной кри- вой в точке
0
M
направлена вниз.
Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки
0
x находят- ся ниже касательной к этой кривой в точ- ке
0
M
, то говорят, что
выпуклость данной кривой в данной точке на-
правлена вверх.
Будем говорить, что график функции
( )
y
f x
=
О
, дифференцируемой на интервале
( )
,
a b , имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала
( )
,
a b ле- жит не выше ( не ниже) любой своей касательной. О графике, выпуклом вверх, часто говорят как о просто
выпуклом, график, выпуклый вниз, называется
вогнутым.
Если во всех точках интервала
( )
a;b функция
( )
f x имеет отрицатель- ную вторую производную (
( ) ( )
;
''
x
a b f
x
0
∀ ∈
< ), то график функции в этом интервале
выпуклый вверх. Если
( ) ( )
;
''
0
x
a b f
x
∀ ∈
> - график
выпуклый вниз.
Т
Точка
( )
(
)
0 0
0
,
М x f x
называется
точкой
перегиба кривой
, если:
( )
y
f x
=
О
1) в точке
0
x
существует касательная;
2) существует такая окрестность
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
точки
0
x
0
x x
<
, что для из

Лекции 1 - 2
190
этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при
0
x x
> - в противоположную.
Точка
( )
(
)
0 0
0
,
М x f x
может быть точкой перегиба кривой
( )
y
f x
=
Т
, только если
( )
0
''
0
f
x
= (или
( )
0
''
f
x не существует).
Это условие не является достаточным. Так, например, для функции
( )
4
f x
x
=
имеем
( )
2
''
12
f
x
x
=
и
( )
'' 0 0
f
= , но точка не является
( )
0,0
O
точкой перегиба кривой
4
y x
= : в этой точке выпуклость кривой направ- лена вниз.
Пусть функция
( )
f x имеет вторую про- изводную в некоторой окрестности точки
Т
0
x
0
x
, непрерывную в точке
. Если
( )
0
''
0
f
x
= и при переходе
x
через точку
0
x вторая производная
( )
''
f
x меняет знак, то точка
( )
(
)
0 0
0
,
М x f x
есть точка перегиба кривой
( )
y
f x
=
Обобщение. Пусть кривая
( )
y
f x
=
имеет в точке
( )
(
)
0 0
0
,
М x f x
каса- тельную, параллельную оси
. Пусть функция
Oy
( )
f x в некоторой окрестно- сти точки
0
x
0
x
, кроме, быть может, самой точки
, имеет непрерывную вто- рую производную. Если
( )
''
f
x
в точке
0
x равна нулю или не существует и при переходе
x
через точку
0
x производная
( )
''
f
x меняет свой знак, то точ- ка
( )
(
)
0 0
0
,
М x f x
- точка перегиба кривой
( )
y
f x
=
(
)
0
f x
x
′′
− ∆
( )
f x
( )
0
f x
′′
(
)
0
f x
x
′′
+ ∆
( )
f x
Перегиб
0
>
вып. вниз
0,
∃
0
>
вып. вниз нет
0
>
вып. вниз
0,
∃
0
<
вып. вверх есть
0
<
вып. вверх
0,
∃
0
>
вып. вниз есть
0
<
вып. вверх
0,
∃
0
<
вып. вверх нет

Исследование функций и построение графиков
191
2.2. Общая схема исследования функции и построения графика
1.
Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.
2.
Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.
3.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие гори- зонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.
4.
Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.
5.
Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
6.
Построить график.
2.3. Примеры исследования функций
Пример:
Найти экстремумы функции
( )
2 2
3 3
f x
x
x
=
− .
Решение:
( )
3 1
2 2
f x
x
x
′
=
−
,
1 2
3 2
2 0
1,
x
x
x
x
1
−
= ⇒
= −
=
,
( )
3
не существует в точке х
0
f x
′
= .
х
(
)
; 1
−∞ −
-1
(
)
1;0
−
( )
0;1
( )
1;
∞
1 0
( )
f x
2 0
2
( )
f x
′
+ 0 –
∃
+ 0 – max min max
Вид графика функции
( )
2 2
3 3
f x
x
x
=
− :
-2
-1 1
2 0.5 1
1.5 2

