Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 3. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл Определение 9 . Решением дифференциального уравнения называют функцию, или совокупность функций, обращающих урав- нение в тождество. Определение 10 . Частное решение дифференциального уравнения – конкретная функция, удовлетворяющая уравнению. Например, для ОДУ ( ) 4 ( ) 0 y x y x ′′ + = частными решениями будут функции 1 sin 2 π = y x , 2 2 cos2 = y x , ( ) 3 3sin 2 / 4 π = + y x , ( ) 4 4cos 2 / 6 π = − y x и т.д. Множество решений ОДУ n -го порядка зависит от n про- извольных постоянных. Например, множество решений уравнения Введение 11 ( ) y f x ′ = есть ( ) y F x C = + , где ( ) F x — некоторая первообразная функции для ( ) f x , C – произвольная постоянная. Множество решений уравнения в частных производных 1-го порядка определено с точностью до произвольной функции. Так множеством решений уравнения 0 u u x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ является семейство функций вида ( ) u f x y = + (проверьте самостоятельно), где f – произвольная дифференцируемая функция, например ( ) = + m u x y , cos( ) u x y = + , sin + = x y u e и т.д. Определение 11 . Общим решением дифференциального урав- нения называется совокупность всех его решений. Например,об- щим решением уравнения ( ) 4 ( ) 0 y x y x ′′ + = является функция 1 2 sin 2 cos 2 y C x C x = + , или ( ) sin 2 y A x ϕ = + , где 1 C , 2 C , A , ϕ – произвольные постоянные. Определение 12 . Процесс нахождения решения дифференци- ального уравнения называют интегрированием. Определение 13 . Если уравнение ( ) , , 0 x y C Φ = , где ( ) 1 2 , , , n C C C C = … – вектор произвольных параметров, определяет все множество решений соответствующего дифференциального уравнения, то его называют общим интегралом данного уравнения, а полученное из него параметрическое семейство решений также на- зывают общим решением. Замечание Помимо функций, образующих семейство, опреде- ленное в 13, возможны еще особые решения, которые не входят в это семейство ни при каких значениях параметров. Пример . Рассмотрим уравнение 2 3 = dy y dx . Проверьте, что его об- щим решением является функция 3 3 + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x C y , а функция 0 y = будет особым решением. Графическая иллюстрация приведена на рис. 1. Глава 1 12 Рис. 1. 2 3 dy y dx = , 3 3 x C y + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0 y = В ряде случаев задача интегрирования уравнения первого по- рядка сводится к исследованию соответствующей неявной функции с помощью первого интеграла. Определение 14 Функция ( , ) F x y , определенная в области 2 G R ⊂ и не равная в ней постоянной функции, называется первым интегралом ОДУ первого порядка, если для любого решения ( ) y x ϕ = этого уравнения, график которого лежит в области G , и для любых ( , ) x a b ∈ существует такая постоянная C такая, что ( ) , ( ) F x x C ϕ = . Аналогично формулируется определение первого интеграла для уравнения n -го порядка. Определение первого интеграла естественным образом пере- носится на системы, например, на динамические системы. Определение 15 Функция ( ), { : } n V x V R R → , определен- ная и непрерывная в области n D R ⊂ и не равная постоянной, назы- вается первым интегралом динамической системы ( ) dx f x dt = в Введение 13 области D , если для любого решения ( ) x t ϕ = этой системы сущест- вует постоянная C такая, что ( ) ( ) V x t C = для всех ( , ) t a b ∈ В физических задачах первыми интегралами могут быть энер- гия, импульс, момент инерции, масса, заряд и т.д. Некоторые приме- ры даны в таблице. Уравнение ( ) y f x ′ = x y y ′ = − 2 0 0 x x ω + = Общий интеграл ( ) 0 y f x dx C − − = ∫ 2 2 0 y x C + − = 1 0 2 0 cos sin 0 x C t C t ω ω − + = или ( ) 0 sin 0 x A t ω ϕ − + = Общее решение ( ) y f x dx C = + ∫ 2 2 y x C + = 1 0 2 0 cos sin x C t C t ω ω = + ил и ( ) 0 sin x A t ω ϕ = + Частное решение ( ) 0 x x y f d ξ ξ = ∫ 2 2 1 y x + = 0 cos x t ω = Первый интеграл ( ) , F x y const = ( ) y f x dx − ∫ 2 2 y x + ( ) 2 2 2 0 x x ω + Замечание 1 . В связи с тем, что термин интеграл использован в сформулированных выше определениях, для обозначения первооб- разной (неопределенного интеграла) в курсах дифференциальных уравнений принят термин квадратура. Замечание 2 (об интегрировании ОДУ в квадратурах). Выражение общего решения или полного интеграла через элементарные функ- ции и их