ЛК_ОПТИКА. Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь
 Скачать 1.3 Mb.
|
|
3.3.3. Интерферометр Майкельсона Существуют многочисленные приборы, называемые интерферометрами, действие которых основано на явлении интерференции. Одним из таких прибо- ров является интерферометр Май- кельсона, сыгравший огромную роль в истории науки. Схема ин- терферометра Майкельсона изо- бражена на рис 3.13. Пучок света от источника L падает на пластинку Р 1 , одна сторона которой покрыта тон- ким слоем серебра. Толщина слоя подобрана так, чтобы интенсивно- сти отраженного света и света, прошедшего через пластинку, сов- пали. Луч АВ, прошедший через пластинку Р 1 , отражается от зеркала S 1 и, падая опять на пластинку Р 1 , частично проходит через нее, а частично отражается по направлению АО. Луч АС отражается от зеркала S 2 и, падая на пластинку Р 1 , частично также проходит Рис. 3.12 Рис. 3.13 33 по направлению АО. Так как волны 1 и 2, распространяющиеся по направлению АО, имеют общий источник L, они когерентны между собой и могут интерфе- рировать. Так как луч 2 пересекает пластинку Р 1 три раза, а луч 1 – один раз, на его пути ставится пластинка Р 2 , идентичная Р 1 , чтобы скомпенсировать доба- вочную разность хода лучей. Наблюдаемая интерференционная картина будет соответствовать интер- ференции в воздушной пластинке, образованной зеркалом S 2 и мнимым изо- бражением / 1 S зеркала S 1 в пластинке Р 1 . Если зеркала S 1 и S 2 установлены так, что воздушная пластинка является плоскопараллельной, а пучок света слегка расходящийся, наблюдаемая интерференционная картина (система колец) пред- ставляет собой полосы равного наклона, локализованные в бесконечности. Если же зеркала установлены так, что воздушная пластинка имеет форму клина, по- лосы интерференции представляют собой равноотстоящие линии, локализован- ные вблизи поверхности клина. С помощью интерферометра Майкельсона был осуществлен ряд экспери- ментов, сыгравших выдающуюся роль в физике. В 1887 году Майкельсон и Морли провели свой знаменитый эксперимент по обнаружению движения Зем- ли относительно эфира (эфирный ветер). Осмысление отрицательного резуль- тата этого эксперимента привело к изгнанию светоносного эфира из физики и к созданию Эйнштейном специальной теории относительности. При помощи это- го интерферометра было проведено систематическое исследование тонкой структуры спектральных линий. Модификация интерферометра Майкельсона (звездный интерферометр) дала возможность измерить угловые размеры неко- торых звезд. Интерферометры являются чрезвычайно чувствительными оптическими приборами. Они позволяют измерять незначительные изменения показателя преломления прозрачных сред, контролировать качество изготовления оптиче- ских деталей, производить с высокой точностью измерения угловых и линей- ных размеров. При измерении показателя преломления на пути интерфери- рующих лучей располагают две одинаковые кюветы. Одна из них заполнена прозрачным веществом с известным показателем преломления, а другая – с не- известным. По сдвигу интерференционных полос определяется показатель пре- ломления исследуемого вещества. Такие интерферометры называются интер- ференционными рефрактометрами. 34 4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 4.1. Явление дифракции света. Принцип Гюйгенса-Френеля Под дифракцией света понимают всякое отклонение от его прямолиней- ного распространения, если оно не может быть истолковано как результат от- ражения или преломления. Дифракция, в частности, приводит к огибанию све- товыми волна препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Если бы законы геометрической оптики строго выполнялись, то за экра- ном (непрозрачным телом) находилась бы область тени, резко отграниченная от области, куда свет попадает. Дифракция же приводит к тому, что вместо резкой границы между светом и тенью получается довольно сложная картина распре- деления интенсивности света. Эти проявления дифракции тем сильнее выраже- ны, чем меньше размеры экранов и отверстий в них или чем больше длина вол- ны света. Задача теории дифракции заключается в том, чтобы при данном располо- жении и форме тел и расположении источников света определить распределе- ние света, т.