Лекции 1 - 2
192
Пример:
Построить график функции
4
x
y
xe
−
=
Решение:
1).
(
)
x
- ,
∈ ∞ ∞ ,
0 0
0;
0
х
y
=
= - точка пересечения с осями.
2). Функция общего вида.
3). f(x) – непрерывна всюду вертикальных асимптот нет.
⇒
1 1
4 4
lim
0 lim
0
x
x
x
x
x
x
k
b
e x
e
→∞
→∞
=
=
=
=
,
1 0
y
=
- наклонная (горизонтальная) асимптота при
; х
→ ∞
2 4
k lim
x
x
x
e x
→−∞
=
= ∞ ⇒
наклонных асимптот при нет. х
-
→ ∞
4).
(
)
-4x
4 4
y e
4 1 4
x
x
xe
e
x
−
−
′ =
−
=
−
,
1 1
0 4
y
x
′ = ⇒
=
5).
-4x
4 4
4
y
-4e
4 16
(16 8)
x
x
x
e
xe
e
x
−
−
−
′′ =
−
+
=
− ,
0
y′′
=
⇒
2 1
x
2
=
х
1 4
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
;
−∞
1 1
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1 4
1 2
;
4 2 1
⎛
⎞
;
2
∞
⎜
⎟
⎝
⎠
у
1 4e
2 1
2e
y′
+ 0 – – –
y′′
– – – 0 +
∩
max
∩
перегиб
∪
Вид графика функции
4 x
y
xe
−
=
:
Пример:
Исследовать функцию
3 2
2 (
1)
x
y
x
=
⋅ +
и построить ее график.
Решение:
1). Функция определена всюду, кроме точки
1
x
= −
Найдём точки пересечения графика с координатными осями. Для этого решим уравнения
(
)
3 2
0 2
1
x
x
=
+
и
0
=
y
0 0
0;
0
х
y
=
= - точка пересече- ния с осями.
2). Функция общего вида.
3). Точка является точкой разрыва 2-го рода. Отсюда следует, что график функции имеет вертикальную асимптоту
1
x
= −
1
−
=
x
Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:
2 1
)
1
(
2
lim
)
(
lim
2 2
=
+
=
=
∞
→
∞
→
x
x
x
x
f
k
x
x
;

Исследование функций и построение графиков
193
1
)
1
(
2
lim
2 1
)
2 1
)
1
(
2
(
lim
2 2
2 3
−
=
+
−
−
=
−
+
=
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
b
x
x
1 2
1 −
= x
y
является наклонной асимптотой.
4). Находим производную:
3 2
)
1
(
2
)
3
(
+
+
=
′
x
x
x
y
Знак производной определяется знаком дроби
1 3
+
+
x
x
. Легко получить, что при
3
−
<
x
и
1
−
>
x
0
>
′
y
, а при
1 3
−
<
<
−
x
0
<
′
y
. Интервалы возрас- тания есть и
)
1
;
(
−
−∞
)
;
1
(
∞
−
; интервал убывания
)
1
;
3
(
−
−
. В области оп- ределения функции производная существует всюду и обращается в нуль при
3
−
=
x
и
0
=
x
При
3
−
<
x
, а при
0
>
′
y
3
−
>
x
0
<
′
y
. Следовательно, точка яв- ляется точкой максимума.
3
−
=
x
Находим значение функции при
3
−
=
x
:
3 3
27 3
3 375 8
8
(
)
y(
)
,
.
−
− =
= −
= −
При переходе через другую критическую точку
0
=
x
производная знак не меняет, т.е. не является точкой экстремума.
0
=
x
5). Находим вторую производную
4 3
1
x
y
( x
)
′′ =
+
. Видим, что при
, интервал является областью выпуклости.
, также при
- это тоже область выпуклости;
0
y′′
<
1
x
< −
1
(
;
−∞ − )
− <
0
y′′
<
1 0
x
<
0
y′′
>
при
- это об- ласть вогнутости.
0
x
>
В области определения функции
y ′′
существует всюду; при
0
=
′′
y
0
=
x
Так как при переходе через эту точку
y ′′
меняет знак, то есть абс- цисса точки перегиба. Находим
0
=
x
0
)
0
(
=
y
х
(
)
1; 0
−
0
(
)
0;
(
)
; 3
−∞ −
3
(
)
3; 1
− −
−
1
−
∞
у
27 8
−
0
∃
y′
+ 0 –
+ 0 +
∃
y′′
– – –
∃
- 0 +
∩
max
∩
∩
перегиб
∪

