Лекции по математике. Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54

• Название: Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2 Екатеринбург 2005 удк 51075. 8 Ббк 22. 1я73 С54
• Анкор: Лекции по математике.pdf
• Дата: 16.05.2017
• Размер: 9.25 Mb.
• Имя файла: Лекции по математике.pdf
• Тип: Курс лекций; #7738
• страница: 27 из 47

219
5.1. Основные определения
Функция
( )
F x называется первообразной для функции
( )
f x на интер- вале
(
, если
)
,
a b
( )
F x дифференцируема на
(
)
,
a b и
( )
( )
F x
f x
′
=
О
Пример:
( )
( )
2
=2 , (- , )
F x
x
f x
x
=
∞ ∞
∞
,
( )
sin ( )=cos( ), (- , )
F x
x f x
x
=
∞
,
( )
1
( )=
2
F x
x
f x
x
=
=
,
(0, )
∞
Если
( )
1
F x и
( )
2
F x – две первообразные для функции
( )
f x на интерва- ле
(
)
,
a b , то они могут отличаться лишь на постоянную, т.е.
( )
( )
1 2
F x
F x
C
=
+ , где
C
– постоянная.
Т
Доказательство:
Положим
( )
( )
( )
1 2
x
F x
F x
Φ
=
−
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
0
x
F x
F x
f x
f x
Φ
′
′
′
=
−
=
−
= , следовательно, по теореме
Лагранжа
( )
x
C
Φ
= .
( )
(
)
( )
( )
( )
0
F x
C
F x
C
f x
f x
′
′
′
+
=
+
=
+ =
Если
( )
F x – одна из первообразных для функции
( )
f x , то любая ее первообразная имеет вид:
( )
( )
x
F x
C
+
Φ
=
, где
C
– постоянная.
C
Совокупность всех первообразных для функции
( )
f x на интервале
(
)
,
a b называется неопределенным интегралом от функции
( )
f x и обозначается символом
( )
d
f x x
∫
, где – знак интеграла,
∫
( )
f x – подын- тегральная функция,
( )
d
f x x – подынтегральное выражение.
О
Теорема об интегрируемости непрерывных и монотонных функций
Т
Если
( )
f x - непрерывна или кусочно-монотонна на
[ ]
a,b
, то она интег- рируема на
[ ]
a,b

Лекции 5 - 6
220
5.2. Свойства неопределенного интеграла
Из определения следует, что неопределенный интеграл обладает сле- дующими свойствами:
1)
( )
( )
dF x
f x dx
=
;
2)
;
( )
( )
dF x
F x
C
=
+
∫
3)
, где
C
– постоянная;
( )
( )
Cf x
dx C f x dx
=
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
∫
4)
( )
( )
( )
( )
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
±
=
±
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
∫
∫
;
5)
Если ( )d
( )
f x x F x
C
=
+
∫
, то
1
(
)d
(
)
f ax b x
F ax b
C
a
+
=
+
+
∫
(Доказательство свойства 5 проведем позднее).
5.3. Таблица основных интегралов
0
,
dx С
dx
x C
=
=
∫
∫
+
1
(
-
1
x
x dx
C
α
α
α
α
+
=
+
∀ ≠
+
∫
1)
-1
ln
dx
x dx
x C
x
=
=
+
∫
∫
,
0,
ln
x
x
a
a dx
C a
a
a
=
+
>
≠
∫
1
x
x
e dx e
C
=
+
∫
sin cos
xdx
x C
= −
+
∫
cos sin
xdx
x C
=
+
∫
2
tg cos
dx
x C
x
=
+
∫
2
ctg sin
dx
x C
x
= −
+
∫
2 2
1
ln a
2
dx
x a
C
x
a
x a
+
=
+
−
−
∫
2 2
arcsin
,
dx
x
C x
a
a
a
x
=
+
<
−
∫
2 2
2 2
ln
dx
x
x
a
C
x
a
=
+
−
+
−
∫
(
)
2 2
2 2
ln
dx
x
x
a
C
x
a
=
+
+
+
+
∫
(
)
2 2
1
arctg
0
dx
x
C a
a
x
a
a
=
+
≠
+
∫
sh
x dx
∫
=
chx C
+
ch
x dx
∫
=
shx C
+
2
ch
dx
x
∫
=
thx C
+
2
sh
dx
x
∫
=
cthx C
−
+