первообразные (которые, возможно, нельзя выразить через элементарные функции) называют интегрированием данного урав- нения в квадратурах. Интегрирование в квадратурах допускают лишь уравнения некоторых простейших типов. Большинство же дифференциальных уравнений можно решать только приближенно или исследовать их качественными методами, то есть методами, по- зволяющими выяснять свойства решений без явного их отыскания. Качественные и приближенные методы составляют основное содер- жание современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример 1 . Движение материальной точки массы m под действием силы ( ) ( ) ( ) ( ) { } , , x y z F r F x F y F z = , которая зависит только от поло- Глава 1 14 жения точки (не зависит явно от времени), а каждая декартова про- екция силы зависит только от соответствующей проекции радиуса- вектора. Уравнения движения имеют вид ( ) mr F r = , или в координатах ( ) x mx F x = , ( ) y my F y = , ( ) z mz F z = Общее решение этих уравнений может быть получено в квад- ратурах. Рассмотрим, например, первое из них и проделаем сле- дующие выкладки ( ) = x mx F x => ( ) 1 x x x F x x m ⋅ = => ( ) ( ) 2 1 1 2 = x d dx x F x dt m dt => ( ) ( ) 2 2 x d x F x dx m = => ( ) ( ) 2 1 2 = + ∫ x x F x dx C m => ( ) 1/ 2 1 2 x x F x dx C m ⎛ ⎞ = ± + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ => ( ) 1/2 1 2 ⎛ ⎞ = ± + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ x dx F x dx C dt m => ( ) 1/2 1 2 x dx dt F x dx C m = ± ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ => ( ) 2 1/2 1 2 + = ± ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ x dx t C F x dx C m Это и есть решение, выраженное в квадратурах. Если заданы начальные условия ( ) ( ) 0 0 0 0 , x t x x t x = = , то решение задачи Коши также выражается в квадратурах: ( ) ( ) 0 0 0 1/2 2 0 2 ξ ξ η η − = ± ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ x x x x d t t F d x m Пример 2 . Решение уравнения 2 ′ = − y y x нельзя записать в виде интеграла от элементарной функции, т.е. в квадратурах. Введение 15 § 4. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дополнительные условия 1 0 . Начальная задача (задача Коши) ( Огюстен Луи Коши (1789– 1857) – французский математик ): ( ) ( ) ( 1) ( ) , , , ,..., − ′ ′′ = n n y x f x y y y y – уравнение; ( ) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ( ) ( ) , , ( ) − − ′ = , = = n n y x Y y x Y y x Y … – начальные условия. Пример 1 . Рассмотрим задачу Коши: 3 2 3 3 3 (0) 1 ⎫ = + ⎪ ⎛ ⎞ ⇒ = ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ = ⎭ dy y x y dx y – решение задачи существует и единственно. Пример 2 . Рассмотрим задачу Коши: 3 2 3 , 0 3 (0) 0 ⎫ = ⎪ ⎛ ⎞ ⇒ = = ⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ = ⎭ dy y x y y dx y – решение задачи существует, но не единственно. 2 0 . Краевая задача (2-точечная): ( ) ( ) , , y x f x y y ′′ ′ = , ( ) , x a b ∈ граничные условия первого рода (задача Дирихле): ( ) = a y a y , ( ) = b y b y ; граничные условия второго рода (задача Неймана): ( ) ′ = a y a y , ( ) ′ = b y b y ; граничные условия третьего рода: ( ) ( ) α ′ + = a y a y a y , ( ) ( ) β ′ + = b y b y b y ; периодические граничные условия: ( ) ( ) = y a y b , ( ) ( ) ′ ′ = y a y b . Глава 1 16 Пример 1 . Рассмотрим краевую задачу: ( ) ( ) 2 2 2, 0,1 1 (0) 0, (1) 0 d y x y x x dx y y ⎫ = − ∈ ⎪ ⇒ = − ⎬ ⎪ = = ⎭ – решение задачи су- ществует и единственно. Пример 2 . Рассмотрим краевую задачу: ( ) 2 2 1, 0,1 (0) 0, (1) 0 d y x dx y y ⎫ = ∈ ⎪ ⎬ ⎪ ′ ′ = = ⎭ – решение задачи не существует. Пример 3 . Рассмотрим краевую задачу: ( ) 2 2 0, 0,1 (0) 0, (1) 0 d y x y C dx y y ⎫ = ∈ ⎪ ⇒ = ⎬ ⎪ ′ ′ = = ⎭ – задача имеет бесконечное множество решений. 3 0 . Периодическая задача В общем случае задача о периодических решениях – это зада- ча о нахождении T -периодического решения уравнения ( ) , x f t x = с T -периодической по переменной t правой частью ( ) ( ) , , f t x f t T x = + . Эта задача весьма важна в приложениях, по- скольку такие решения описывают периодические колебательные процессы в реальных системах, например, в механических и элек- трических устройствах. 