е. электромагнитное поле во всем пространстве. Точное решение этой задачи возможно путем решения уравнений Максвелла с соответствую- щими граничными условиями, зависящими от оптических свойств материала на поверхности тел. Строгое решение таких задач, ввиду их сложности, возможно лишь в простейших идеализированных случаях. Однако во многих случаях ока- зывается достаточным приближенный метод решения задачи о распределении интенсивности света, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля. Кратко принцип Гюйгенса-Френеля можно сформулировать следующим образом: принцип Гюйгенса-Френеля – это принцип Гюйгенса, дополненный идеей об интерференции вторичных волн. В формулировке Френеля, обобщен- ной Рэлеем, этот принцип звучит сле- дующим образом. Окружим все источ- ники света S 1 , S 2 ,… произвольной замкнутой поверхностью F (рис. 4.1). Каждую точку такой поверхности можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся по всем направлениям. Эти волны ко- герентны, поскольку все они возбуж- даются одними и теми же первичными источниками. Световое поле, возни- кающее в результате интерференции вторичных волн, в пространстве вне поверхности F совпадает с полем реальных источников света. Таким образом, действительные источники света можно как бы заменить окружающей их светящейся поверхностью F с непрерывно рас- пределенными по ней когерентными вторичными источниками. P r dF S 1 n r ϕ S 3 S 2 Рис. 4.1 F 35 Будем считать, что источники испускают монохроматический свет часто- той ω. По предположению Френеля каждый элемент dF поверхности F испус- кает волну, возбуждающую в точке наблюдения Р колебания светового вектора вида ( ) ( ) cos 0 0 α ω ϕ + − = kr t r dF a K dE (4.1) В этом выражении ωt + α 0 – фаза колебаний вторичного источника, образован- ного элементом поверхности dF, k = 2 π/λ – волновое число, r – расстояние от элемента dF до точки наблюдения Р, а 0 – амплитуда световых колебаний в том месте, где находится dF. Коэффициент К( ϕ) зависит от угла ϕ между нормалью n r к элементу dF и направлением от dF к точке наблюдения. По гипотезе Фре- неля К( ϕ) максимальна при ϕ = 0 и при ϕ ≥ π/2 обращается в нуль. Многие практически важные задачи дифракции можно решить при этих предположени- ях относительно функции К( ϕ), не уточняя ее конкретной зависимости от уг- ла ϕ. Результирующее колебание светового вектора в точке наблюдения Р представляет собой результат суперпозиции колебаний, приходящих от всех элементов поверхности F: ( ) ( ) cos 0 0 dF kr t r a K E F α ω ϕ + − = ∫ (4.2) Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса- Френеля. В том случае, когда между источниками света и точкой наблюдения име- ются непрозрачные экраны с отверстиями, действие этих экранов может быть учтено следующим образом. Выберем поверхность F так, чтобы она всюду сов- падала с поверхностью экранов, а отверстия в них перекрывала произвольным образом, выбранным в зависимости от рассматриваемой задачи. На поверхно- сти непрозрачных экранов амплитуды вторичных источников полагаются рав- ными нулю, а на части поверхности F, проходящей через отверстия в экранах, амплитуды колебаний вторичных источников считаются такими же, как и при отсутствии экранов. Последнее утверждение оказывается справедливым, если размеры отверстий много больше длины световой волны. Вычисление Е в точ- ках за экранами производится по формуле (4.2), где интегрировать следует по участкам поверхности F, не перекрытых экранами. В обоснование принципа Гюйгенса Френеля в рамках классической элек- тромагнитной теории света можно привести следующие соображения. Пусть на пути плоской монохроматической световой волны поставлен тонкий непро- зрачный экран. В точках Р за экраном интенсивность света равна нулю. Это обусловлено тем, что падающая на экран световая волна возбуждает колебания электронов вещества экрана, которые сами становятся источниками вторичных волн той же частоты. Поле за экраном является результатом суперпозиции пер- вичной волны и всех вторичных волн. Амплитуды и фазы вторичных волн та- 36 ковы, что при суперпозиции этих волн с первичной волной в любой точке за экраном амплитуда результирующего колебания равна нулю. Это означает, что если первичная волна создает в точке Р колебание E = E 0 cos( ωt + α), то ре- зультирующее колебание, возбуждаемое в той же точке вторичными волнами, имеет вид E / = –E 0 cos( ωt + α) = E 0 cos( ωt + α – π). Следовательно, действие ис- точников, распределенных по поверхности, совпадает (с точностью до фазы) с действием реального источника света. 