Неопределенный интеграл
221
Производная любой элементарной функции сама является элементарной функцией. Интегралы от некоторых элементарных функций не выража- ются через элементарные функции, они называются неберущимися.
!
Пример:
∫
−
dx
e
x
2
– неберущийся интеграл.
5.4. Методы интегрирования
5.4.1. Непосредственное интегрирование
Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.
Пример:
1)
∫
2 3
2 3 5
x
x
x
dx
⋅
⋅
=
(
)
(
)
(
)
2 3
2250 2 3 5 2250
ln 2250
x
x
x
dx
dx
C
⋅ ⋅
=
=
+
∫
∫
2)
(
)
5 7
8
x
x
x dx
+
+
=
∫
6 8
3/ 2 6
8 3/ 2 8
1 6
8 3/ 2 6
8 3
x
x
x
x
x
x
C
C
6
+
+
+ =
+
+
+
5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
Пусть функция
( )
x
t
ϕ
=
определена и дифференцируема на некотором множестве
{ }
t и пусть
{ }
x – множество всех значений этой функции.
Пусть для функции
( )
f x существует на множестве
Т
{ }
x первообразная функция
( )
F x , т.е.
( )
( )
dx
f x
F x
C
=
+
∫
. Тогда всюду на множестве
{ }
t для функции
( ) ( )
f
t
t
′
ϕ
ϕ
⎡
⎤
⎣
⎦
существует первообразная функция, равная
( )
(
)
F
t
ϕ
, т.е.
( ) ( )
( )
(
)
dt
f
t
t
F
t
ϕ
ϕ
ϕ
′
C
=
+
⎡
⎤
∫ ⎣
⎦
Доказательство:
Пусть
( )
( )
F x
f x
′
=
,
( )
( )
f x dx F x
C
=
+
∫
. По правилу дифференцирова- ния сложной функции
( )
( )
( ) ( )
dF x
d
dx
F
t
f
t
t
dx
dt
ϕ
ϕ
′
=
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
dt
ϕ
, значит,
( ) ( )
( )
(
)
dt
f
t
t
F
t
ϕ
ϕ
ϕ
′
=
⎡
⎤
∫ ⎣
⎦
C
+ , что и требовалось доказать.

Лекции 5 - 6
222
Пример:
Пусть
( )
( )
f t dt F t
C
=
+
∫
( )
( )
1 1
,
,
t
f ax dx
t ax x
dx
dt
f t dt
a
a
a
⎧
⎫
=
=
=
=
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
∫
=
( )
( )
1 1
F t
C
F ax
C
a
a
+ =
+
,
(
)
( )
( )
(
)
,
,
t
x b
f x b dx
f t dt F t
C F x b
C
x t b
dx dt
= +
⎧
⎫
⎪
⎪
+
=
=
=
+ =
+
= −
⎨
⎬
⎪
⎪
=
⎩
⎭
∫
∫
+
,
(
)
( )
( )
(
)
,
1 1
,
1
t ax b
t
b
dt
f ax b dx
x
f t
F t
C
F ax b
C
a a
a
a
a
dx
dt
a
⎧
⎫
⎪
⎪
=
+
⎪
⎪
⎪
⎪
+
=
= −
=
=
+ =
+ +
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
∫
Пример:
1).
(
)
(
)
1
sin 8x 2 dx cos 8x 2
C
8
−
= −
−
+
∫
;
2)
(
)
2 2
1,
1 1,
1 2
t
x
2
x x
dx
x t
t
t t dt
dx
t dt
⎧
⎫
=
−
⎪
⎪
−
=
= +
=
+ ⋅ ⋅
⎨
⎬
⎪
⎪
=
⎩
⎭
∫
∫
=
=
(
)
4 2
5 3
2 2
2 5
3
t
t dt
t
t
C
+
=
+
+ =
∫
(
)
(
)
5 3
2 2
1 1
5 3
x
x
C
−
+
−
+
3)
2 2
2 ,
1
tg tg
,
1 cos
2 2
cos
2
cos
2 2
x
t
dx
dx
dt
x
x
t C
C
t
x
x
t
dx
dt
=
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
=
=
=
=
+ =
=
⎨
⎬
+
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
∫
∫
+ .
Частным случаем замены является преобразование подынтегральной функции, связанное с подведением под знак дифференциала части по- дынтегральной функции.
В этом случае замена носит характер переобозначения.
Пример:
1)
(
)
{
}
2 2
2 2
1 1
2 1
1 1
d x
xdx
t x
x
x
+
=
= =
+
+
∫
∫
+ =
=
(
)
2 1
1 1
ln ln 1 2
2 2
dt
t C
x
C
t
=
+ =
+
+
∫
!

