ЛК_ОПТИКА. Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь

• Название: Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь
• Дата: 14.04.2021
• Размер: 1.3 Mb.
• Имя файла: ЛК_ОПТИКА.pdf
• Тип: Курс лекций; #194692
• страница: 5 из 15

4.3. Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решетка
Наибольший практический интерес представляют дифракционные явле- ния, наблюдаемые при падении на препятствие параллельного пучка света
(плоской световой волны). В результате дифракции пучок утрачивает парал- лельность, часть света распространяется в направлениях, отличных от первона- чального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе – бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует случаю дифракции
Фраунгофера.
Практически дифракцию Фраунгофера наблюдают не в бесконечности, а в фокальной плоскости собираю- щей линзы. Схема опыта показана на рис. 4.5. Падающий на экран параллельный пучок лучей полу- чают, помещая точечный источник света S в фокусе линзы L
1
. Распре- деление интенсивности света при дифракции Фраунгофера можно найти с помощью принципа Гюй- генса-Френеля. Интенсивность в определенной точке Р фокальной плоскости линзы L обусловлена интерференцией вторичных волн, исходящих от всех элементарных участков отверстия экрана, причем эти волны распро- страняются в одном и том же направлении, соответствующем точке Р. Наибо- лее важен случай, когда отверстие в экране имеет незначительную ширину и бесконечную длину (щель). Практически достаточно, чтобы длина щели была
Рис. 4.5 1

41 много больше ее ширины. В этом случае свет дифрагирует в направлении, пер- пендикулярном щели.
Пусть плоская световая волна падает по нормали к щели (рис. 4.6). Для нахождения распределения интенсив- ности света на экране разобьем по- верхность щели на совокупность очень узких полосок шириной dx, параллель- ных щели. Каждую из таких полосок будем рассматривать как источник плоской вторичной волны. Вторичные волны (параллельные лучи), посылае- мые полосками в направлении, опре- деляемом углом
Θ, соберутся линзой в точке Р экрана, расположенного в ее фокальной плоскости. Начальные фазы всех этих волн одинаковы, поскольку плоскость щели совпадает с волновой поверхностью падающей волны. Ампли- туды вторичных волн также одинаковы, так как полоски имеют одни и те же размеры и наклонены под одинаковым углом
Θ к направлению наблюдения.
Обозначим через Е
0
амплитуду колебаний в точке экрана, в которой соберутся лучи, идущие в первоначальном направлении. От всех полосок колебания в эту точку приходят в одинаковой фазе, поскольку линза не вносит дополнительной разности хода для параллельных лучей. Число полосок N = a/dx, где а – ширина щели. Тогда амплитуда dE
0
колебаний, приходящих от одной щели
0 0
dx
a
E
dE
=
В точке наблюдения Р линза собирает плоские волны, поэтому множи- тель 1/r в формуле (4.1) для dE будет отсутствовать. Пренебрегая зависимостью коэффициента наклона К(
Θ) в (4.1) от угла Θ при малых углах дифракции, бу- дем считать амплитуду колебаний, приходящих от каждой полоски в точку Р, равной dE
0
. Представим колебания, приходящие в эту точку от полоски, нахо- дящейся в середине щели, в виде
dx
t
a
E
t
dE
ω
ω
cos cos
0 0
=
. Тогда колебания от полоски, находящейся возле точки с координатой х, приходят в точку наблюде- ния с фазой
,
sin sin
Θ
kx
t
c
Θ
x
t
c
t
−
=





 −
=






∆
−
ω
ω
ω
где
∆
– разность путей для волн, идущих от центральной и рассматриваемой полосок, k = 2
π/λ – волновое число. Следовательно, колебания от такой полос- ки в точке Р имеют вид
(
)
sin cos
0
dx
Θ
kx
t
a
E
dE
−
=
ω
Рис. 4.6

42
Результирующее световое колебание в точке Р определяется как сумма колеба- ний от всех полосок, т.е. выразится интегралом по ширине щели:
(
)
cos
2
sin
2
sin sin sin cos
0 2
2 0
2 2
t
Θ
ak
Θ
ak
E
dx
Θ
kx
t
a
E
dE
E
a
a
a
a
p
ω
ω






