Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 3. Второй метод Ляпунова. Лемма Ляпунова Рассмотрим нормальную систему дифференциальных урав- нений ( ) = , x f t x (1) Глава 6 144 Будем предполагать, что 0 x = – решение этой системы. Та- кое предположение, как было показано в § 1, не нарушает общно- сти. Из него, в частности, следует, что ( ) 0 0 f t , = . Лемма Ляпунова . Пусть правая часть системы уравнений (1) определена на множестве 0 : , ≤ ≥ D x r t t . Предположим, что выполнены условия теорем существования и единственности и, кроме того, при x r ≤ определена неотрицательная функция ( ) ( ) ( ) 1 0, V x V x C x r ≥ ∈ ≤ , обращающаяся в нуль только при 0 x = , причем на множестве D ( ) 1 grad , 0 = ∂ = ≤ ∂ ∑ n i i i V V f f x Тогда решение 0 x = системы уравнений (1) устойчиво по Ляпунову. Если, кроме того, на множестве D ( ) ( ) 1 grad , , = ∂ = ≤ − ∂ ∑ n i i i V V f f W x x где ( ) 0 W x ≥ – некоторая непрерывная функция, обращающаяся в нуль только при 0 x = , то решение 0 x = асимптотически устойчи- во. Доказательство. Зададим произвольное (0; ) r ε ∈ и обозначим ε S поверхность шара x ε ≤ . Пусть ( ) min ε ε ∈ = x S V V x . (2) Выберем 0 δ > таким образом, чтобы при x δ ≤ выполня- лось неравенство ( ) ε ≤ V x V . (3) Такое δ существует, поскольку функция ( ) V x непрерывна при x ε ≤ и (0) 0 V = . Покажем, что всякое решение ( ) x t ϕ = , для которого выпол- нено ( ) 0 t ϕ δ < , определено при всех 0 t t ≥ и удовлетворяет нера- Основы теории устойчивости 145 венству ( ) t ϕ ε < , т. е. решение 0 x = будет устойчивым по Ляпу- нову. В самом деле, пусть непродолжаемое решение ( ) x t ϕ = опре- делено на интервале (m l ,m 2 ), где 2 < +∞ m . Тогда по свойству не- продолжаемых решений это возможно лишь, если траектория ( ) x t ϕ = пересекает поверхность ε S (в противном случае при всех 0 2 ≤ < t t m выполняется неравенство ( ) t ϕ ε < и график решения ( ) x t ϕ = не может выйти за пределы замкнутого ограниченного множества 0 2 , ε ≤ ≤ < x t t m ). Таким образом, траектория ( ) x t ϕ = пересекает поверхность ε S Обозначим 1 1 0 ( ) t t t > – наименьшее значение параметра t, при котором траектория впервые достигает поверхности ε S . Рас- смотрим сложную функцию ( ) ( ) V t ϕ . В силу условий леммы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∂ ∂ = = ≤ ∂ ∂ ∑ ∑ n n i i i i i i d V V V t t f t dt x x , т. е. функция ( ) ( ) V t ϕ не возрастает. Но тогда в силу (2) и (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , ε ε ϕ ϕ > ≥ ≥ V V t V t V что невозможно. Следовательно, решение ( ) x t ϕ = определено при всех 0 t t ≥ , и его траектория не может достигать поверхности ε S , т.е. при всех верно неравенство ( ) t ϕ ε < . Первое утверждение леммы доказано. Докажем второе утверждение. Зададим произвольное 0 ε > Выберем 0 δ > так же, как это делалось выше. Тогда для любой траектории ( ) x t ϕ = , для которой ( ) 0 t ϕ δ < , имеет место неравен- ство ( ) t ϕ ε < . Рассмотрим снова функцию ( ) ( ) V t ϕ . Покажем, что ( ) ( ) lim 0 t V t ϕ →+∞ = . В самом деле, допустив противное, мы придем к Глава 6 146 заключению, что у невозрастающей неотрицательной функции ( ) ( ) V t ϕ существует положительный предел ( ) ( ) lim 0 ϕ →+∞ = > t V t A (4) Заметим, что тогда ( ) 0 ( ) , V t A t t ϕ ≥ ≥ , а значит, существует постоянная 0 σ > такая, что 0 ( ) , t t t ϕ σ > ≥ . Действительно, ес- ли это не так, найдется