Лекции 1 - 2
194
График
3 2
2 (
1)
x
y
x
=
⋅ +
имеет вид:
Пример:
Исследовать функцию
3 2
1
x
y
x
=
−
и построить её график.
Решение:
1). Функция определена всюду, кроме точек
1
x
= ±
Точки пересечения графика с координатными осями:
3 2
0 1
x
x
=
−
⇒
0
x
=
;
- точка пересечения с осями.
0
=
y
2). Функция нечетная,
( )
( )
f
x
f
− = −
x , график симметричен относитель- но начала координат, достаточно исследовать функцию при
0
x
≥
3). Точка
1
x
=
является точкой разрыва 2-го рода, график функции имеет вертикальную асимптоту
1
x
=
,
( )
1 0
lim
x
f x
→ −
= −∞ ,
( )
1 0
lim
x
f x
→ +
= +∞ .
Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:
( )
2 2
lim lim
1 1
x
x
f x
x
k
x
x
→+∞
→+∞
=
=
=
−
;
3 2
2
lim lim
0 1
1
x
x
x
x
b
x
x
x
→+∞
→+∞
⎛
⎞
=
−
=
=
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
, т.е.
y x
=
яв- ляется правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя).
4). Находим производную:
(
)
(
)
2 2
2 2
3 1
x x
y
x
−
′ =
−
. Знак производной определя- ется знаком
. При
2 3
x
−
3
x
>
0
>
′
y
, а при
0 1
x
< <
и 1 3
x
< <
0
<
′
y
Интервал возрастания -
(
)
3;
∞ ; интервалы убывания -
(
и
)
0 1
;
( )
1 3
;
В области определения функции производная обращается в нуль при и
0
=
x
3
x
=
При
3
x
<
, а при
0
<
′
y
3
x
>
0
>
′
y
. Следовательно, точка
3
x
=
яв-

Исследование функций и построение графиков
195
ляется точкой минимума.
Находим значение функции при
3
x
=
:
( ) ( )
3 3
3 3 3
2 2
y
=
=
При переходе через критическую точку
0
=
x
производная знак не меня- ет, т.е. не является точкой экстремума.
0
=
x
5). Находим вторую производную
(
)
(
)
2 3
2 2
3 1
x x
y
x
+
′′ =
−
. Видим, что при
, на интервале
0
y′′
<
0 1
x
< <
( )
0 1
; график функции выпуклый вверх. При
3
x
>
- график функции выпуклый вниз.
0
y′′
>
В области определения функции
y ′′
существует всюду; при
0
=
′′
y
0
=
x
Так как при переходе через эту точку
y ′′
меняет знак, то есть абс- цисса точки перегиба.
0
=
x
Находим
0
)
0
(
=
y
х
0
(
)
3;
∞
( )
1; 3
( )
0;1 1
3
у
0 3 3 2
−
∃
y′
0
–
–
0
–
∃
y′′
0
–
∃
+ + + перегиб
∩
∪
∪
min
График
3 2
1
x
y
x
=
−
имеет вид:
Пример:

Лекции 1 - 2
196
Исследовать функцию
3 3
2 2
x
x
y
−
=
и построить её график.
Решение:
1). Функция определена при всех . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения
x
0
=
y
и
0 2
3 3
2
=
− x
x
; получаем, что ось пересекается в точке с
Oy
0
=
y
, а ось
- в точках и
Ox
0
=
x
2
=
x
2). Функция общего вида.
3). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот.
1 1
2
lim
2
lim
)
(
lim
3 3
3 2
−
=
−
=
−
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
x
x
x
x
x
x
f
k
x
x
x
,
3 2
3 3
2
lim
2
lim 1 1
x
x
b
(
x
x
x )
x(
)
x
→∞
→∞
=
−
+
=
+
−
=
2 3
3 2
1 2
2 2
1 1
3 1
0 2
lim lim
1 1
0 3
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
+
−
−
⎛ ⎞
=
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
= .
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0 0
Итак, у графика есть наклонная асимптота; еe уравнение
2 3
y
x
= − +
4). Находим производную:
2 3
4 3 3
(2
)
x
y
x
x
−
′ =
−
. Знак производной опреде- ляется знаком выражения
3 3
4
x
x
−
. Видим, что в области
, при
0
<
x
0
<
′
y
3 4
0
<
< x
и при
0
y′
>
3 4
>
x
0
<
′
y
Получаем, что в области
0
<
x
функция убывает, при
3 4
0
<
< x
- возрас- тает и при
3 4
>
x
- убывает.
Находим критические точки.
0
=
′
y
при
3 4
=
x
, не существует при
,
y′
0
=
x
2
x
=
При переходе через
0
=
x
знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума.
При производная не существует, значит, минимум острый.
0
=
x