4.2. Зоны Френеля. Дифракция Френеля на простейших препятствиях Вычисление светового вектора по формуле (4.2) является в общем случае очень сложной задачей. Однако, как показал Френель, в случаях с высокой симметрией нахождение амплитуды светового колебания в точке наблюдения может быть осуществлено простым алгебраическим суммированием (метод зон Френеля). Чтобы понять суть этого метода, определим ампли- туду световых колебаний в точке наблюдения Р при распростра- нении сферической монохрома- тической волны от точечного ис- точника света S (рис. 4.2). В ка- честве поверхности F, по кото- рой распределены вторичные ис- точники света, замещающие ре- альный источник S, возьмем волновую поверхность первич- ной волны, находящуюся на расстоянии а от источника S. Разобьем поверх- ность F на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от внешних границ соседних зон до точки Р отличались на λ/2. Из рис. 4.2. видно, что рас- стояние от внешней границы m-й зоны до точки наблюдения Р равно , 2 λ m b b m + = где b – расстояние от точки Р до ближайшей точки поверхности F. Математический расчет показывает, что площади всех зон Френеля при- мерно равны, следовательно, число вторичных источников в них одинаково. Радиусы зон Френеля (расстояния от прямой SР до внешних границ зон) равны ,... 2 , 1 , = + = m m b a ab r m λ (4.3) Если положить для примера a = b = 1м, λ = 0,5 мкм, то для радиуса первой (центральной) зоны Френеля получим r 1 = 0,5 мм. Расстояния от вторичных ис- точников до точки наблюдения растут с увеличением номера зоны. Угол ϕ ме- 2 / λ + b λ + b b P S a 1-я зона 3-я зона λ 5 , 1 + b Рис. 4.2 37 жду нормалью к элементам зон и направлением на точку Р также увеличивает- ся с увеличением m. Все это приводит к тому, что амплитуда A m колебаний, возбуждаемых источниками m-й зоны в точке наблюдения, монотонно убывает с ростом m. Следовательно, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке на- блюдения зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последователь- ность: A 1 > A 2 > A 3 … . Легко сообразить, что колебания, возбуждаемые в точке наблюдения со- седними зонами Френеля, осуществляются в противофазе. Действительно, для каждого источника какой-либо зоны найдется источник в соседней зоне, нахо- дящийся на λ/2 дальше от точки наблюдения, поэтому колебания от этих ис- точников приходят в точку наблюдения в противофазе. Вследствие этого ам- плитуда световых колебаний в точке Р может быть представлена в виде А = A 1 – A 2 + A 3 – A 4 + … . Перепишем это выражение в виде 2 2 2 2 2 5 4 3 3 2 1 1 + + − + + − + = A A A A A A A A Вследствие монотонного убывания A m можно приближенно считать, что выра- жения в скобках обращаются в ноль. Тогда 2 1 A A = (4.4) Таким образом, амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке наблюдения всей вспомогательной поверхностью, равна половине амплитуды колебаний, возбу- ждаемых источниками лишь одной центральной зоны Френеля. Если на пути волны поставить экран с круглым отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда колебаний в точке Р будет равна A 1 , т.е. в два раза превзойдет амплитуду колебаний в отсутствие экрана. При этом ин- тенсивность света в точке наблюдения окажется в четыре раза больше. Проанализируем теперь характер дифракционной картины, возникающей при падении сферической световой волны на преграду с круглым отверстием радиу- сом r 0 . Точечный монохроматический ис- точник света S расположим напротив се- редины отверстия (рис. 4.3). В качестве поверхности F снова выберем волновую поверхность первичной волны, касаю- щуюся края отверстия в преграде. Точку наблюдения Р выберем на экране так, что- бы прямая SP проходила через центр от- верстия в преграде. При небольшом ра- b a F P r 0 S Рис. 4.3 38 диусе отверстия примерно можно считать, что а равно расстоянию от источни- ка до преграды, а b равно расстоянию от преграды до экрана. При выполнении условия , 0 λ m b a ab r + = (4.5) где m – целое число, отверстие оставляет открытыми m первых зон Френеля для точки наблюдения Р. Если m = 1, открыта центральная зона Френеля и интен- сивность света в точке Р имеет максимальное значение, в четыре раза превос- ходящее интенсивность в отсутствие преграды. Если увеличить r 0 так, чтобы было m = 2, амплитуда световых колебаний в Р станет равной A = A 1 – A 2 ≈ 0, поскольку амплитуды колебаний от соседних зон отличаются незначительно. Интенсивность света напротив середины отверстия практически обращается в нуль! Этот же результат справедлив и при любом (небольшом) четном числе открытых зон Френеля. Если же число открытых зон нечетно, действие одной из зон оказывается нескомпенсированным и в точке Р наблюдается светлое пятно. Расчет интенсивности света в точках экрана, находящихся на некотором расстоянии от точки Р, оказывается значительно сложнее. Для каждой такой точки можно построить свою систему зон Френеля, однако в этом случае от- верстие открывает участки этих зон с разной площадью. В силу этого сложно просуммировать вклады от вторичных источников в амплитуду колебаний