=
−
=
=
∫
∫
−
−
Амплитуда этих колебаний
,
sin sin sin
0
Θ
a
Θ
a
A
A
p
λ
π
λ
π






=
а интенсивность света в точке наблюдения
,
sin sin sin
2 2
0












=
Θ
a
Θ
a
I
I
p
λ
π
λ
π
(4.6) где I
0
– интенсивность света, идущего от щели в направлении первичного пуч- ка.
Как следует из (4.6), интенсивность света обращается в ноль для углов дифракции, определяемых соотношением
а sin
Θ = mλ, m =
±
1,
±
2, …
. (4.7)
При значениях
Θ, лежащих между соседними минимумами, интенсивность дос- тигает максимальных значений.
Наибольший максимум имеет ме- сто при
Θ = 0. Зависимость интен- сивности дифрагировавшего света от величины
Θ
a
u
sin
λ
π
=
приве- дена на рис. 4.7. Как следует из
(4.6), при сужении щели расстоя- ние между соседними минимума- ми увеличивается, а интенсивность максимумов уменьшается (ди- фракционная картина расширяет- ся, а ее яркость уменьшается). Когда а приближается к
λ, освещенность экрана монотонно убывает при смещении от центра щели.
Чрезвычайно важное практическое значение имеет случай дифракции
Фраунгофера на дифракционной решетке. Рассмотрим простейшую идеализи- рованную дифракционную решетку, состоящую из равноотстоящих параллель-
Рис. 4.7

43 ных щелей одинаковой ширины а, прорезанных в непрозрачном тонком экране.
Расстояния между соседними щелями одинаковы и равны b
(рис. 4.8). Величина d = a + b на- зывается периодом дифракцион-
ной решетки. Пусть на решетку по нормали падает плоская мо- нохроматическая волна. Дифрак- ционная картина наблюдается по методу Фраунгофера. В точке наблюдения осуществляется многолучевая интерференция пучков света, исходящих от ще- лей решетки. Из рис. 4.8 видно, что разность хода вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от соседних щелей, будет равна dsin
Θ, а разность фаз
Θ
d sin
2
λ
π
δ
=
. Когда разность хода равна целому числу длин волн
,
,
2
,
1
,
0
,
sin
±
±
=
=
m
m
Θ
d
λ
(4.8) в точке наблюдения будет дифракционный максимум. Суммируя вклады коле- баний, приходящих от щелей, с учетом разности фаз можно показать, что ин- тенсивность света в точке наблюдения
,
2
sin
2
sin
2 1
























=
δ
δ
N
I
I
(4.9) где I
1
– интенсивность света от одной щели в точке наблюдения, взятой в пер- вичном направлении лучей, N – число щелей решетки. При
Θ = 0 имеем δ = 0.
В этом случае выражение (4.9) принимает неопределенный вид 0/0. Раскрыв неопределенность по правилу Лопиталя, получим I = N
2
I
1
. Следовательно, в на- правлении
Θ = 0 наблюдается дифракционный максимум, интенсивность света в котором в N
2
раз превосходит интенсивность света, приходящего от одной щели. Такой же результат получается всегда при
δ/2 = mπ, т.е. при выполнении условия (4.8). В направлениях, определяемых этим условием, наблюдаются максимумы, интенсивность которых в N
2
раз превосходит интенсивность света от одной щели в этом направлении. Эти максимумы называются главными ди- фракционными максимумами. Целое число m в (4.8), определяющее направле- ние на главный дифракционный максимум, называется порядком главного мак-
симума или порядком спектра. Используя формулу (4.8) легко найти наиболь- ший порядок спектра, который можно наблюдать с помощью решетки с перио-
Рис.4.8

44 дом d. Поскольку sin
Θ
≤
1, из (4.8) следует m
≤
d/
λ. Поскольку m – целое чис- ло, m
max равно целой части d/
λ. Общее число наблюдаемых главных максиму- мов равно 2 m
max
+ 1.
Анализ формулы (4.9) показывает, что помимо главных дифракционных максимумов, положение которых определяется условием (4.8), в дифракцион- ной картине имеются второстепенные максимумы, интенсивность которых зна- чительно меньше. Если число щелей решетки равно N, между двумя соседними главными дифракционными максимумами находятся (N – 2) второстепенных максимума, разделенных минимумами интенсивности, число которых, очевид- но, рано N – 1. Распределение интенсивности света в точках экрана схематично показано на рис. 4.9.
Когда волна падает на решетку наклонно под углом
Θ
0
(рис. 4.10), раз- ность хода между пучками дифрагировавшего на соседних щелях света стано- вится равной AD – ВС = d(sin
Θ – sinΘ
0
). Вследствие этого положение главных дифракционных максимумов будет определяться условием
(
)
sin sin
0
λ
m
Θ
Θ
d
=
−
(4.10)
В современной спектральной аппаратуре используются отражательные дифракционные решетки.
Такая решетка представ- ляет собой плоскую ме- таллическую поверх- ность, на которой специ- альной делительной ма- шиной нарезано много
(до сотен тысяч) парал- лельных равноотстоящих штрихов. Дифракционная картина наблюдается в отраженном свете. Поло- жения главных дифрак- ционных максимумов оп- ределяется исключитель- но периодом решетки и формулы (4.8) и (4.10) остаются справедливыми и в случае отражательных ре- шеток. Однако форма штриха решетки влияет на распределение интенсивности дифрагировавшего света. При определенной форме штриха решетка может
Рис. 4.9
Рис. 4.10
Θ
Θ
0