Исследование функций и построение графиков
197
0
)
0
(
=
y
При переходе через вторую критическую точку
3 4
=
x
производная ме- няет знак с (+) на (-) , т.е. при
4 3
x
=
- максимум:
3 4
2 4
3 3
y ⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
При переходе через
2
x
=
знак производной не меняется, значит экстре- мума нет.
5). Находим вторую производную:
3 5
4 3
)
2
(
9 8
x
x
y
−
−
=
′′
Видим, что при
0
<
′′
y
0
<
x
; в этой области график выпуклый; при
0
<
′′
y
0 2
x
< <
, т.е. интервал также является областью выпуклости.
)
2
;
0
(
При
, следователь- но, при график вогнут.
2
>
x
0
>
′′
y
2
>
x
Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при
0
=
x
2
=
x
При переходе через первую точ- ку знак не меняется, а при переходе через вторую – меня- ется.
y ′′
2
Итак, точкой перегиба является точка с координатами
=
x
,
2 0
y( )
=
График
3 3
2 2
x
x
y
−
=
имеет вид:
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: точки разрыва, асимптоты графика, экстремумы функции, точки перегиба.
Студент должен уметь: применять общую схему исследования функции, строить графики сложных функций.

Лекции 3 - 4
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ
В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Комплексные числа – расширение множества действительных чисел, широко приме- няющееся в естественных и прикладных дисциплинах. Использование комплексных чисел позволяет наиболее естественным образом описать многие процессы, в частности, колеба- тельные. Изучение функций комплексного переменного привело к углублению и расши- рению знаний о функциях действительных переменных и породило множество мощных вычислительных методов.
3.1. Комплексные числа. Основные определения.
Алгебраическая форма комплексного числа
3.2. Изображение комплексного числа на плоскости.
Тригонометрическая форма комплексного числа
3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
3.4. Действия над комплексными числами
3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание
3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень
3.4.3. Комплексное сопряжение
3.4.4. Извлечение корня
3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента
4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена
4.2. Основная теорема алгебры
4.3. Примеры решения задач
4.4. Разложение рациональных дробей
4.5. Примеры решения задач
3.1. Комплексные числа. Основные определения.
Алгебраическая форма комплексного числа
О
Комплексным числом называют упорядоченную пару действительных чисел со следующими свойствами:
(
,
z
x y
=
)
1) два комплексных числа
(
)
1 1
1
,
z
x y
=
и
(
)
2 2
2
,
z
x y
=
равны тогда и толь- ко тогда, когда
1 2
x
x
= и
1 2
y
y
=
;
2) сумма двух комплексных чисел
(
)
1 1
1
,
z
x y
=
и
(
)
2 2
2
,
z
x y
=
определяет- ся следующим образом:
(
) (
) (
)
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
,
,
,
z
z
x y
x y
x
x
y
y
+
=
+
=
+
+

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области
199
3) произведение двух комплексных чисел
(
)
1 1
1
,
z
x y
=
и
(
)
2 2
2
,
z
x y
=
опреде- ляется следующим образом:
(
) (
) (
)
1 2
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
,
,
,
z z
x y
x y
x x
y y x y
x y
⋅ =
⋅
=
−
+
!
Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел, все они являются парами вида
( )
,0
x
. В дальнейшем будем обозначать
(
)
, 0
x
x
= .
Пары вида
( )
0, y называются чисто мнимыми числами.
О
Пара
( )
0,1
i
носит специальное название - мнимая единица. Согласно свойству 3)
=
(
)
1,0 1
i i
⋅ = −
= − .
О
Каждое комплексное число
( )
,
z
x y
=
можно записать в виде суммы действительного числа
( )
,0
x
x
=
и чисто мнимого числа
( )
0,
iy
:
С
y
=
( ) ( ) ( )
,
,0 0,
z
x y
x
y
x iy
=
=
+
= + .
Действительное число
Re
x
z
=
называется действительной