Неопределенный интеграл
223
2)
(
)
(
)
(
)
=
−
−
=
−
=
−
∫
∫
∫
−
−
2 5
2 5
5 1
2 5
2 5
2
/
1 2
/
1
x
d
x
dx
x
x
dx
{
}
1 2 1 2 1
1 2
5 2
5 2
5 5 1 2 5
/
/
t
t
x
t
dt
C
x
/
−
= =
−
=
=
+ =
− +
∫
C
3) sin cos sin sin
x
xdx
xd
x
=
=
∫
∫
{
}
sin
t
x
=
1 3
2 2
2 3
t dt
t
C
=
=
+
∫
=
=
(
)
3 2
2
sin
3
x
C
+
Дополнительные примеры:
Пример:
cos sin d
tg d d
d sin d cos
u
x
x
u
x x
x
u
x x
x
u
=
⎧
⎫
=
=
= −
=
⎨
⎬
= −
⎩
⎭
∫
∫
∫
ln ln cos
u
C
x
C
−
+ = −
+ .
Пример:
(
) (
)
(
)
2 8
2 8 1
1 2
3 1
5 2 2
3 2
5
t
x, x
t,
x
x dx
dx
dt,
t t dt
x
t
= −
= −
⎧
⎫
⎪
⎪
+
−
=
= −
= −
−
⎨
⎬
⎪
⎪
+ = − +
⎩
⎭
∫
∫
=
(
)
8 9
10 9
10 11 25 20 4
25 20 4
9 10 11
t
t
t
dt
t
t
t
= −
−
+
= −
+
−
=
∫
=
(
)
(
)
(
)
9 10 11 25 4
1 2 1 1
9 11
x
x
x
−
−
+
−
−
−
+ C
Пример:
,
1 4
sin cos
2 sin
4
t
x
dx
dx
x
x
x
dt dx
π
π
⎧
⎫
= +
⎪
⎪
=
=
=
⎨
⎬
+
⎛
⎞ ⎪
⎪
+
=
⎩
⎭
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
1 1
ln tg ln tg
2 2
2 2
t
x
C
C
π
⎛
⎞
=
+ =
+
⎜
⎟
⎝
⎠
8
+
Пример:
dx
x
x
sin
dx
x
x
x
sin
)
)
2 1
1 1
∫
∫
∫
−
=
−
1)
C
x
dx
x
dx
x
+
=
=
∫
∫
−
2
/
1 1
2
/
1 2
/
1
;
2)
,
sin sin 2 2cos
2
x t
x
dx
t dt
t C
dx
dt
x
x
⎧
⎫
=
⎪
⎪
=
=
⋅
=
+ =
⎨
⎬
=
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
∫
2 cos x C
+
C
x
x
dx
x
x
+
+
=
−
∫
cos
2 2
sin
1

Лекции 5 - 6
224
Пример:
( )
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−
+
=
−
+
∫
∫
dx
e
dt
e
t
dx
e
e
e
dx
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
,
1 1
1 2
{
}
=
+
−
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
+
=
∫
∫
C
t
t
dt
t
dt
t
t
1
ln
2 1
2 1
1 1
C
e
e
x
x
+
−
−
−
=
1
ln
2
Пример:
(
)
( )
2
ln tg
,
ln tg
1 1
1
sin 2
tg cos sin cos
2 1
sin 2
sin 2 2
t
x
x
dx
dx
dt
dx
x
x
x
x
dx
dx
dt
x
x
⎧
⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⋅
⎪
⎪
=
=
⋅
=
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⇒
=
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
x
=
2 2
1 1
ln tg
2 4
4
t
t dt
C
x C
=
+ =
+
∫
Пример:
∫
∫
=
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
=
−
1
cos
,
sin
1
cos sin
t
x
e
dt
dx
x
dt
x
t
e
dx
x
∫
=
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
1 2
2 2
на и
на ь
знаменател и
числитель разделим и
домножим
t
t
t
t
e
e
dt
e
e
=
+
=
+
=
−
⋅
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
⇒
⇒
−
=
=
∫
∫
C
u
u
du
dt
e
e
e
dt
e
e
du
u
e
e
u
t
t
t
t
t
t
t
arctg
2 1
2 1
2 1
2 1
2
,
1 1
2 2
C
e
x
+
−
=
1
arctg
2
sin
Пример:
(
)
(
)
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
=
=
=
−
∫
dx
x
x
dt
x
t
x
x
dx
x
2 2
1 1
arccos
1
arccos ln arccos
1
arccos ln
(
)
2 2
t
1
t dt
C
ln arccos x
C
2 2
= −
= − + = −
+
∫
5.4.3. Интегрирование по частям
(
) (
)
(
)
'
'
d u v
u v dx
u v v u dx
′
⋅ = ⋅
=
+
= '
'
u vdx v udx vdu udv
+
=
+
;
( )
d uv
udv vdu
=
+
;
( )
udv d uv
vdu
=
−
;
( )
udv
d uv
vdu
=
−
∫
∫
∫
;
udv uv
vdu
=
−
∫
∫
- формула интегрирования по частям.

Неопределенный интеграл
225
Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл проще ис- ходного.
1. В интегралах вида
( )
x
k
P x e dx
∫
;
( )sin
k
P x
x dx
∫
;
( )cos
k
P x
x dx
∫
за обозна- чается многочлен порядка
k ( ) ;
u
k
P x
Пример:
sin sin cos
u
x dv
xdx
x
xdx
du dx v
x
=
=
⎧
⎫
= ⎨
⎬
=
= −
⎩
⎭
∫
-x cos cos cos sin
x
xdx
x
x
x C
=
+
= −
+
∫
+
Формулу интегрирования по частям можно применять повторно.
Пример:
2 2
cos cos
2
sin
u x
dv
x dx
x
x dx
du
xdx
v
x
⎧
⎫
=
=
=
=
⎨
⎬
=
=
⎩
⎭
∫
=
−
=
∫
dx
x
x
x
x
sin
2
sin
2
(
)
(
)
2
sin sin
2
cos cos cos
u
x
dv
x dx
x
x
x
x
x dx
du dx
v
x
=
=
⎧
⎫
=
=
− −
− −
⎨
⎬
=
= −
⎩
⎭
∫
=
C
x
x
x
x
x
+
−
+
=
sin
2
cos
2
sin
2