в точке наблюдения. Анализ показывает, что при удалении от Р периодически будут встречаться места с больше и меньшей интенсивностью. Поскольку кар- тина распределения интенсивности симметрична, вокруг точки Р будет наблю- даться система более светлых и менее светлых колец. Число этих колец и их положение зависят от числа открытых отверстием зон Френеля для точки Р. Пока в отверстие укладывается лишь одна центральная зона или ее часть, ин- тенсивность в точке Р максимальна и монотонно убывает при отдалении от нее. Когда открыты две зоны Френеля, в центре дифракционной картины – темное пятно, а вокруг него – светлое кольцо с максимальной интенсивностью. С уве- личением числа открытых зон увеличива- ется и число максимумов и минимумов ин- тенсивности в радиальном направлении. Когда в отверстие укладывается большое число зон Френеля, интенсивность вблизи точки Р оказывается практически одинако- вой, и лишь у границы геометрической те- ни наблюдается чередование весьма узких светлых и темных колец. Пусть теперь на пути волны от то- чечного источника S расположен круглый b a F P S Рис. 4.4 39 непрозрачный диск (рис. 4.4). Если диск перекрывает m первых зон Френеля для точки Р, являющейся центром дифракционной картины, амплитуда свето- вых колебаний в точке Р будет равна 2 2 2 2 1 3 2 1 1 4 3 2 1 + + + + + + + + + ≅ + + − + = = + − + − = m m m m m m m m m A A A A A A A A A A Следовательно, интенсивность света в центре геометрической тени не равна нулю! Если радиус диска мал и он перекрывает небольшое число зон Френеля, A m+1 ≈ A 1 , поэтому интенсивность света в точке Р будет почти такая же, как и в отсутствие диска. Этот результат теории Френеля, предсказанный Пуассоном и показавшийся абсурдным сторонникам корпускулярной теории света был экс- периментально подтвержден Араго. После этого волновая теория света получи- ла всеобщее признание, а световое пятнышко в центре геометрической тени за диском стали называть пятном Пуассона. Анализ показывает, что если диск очень мал и перекрывает лишь не- большую часть центральной зоны Френеля, то он совсем не отбрасывает тени. Распределение интенсивности света на экране практически такое же, как и в от- сутствие преграды. Если диск перекрывает много зон Френеля, то A m+1 << A 1 и поэтому интенсивность пятна Пуассона ничтожно мала. Вблизи границы гео- метрической тени от диска наблюдается система светлых и темных колец. Как уже отмечалось, когда круглое отверстие открывает для точки на- блюдения Р лишь центральную зону Френеля, интенсивность света в этой точке в четыре раза больше, чем при полностью открытой волновой поверхности. Ин- тенсивность света в точке Р можно во много раз увеличить, если изготовить эк- ран, который кроме первой зоны Френеля открывает зоны с нечетными номе- рами (3-ю, 5-ю и т.д.). Вторичные волны от этих зон будут приходить в точку наблюдения в одинаковой фазе и в результате интерференции усилят друг дру- га. Такой экран называется зонной пластинкой. Зонная пластинка, содержащая n открытых зон, создает в точке наблюдения интенсивность, приблизительно в n 2 раз большую, чем отверстие размером в одну зону Френеля. В рассмотренных задачах распределение интенсивности в дифракцион- ной картине определялось числом зон Френеля, перекрытых экраном или от- крытых отверстием в экране, а не абсолютными размерами экранов или отвер- стий. Радиусы зон Френеля определяются формулой (4.3). Для первой зоны , 1 f b a ab r λ λ = + = где b a ab f + = Отношение радиуса r 1 первой зоны Френеля к линейному размеру D экрана или отверстия D f D r p λ = = 1 40 полностью определяет условия наблюдения, при которых дифракционные яв- ления становятся существенными и распределение интенсивности заметно от- личается от предсказаний геометрической оптики. Когда р << 1, число зон Френеля, перекрываемых экраном или открываемых отверстием, велико, ди- фракционные эффекты незначительны и распределение интенсивности при- ближенно описывается в рамках геометрической оптики. При р ≈ 1 (заметная часть одной зоны или небольшое число зон) наблюдается сложное распределе- ние интенсивности. Это случай дифракции Френеля. При р >> 1 отверстие от- крывает малую часть первой зоны Френеля. Это случай дифракции Фраунгофе- ра. В заключении отметим, что в случае протяженного источника света от каждого его элемента создается своя дифракционная картина. Вследствие неко- герентности света, испускаемого этими элементами, происходит просто сложе- ние интенсивностей в каждой точке, и результат дифракции определяется на- ложением таких нескольких смещенных друг относительно друга дифракцион- ных картин. |