4 0 . Задача Штурма–Лиувилля (краевая задача на собственные значения) Оператором Штурма–Лиувилля называется дифференциаль- ный оператор 2-го порядка ( ) ( ) d dy Ly p x q x y dx dx ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где коэффици- енты 1 ( ) [ , ], ( ) 0 p x C a b p x ∈ > , ( ) [ , ], ( ) 0 q x C a b q x ∈ ≥ . Введение 17 Поставим вопрос: при каких значениях параметра λ сущест- вует нетривиальное решение краевой задачи ( 2 2 1 2 0 α α + ≠ , 2 2 1 2 0 β β + ≠ ) 1 2 1 2 ( ) 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 , λρ α α β β + = ⎧ ⎨ ′ ′ + = + = ⎩ Ly x y y a y a y b y b где ( ) [ , ], ( ) 0 x C a b x ρ ρ ∈ > . Такая задача называется краевой задачей на собственные зна- чения и собственные функции для оператора Штурма–Лиувилля (сокращенно – задача Штурма–Лиувилля); числа n λ , при которых существуют нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения – собст- венными функциями. Пример Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма–Лиувилля ( ) 0, 0, , (0) 0, ( ) 0. λ ′′ + = ∈ ⎧ ⎨ = = ⎩ y y x l y y l Решение.В случае 2 0 λ μ = − < имеем общее решение 1 2 ( ) μ μ − = + x x y x C e C e . Учитывая граничные условия, получаем единственное решение ( ) 0 y x = , т.е. собственных функций (и собст- венных значений) нет. В случае 0 λ = общее решение рассматриваемого уравнения 1 2 ( ) = + y x C x C . С учетом граничных условий получаем ( ) 0 y x = – нет собственных функций. Пусть 2 0 λ μ = > , тогда общее решение уравнения имеет вид 1 2 ( ) sin cos μ μ = + y x C x C x . Дополнительные условия дают 2 (0) 0 0 = ⇒ = y C , 1 ( ) 0 sin 0 y l C l μ = ⇒ = , откуда получаем sin 0 n n l l π μ μ = ⇒ = , n N ∈ Глава 1 18 Следовательно, искомые собственные значения 2 2 π λ μ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n n l , n N ∈ , а отвечающие им собственные функции имеют вид ( ) sin n n y x C x l π = § 5. Геометрическая интерпретация ОДУ Определение . Графики решений ( ) y y x = скалярного ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной ( ) , y f x y ′ = , (1) называются его интегральными кривыми. В геометрических терминах данное уравнение выражает сле- дующий факт: кривая на плоскости ( ) , x y является его интеграль- ной кривой в том и только том случае, когда в любой точке ( ) 0 0 , x y этой кривой она имеет касательную с угловым коэффици- ентом ( ) 0 0 , k f x y = (рис. 1). Рис. 1 Рис. 2 Таким образом, зная правую часть уравнения (1), можно зара- нее построить касательные ко всем интегральным кривым во всех точках: для этого каждой точке ( ) 0 0 , x y нужно сопоставить прохо- дящую через нее прямую с угловым коэффициентом ( ) 0 0 , k f x y = Полученное соответствие между точками плоскости и проходящими через нее прямыми, называется полем направлений уравнения (1) (рис. 2). Введение 19 Конечно, фактически поле направлений можно построить лишь в виде достаточно густой сетки отрезков с отмеченными на них точками. После этого задача построения интегральных кривых становится похожей на отыскание нужного пути в большом парке, снабженном густой сетью стрелок-указателей (рис. 2 и 3). Метод изоклин. Построение поля направлений значительно облегчается предварительным нахождением изоклин – кривых на плоскости ( ) , x y , вдоль которых угловой коэффициент k сохраняет неизменное значение. Уравнение изоклин имеет вид ( ) , f x y k = . Вдоль изоклин отрезок, принадлежащий полю направлений, перено- сится параллельно своему первоначальному положению: переход к другой изоклине осуществляется изменением k и построением от- резка с новым угловым коэффициентом. Рис. 3 Глава 1 20 Пример . Для уравнения 2 2 y x y ′ = + изоклины описываются уравнением 2 2 x y k + = и представляют собой семейство концентри- ческих окружностей с центром в начале координат. На рис. 3 изо- бражены изоклины (окружности), поля направлений (стрелки) и ин- тегральные кривые (сплошные линии). Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Найдите первый интеграл дифференциального уравнения ( ) y f x ′ = 2. Найдите первый интеграл дифференциального уравнения x y y ′ = − . 3. Найдите первый интеграл уравнения ( ) y f y ′′ = в квадратурах. 4. Найдите первый интеграл дифференциального уравнения 2 0 0 ω ′′ + = y y 5. Запишите систему дифференциальных уравнений 1-го поряд- ка, эквивалентную уравнению 2 0 2 0 γ ω ′′ ′ + + = y y y 6. Запишите систему дифференциальных уравнений 1-го поряд- ка, эквивалентную уравнению ( , , ) y f x y y ′′ ′ = 7. Решите краевую задачу ( ) 1 0,1 ; (0) 0, (1) 0 y x y y ′′ = ∈ = = . 8. Решите краевую задачу ( ) 1 0,1 ; (0) 0, (1) 0 y x y y ′′ ′ ′ = ∈ = = . 9. Решите краевую задачу ( ) 0 0,1 ; (0) 0, (1) 0 y x y y ′′ ′ ′ = ∈ = = . 10. Найдите и изобразите изоклины для уравнения 2 2 y x y ′ = + |