45 сконцентрировать практически весь дифрагировавший свет в одном (не нуле- вом!) главном дифракционном максимуме.
Положение главных дифракционных максимумов, даваемых дифракци- онной решеткой, зависит от длины волны. Если на решетку направить немоно- хроматический свет, каждая его монохроматическая составляющая дает на эк- ране свою совокупность дифракционных максимумов. Поэтому решетка в каж- дом порядке (кроме нулевого) разложит падающий свет в спектр, в котором от- дельные монохроматические компоненты окажутся пространственно разделен- ными. Если падающий свет белый, то спектр каждого ненулевого порядка при- мет вид цветной полосы, в которой встречаются все цвета радуги. Центральный максимум (m = 0 для любых длин волн) будет неокрашенным. Из формулы (4.8) видно, что в спектре наименее отклоненными окажутся фиолетовые максиму- мы, а наиболее отклоненными – красные. Таким образом, дифракционная ре- шетка представляет собой спектральный прибор. Свойство решетки разлагать свет в спектр применяется для исследования спектрального состава света – оп- ределения длин волн и интенсивностей его монохроматических составляющих.
В зависимости от области спектра дифракционные решетки имеют от 4
(для инфракрасной) до 3600 штрихов на 1 мм ширины решетки. Вследствие вы- сокой стоимости оригинальных гравированных решеток, получаемых с помо- щью высокоточных делительных машин, широкое распространение получили реплики, т.е. отпечатки с гравированной матрицы на специальных пластмассах, покрытых тонким металлическим слоем.
4.4. Дифракция рентгеновских лучей
Пример дифракционной решетки показывает, что для наблюдения четко- го распределения интенсивности при дифракции света на периодической струк- туре период этой структуры должен превосходить длину световой волны. Кри- сталлы являют собой пример трехмерных периодических структур, однако они не пригодны для наблюдения дифракции видимого света, поскольку длины волн видимого света значительно превосходят межатомные расстояния, опре- деляющие периоды структуры по разным направлениям. Для видимого света кристалл представляет собой практически однородную среду. На кристалличе- ской структуре можно наблюдать дифракцию рентгеновских лучей, представ- ляющих собой электромагнитное излучение с длинами волн

(10 – 10
–3
) нм.
Рентгеновское излучение возникает, в частности, при торможении электронов в веществе антикатода рентгеновской трубки.
При падении волны рентгеновского излучения на кристалл узлы его кри- сталлической решетки становятся источниками вторичных волн. Узлы решетки, расположенные в одной плоскости, образуют волну, отраженную под углом к атомной плоскости, равным углу падения. По другим направлениям вторичные волны гасят друг друга в результате интерференции. Интенсивность отражен- ной волны зависит от количества атомов в атомной плоскости: с увеличением их количества ее интенсивность увеличивается.

46
Через узлы кристаллической решетки можно провести много атомных плоскостей, и каждая из них будет от- ражать волну в таком направлении, чтобы угол отражения был равен углу падения. Это условие не зависит от длины волны излучения. Однако отра- жение в данном направлении происхо- дит не от одной плоскости, а от всех других атомных плоскостей, парал- лельных ей. Все отраженные волны ко- герентны между собой, поскольку порождаются одной и той же первичной па- дающей волной. Они усилят друг друга, если оптическая разность хода волн, отраженных соседними плоскостями, будет равна целому числу длин волн. Как легко увидеть из рис. 4.11, для монохроматической волны это произойдет при выполнении условия
,
sin
2
λ
m
Θ
d
=
(4.11) где m = 1, 2, 3,… ,
Θ – угол скольжения. Формулу (4.11) называют формулой
Вульфа-Брэггов.
Если на систему параллельных плоскостей падает немонохроматическая волна, отразится лишь ее составляющая, длина волны которой удовлетворяет условию (4.11). Если в падающей волне такая составляющая отсутствует, отра- женная волна не возникает.
Известны три способа наблюдения дифракции рентгеновских волн на кристаллах. При наблюдении по способу Лауэ монокристалл облучается рент- геновским излучением с непрерывным спектром. Каждая из систем параллель- ных атомных плоскостей отражает в соответствующем направлении, удовле- творяющем (4.11), определенную длину волны. Интенсивность отраженного луча будет заметной лишь в том случае, когда атомы в отражающих плоскостях расположены достаточно плотно. Поэтому практически будет наблюдаться от- ражение лишь от небольшого числа систем параллельных плоскостей. Если на пути лучей, отраженных различными системами параллельных плоскостей, по- ставить фотопластинку, то на ней получается система пятен – лауэграмма. Зная геометрию опыта, можно установить соответствие между лауэграммой, струк- турой кристалла и длинами волн.
При наблюдении по способу Брэгга кристалл облучается монохроматиче- ским рентгеновским излучением. Исследуется отражение от определенной сис- темы параллельных атомных плоскостей при вращении монокристалла. В соот- ветствии с формулой (4.11) отражение происходит лишь при некоторых углах скольжения. Зная
λ и измерив Θ, по формуле (4.11) можно вычислить расстоя- ние между атомными плоскостями, от которых происходит отражение.
Монокристаллы достаточно больших размеров получить сложно. Проще получить порошок, который состоит из маленьких кристаллов, ориентирован- ных беспорядочным образом. При наблюдении дифракции рентгеновских лу- чей по методу Дебая-Шерера поликристаллический порошок облучается моно-
Рис. 4.11
d
Θ
Θ

47 хроматическим рентгеновским излучением. Среди составляющих порошок мо- нокристаллов всегда найдутся такие, ориентация которых относительно па- дающего пучка удовлетворяет условию Вульфа-Брэггов (4.11). Если за образ- цом установить фотопластинку, перпендикулярную падающему пучку, то вследствие аксиальной (осевой) симметрии опыта отраженные лучи оставят на ней след в виде системы колец. Это является следствием того, что отражение происходит от разных систем атомных плоскостей и имеются отражения раз- ных порядков, т.е. при различных m в формуле (4.11). Зная геометрию опыта, длину волны и расположение колец можно сделать выводы о структуре кри- сталлов (рентгеноструктурный анализ), а при известной структуре можно вы- числить длину волны (рентгеновская спектроскопия). Рентгеноструктурный анализ остается и до нашего времени одним из самых эффективных методов исследования структуры вещества.
4.5. Принцип голографии
Голографией называется метод записи и последующего восстановления структуры световых волн, основанный на явлениях интерференции и дифрак- ции когерентных световых пучков. В то время как обычная фотография дает лишь плоское изображение, голография позволяет полностью восстанавливать рассеянные предметами световые волны, создавая иллюзию реальности наблю- даемых предметов.
Идея голографии была предложена Габором в 1947 г. Однако практиче- ски осуществить его идею удалось лишь в 1962 г. Лейту и Упатниексу. Это обусловлено тем, что голографии требуются источники света с высокой степе- нью временной и пространственной когерентности. Такие источники – лазеры – были созданы в 1960 г.
При освещении предмета от него распространяется рассеянная волна. От- делившись от предмета, волна несет всю информацию о форме и других пара- метрах предмета. Если любым путем создать такую же волну, она вызовет та- кой же эффект, как и исходная волна, рассеянная предметом. В этом и заключа- ется идея голографии.
Пусть предмет А (рис. 4.12) ос- вещается пучком параллельных лучей от лазера. Рассеянные предметом лучи попадают на фотопластинку Г. По сте- пени почернения пластинки после про- явления можно судить об амплитуде волны в тех местах пластинки, которых эта волна достигла. Поэтому экспони- рованная и проявленная пластинка со- храняет информацию об амплитуде волны. Однако пластинка не содержит информации о фазе волны, необходи- мой для восстановления этой волны.
Рис. 4.12

48
Габор показал, что информацию о фазе волны можно получить и записать на той же фотопластинке Г, если осветить ее вторым пучком от того же лазера и заставить этот пучок интерферировать с пучком от предмета. Практически это достигается расширением пучка света от лазера и разделением получившегося пучка на два. Один из них, называемый предметным, направляется на предмет и рассеивается им, другой – опорный – отражается плоским зеркалом S. Оба получившихся пучка дают на фотопластинке интерференционную картину, ко- торая фотографируется. Полученная фотография называется голограммой. Го- лограмма представляет собой сложную и запутанную интерференционную кар- тину. На ней видны и крупные дифракционные кольца, возникающие в резуль- тате дифракции света на случайных пылинках в воздухе.
Интерференционная картина на голограмме содержит всю информацию о распределении амплитуд и фаз в предметной волне. Освещение голограммы восстанавливающей волной, идентичной с опорной, вызывает появление ди- фрагировавших волн, одна из которых представляет собой копию волны, рассе- янной предметом. Попадая в глаз, она создает такое же ощущение, как и при непосредственном рассматривании предмета.
Рассмотрим простейший случай голографической записи плоской моно- хроматической волны (рис. 4.13, а). Пусть такая волна 1 падает на фотопла- стинку под углом
Θ
/
к нормали. Пусть на ту же фотопластинку одновременно падает по нормали плоская волна 2 (опорная) той же длины волны. Эти волны создадут на пластинке систему интерференционных полос, ориентированных перпендикулярно плоскости чертежа. Как легко видеть, расстояние между со- седними интерференционными полосами равно d =
λ/sinΘ
/
. Совокупность этих полос образует дифракционную решетку. Структура зарегистрированной на го- лограмме интерференционной картины содержит информацию о распределении фаз колебаний в волне 1 (предметной волне).
Восстановить записанную на голограмму предметную волну 1 можно следующим образом. Направим на голограмму восстанавливающую волну, идентичную с опорной волной 2, использовавшейся при записи (рис. 4.13, б). В результате ее дифракции на дифракционной решетке, образованной интерфе-
Рис. 4.13 1

49 ренционными полосами при получении голограммы, возникают три плоские волны: одна из них соответствует главному дифракционному максимуму с
m = 0 и распространяется в направлении падающей волны, две же другие соот- ветствуют главным дифракционным максимумам с m =
±
1. Наибольший инте- рес в голографии представляет волна с m = 1. Ее направление определяется ус- ловием dsin
Θ = λ. Поскольку d = λ/sinΘ
/
, то
Θ = Θ
/
, т.е. направление распро- странения точно такое же, как и у предметной волны 1. Попадая в глаз, восста- новленная волна вызовет такое же ощущение, как и волна 1.
Рассеянную предметом волну можно рассматривать как результат нало- жения плоских монохроматических волн. Каждая из них при интерференции с опорной волной, получаемой из того же лазерного пучка, создает на фотопла- стинке свою систему интерференционных полос с характерными для нее ори- ентацией и периодом. После проявления фотопластинки на ней образуется со- вокупность дифракционных решеток. Каждая из этих решеток на этапе восста- новления рассеянной предметом волны формирует соответствующую ей эле- ментарную плоскую волну. Это волна с m = 1. Все восстановленные элементар- ные волны находятся в таких же амплитудных и фазовых соотношениях, как и волны при записи голограммы. Их совокупность воссоздает рассеянную пред- метом световую волну и вызывает те же зрительные образы. Следовательно, в том месте, где находился предмет при записи голограммы, на этапе восстанов- ления возникает мнимое изображение предмета.
Важнейшим свойство голограммы является то, что восстановить пред- метную волну можно с помощью даже небольшого участка голограммы. Это видно из того, что направления на главные дифракционные максимумы ди- фракционной решетки не зависят от числа ее штрихов. От него зависит разре- шающая способность решетки. Вследствие этого четкость изображения, давае- мого частью голограммы, будет хуже.
Здесь кратко изложен лишь принцип голографии. В настоящее время соз- дана целая наука о голографии, результаты которой находят широкое примене- ние. Разработаны методы, позволяющие наблюдать изображения предметов в белом свете. Голограммы можно использовать в качестве комплексных оптиче- ских элементов, играющих роль линз, дифракционных решеток, интерференци- онных фильтров. Метод голографии дает возможность записывать на малом участке голограммы большой объем информации. Разрабатываются ЭВМ с го- лографической памятью, голографическое телевидение и много другое. Все это позволяет считать голографию весьма перспективным направлением в физике.

50