последовательность 0 ≥ k t t , для которой ( ) ( ) ( ) 0 0 k k t V t ϕ ϕ → ⇒ → поскольку (0) 0 V = , что противоре- чит (4). Таким образом, для всех 0 t t ≥ верно ( ) t σ ϕ ε ≤ ≤ . По условию леммы ( ) 0 W x σ ε ≤ ≤ > . Поэтому существует постоянная 0 α > такая, что ( ) W x σ ε α ≤ ≤ ≥ и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , n n i i i i i i d V V V t t f t W dt x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α = = ∂ ∂ = = ≤ − ≤ − ∂ ∂ ∑ ∑ . (5) Интегрируя неравенство (5) в пределах от 0 t до t , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim t V t V t t t V t ϕ ϕ α ϕ →+∞ − ≤ − − ⇒ = −∞ , что противоречит ( ) 0 V x ≥ . Таким образом, ( ) ( ) lim 0 t V t ϕ →+∞ = . (6) Докажем теперь, что ( ) lim 0 t t ϕ →+∞ = . Предположим противное, т.е. существуют постоянная 0 η > и последовательность , → +∞ n t для которых, ввиду (0) 0 V = , верно ( ) n t ϕ η ≥ . Функция ( ) 0 V x η ε ≤ ≤ > , поэтому найдется постоянная 0 β > , для которой имеет место неравенство ( ) 0 V x σ ε β ≤ ≤ ≥ > , откуда следует ( ) ( ) 0 V t ϕ β ≥ > , что противоречит (6). Итак, ( ) lim 0 ϕ →+∞ = t t , т.е. положение равновесия 0 x = асим- птотически устойчиво. Замечание . Для облегчения последующих вычислений заметим, что каково бы ни было решение ( ) x x t = системы уравнений (1), имеет место тождество Основы теории устойчивости 147 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , ( ) ( ) = ∂ = ∂ ∑ n i i i V d x t f t x t V x t dt x Пример . Рассмотрим динамическую систему 4 2 , = = − x xy y x y . Положим 2 4 ( , ) = + V x y x y , т.е. ( ) , 0 V x y ≥ для всех ( , ) x y и обращается в нуль только при 0 x y = = . Кроме того, 4 2 2 4 2 0 ∂ ∂ − = − ≤ ∂ ∂ V V xy x y x y x y Поэтому, в силу доказанной выше леммы Ляпунова, положение равновесия 0 x y = = рассматриваемой системы устойчиво по Ля- пунову. § 4. Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова). Теорема Ляпунова Пусть 0 x = – положение равновесия нормальной системы дифференциальных уравнений ( ) x f t x = , , (1) правая часть которой удовлетворяет условиям теорем существова- ния и единственности и имеет вид ( ) ( ) ( ) f t x A t x F t x , = + , , где ( ) ( ) i j A t a t = – квадратная матрица, а ( ) 0 lim 0 x F t x x → , = . Определение . Линейная однородная система дифференци- альных уравнений ( ) x A t x = называется первым приближением или линеаризацией исходной системы уравнений (1) в окрестности точки 0 x = Заметим, что согласно предположениям ( ) 0 0 F t , = , а ( ) ( ) 0 i i j j f a t t x ∂ = , ∂ – элементы матрицы Якоби. Далее рассмотрим частный случай, когда матрица ( ) ( ) i j A t a t = постоянна. Глава 6 148 Теорема 2 (Ляпунова). Пусть имеется нормальная система уравнений ( ) ( ) ( ) , 0 0 , = + , , = x Ax F t x F t (2) где A – постоянная матрица. Пусть также при всех 0 t t ≥ и доста- точно малом x ( ) 1 , , 0 α α + , ≤ > F t x M x M Тогда положение равновесия 0 x = системы уравнений (2) а) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все собст- венные значения матрицы A имеют отрицательные действитель- ные части; б) неустойчиво, если среди собственных значений матрицы A имеется хотя бы одно с положительной действительной частью. Доказательство этой теоремы в общем случае мы не приводим. Его можно найти, например, в [2]. Далее доказательство будет про- ведено лишь для скалярного случая. Замечание . Если все собственные значения матрицы A нулевые или чисто мнимые, либо часть собственных значений имеет отри- цательную действительную часть, а остальные – нулевые или чисто мнимые, то сформулированная теорема ответа на вопрос об устой- чивости или неустойчивости не дает. Пример . Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений вида (2): 2 , 2 3 1 1 = − − + = − + + + xy y x x y y x y t t При 0 t ≥ выполнены все условия теоремы Ляпунова, так как матрица 1 1 2 3 A − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ имеет собственные значения 1,2 2 λ = − ± i . Поэтому положение равновесия 0 x y = = асимптотически устой- чиво. При исследовании устойчивости положения равновесия по первому приближению важно иметь возможность установить тот факт, что все собственные значения действительной матрицы A , т. е. все корни характеристического многочлена имеют отрица- тельные действительные части. Известна следующая терема. Основы теории устойчивости 149 Теорема 3 (Гурвица). Для того чтобы все корни многочлена 1 1 1 ( ) − − = + + + + n n n n n P z z a z a z a … с действительными коэффициен- тами имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные (угловые) миноры матрицы ( ) 1 3 2 1 5 4 3 2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 0 0 0 1 0 0 , 0, k n n n n n a a a a a a a a a k n a a a a a − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = > ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … … … … … … … … были положительными, т. е. 1 1 1 2 3 2 1 3 2 1 5 4 3 2 1 2 1 2 2 2 3 2 4 1 0, 0, , 1 0 0 0 1 0 0 0. − − − − − Δ = > Δ = > Δ = = Δ > n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a … … … … … … … … … … … Последнее условие можно заменить условием 0 > n a , т.е. для многочлена второй степени 2 2 1 2 ( ) = + + P z z a z a имеем 1 0 a > , 2 0 > a , а для многочлена третьей степени 3 2 3 1 2 3 ( ) = + + + P z z a z a z a нужно 1 1 2 3 3 0, 0, 0 > − > > a a a a a § 5. Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости Пусть задано автономное уравнение ( ) dx V x dt = , (3) т.е. уравнение, правая часть которого не содержит t явно. Каждый корень уравнения ( ) 0 V x = является решением уравнения (3). Не ограничивая общности, будем считать, что уравнение (3) имеет стационарное решение 0 x x = , т.е. ( ) 0 0 V x = . Стационарное реше- Глава 6 150 ние является решением задачи Коши, когда для уравнения (3) зада- ется начальное условие 0 (0) = x x (4) Естественным является вопрос об устойчивости этого реше- ния по Ляпунову, т.е. устойчивости относительно малых возмуще- ний начального условия, когда вместо условия (4) для уравнения (3) ставится дополнительное условие (0) δ = x x (5) Определение . Стационарное решение 0 ( ) = x t x задачи (3)–(4) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0 ε > существует ( ) 0 δ ε > такое, что при 0 δ δ − < x x для всех 0 t ≥ существует ( ) x t – решение задачи (3), (5) такое, что 0 ( ) x t x ε − < . Стационарноерешение называется асимптотически ус- тойчивым , если оно устойчиво и удовлетворяет дополнительному требованию 0 ( ) → x t x при t → ∞ . Решение, не являющееся устойчивым, называется неустой- чивым . Определение неустойчивости решения может быть дано как отрицание приведенного выше определения устойчивости. Ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости ста- ционарного решения задачи (3)–(4) следует из более общей теоре- мы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Теорема 4 . Пусть 0 ( ) 0 = V x и функция ( ) V x непрерывна вместе с производной в некоторой окрестности 0 x x μ − ≤ . Тогда решение задачи (3), (4) 0 = x x будет устойчивым, если 0 ( ) 0 < x V x , и неустойчивым, если 0 ( ) 0 > x V x Доказательство. 1.Асимптотическая устойчивость.Пусть 0 ( ) 0 < x V x . Тогда для 0 ε ∀ > выберем 0 δ > так, что min( , ) δ μ ε < . Определим функции ( ) t α и ( ) t β с помощью следующих выражений: 0 0 ( ) , ( ) α δ β δ − − = − = + pt pt t x e t x e , Основы теории устойчивости 151 где 0 p > – постоянная. Покажем теперь, что при достаточно ма- лых δ и p функции ( ) t α и ( ) t β являются соответственно нижним и верхним решениями задачи (3), (5), если 0 x x δ δ − < . Тогда, в си- лу теоремы Чаплыгина о существовании и единственности (Теоре- ма 4 § 4 гл. 2), решение задачи (3), (5) существует и удовлетворяет неравенствам ( ) ( ) ( ) t x t t α β < < при 0 t ≤ < ∞ , из которых следует, что для 0 = x x выполняется определение асимптотической устой- чивости. Проверим выполнение соответствующего дифференциально- го неравенства для ( ) t β . Учитывая, что ( ) 0 0 V x = , получим: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 β β δ δ δ δ − − − − − = − − + = = − − + + − = pt pt pt pt d V t pe V x e dt pe V x e V x V x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 δ δ δ δ − − = − − ⎡ ⎤ = − − + − − = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − − + − = ⎣ ⎦ pt pt pt pt pe V x e V x V x pe V x e V x (по теореме Лагранжа) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 δ θδ δ δ θδ − − − − − = − − + = = − − − + + = pt pt pt x pt pt x x x pe V x e e e p V x V x e V x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 δ θδ − − ⎡ ⎤ = − − − + − ⎣ ⎦ pt pt x x x e p V x V x e V x , где 0 1 θ ≤ ≤ Выберем δ таким малым, чтобы ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 θδ η − − + − ≤ < x pt x x V x V x e V x , тогда ( ) ( ) ( ) 0 2 β β δ − ⎛ ⎞ − ≥ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x pt V x d V t e p dt Полагая ( ) 0 0 2 − < < x V x p и учитывая, что 0 ( ) 0 < x V x , полу- чим ( ) ( ) 0 d V t dt β β − > , т.е. ( ) t β – верхнее решение. Глава 6 152 Аналогично проверяется неравенство ( ( )) 0 d f t dt α α − < (сде- лайте это самостоятельно), т.е. ( ) t α – нижнее решение. Первая часть теоремы 4 доказана. 2.Неустойчивость.Пусть 0 ( ) 0 > x V x . Покажем, что 0 ε ∃ > такое, что для 0 δ ∀ > 0 , δ δ δ ∃ − < x x x такое, что 0 t ∃ > , при котором решение задачи (3), (5) ( ) x t отклонится от стационарного решения больше чем на ε : ( ) 0 x t x ε − > . Это будет означать, что стацио- нарное решение задачи (3), (4) является неустойчивым. Рассмотрим интервал 0 δ δ − < x x и построим нижнее реше- ние задачи (3), (5) в виде ( ) 0 ( ) 1 α ρ σ − = + − pt t x e , где 0 ρ μ < < , 0 1 σ < < , 0 p > – постоянные. Поскольку 0 (0) (1 ) α ρ σ = + − x , то выбирая σ достаточно близким к единице, можно получить (0) α меньше любого 0 : δ δ δ − < x x x . При t → ∞ 0 ( ) α ρ → + t x снизу, и, следователь- но, для t больших некоторого * t выполнено неравенство 0 ( ) 2 α ρ > + t x . В силу теоремы сравнения Чаплыгина (Теорема 3 § 4 гл. 2) решение ( ) x t задачи (3), (5) (если оно существует) откло- нится от стационарного решения сильнее чем на величину 2 ε ρ = , т.е. ( ) ( ) 0 0 2 α ρ − > − > x t x t x .Это и означает неустойчивость стационарного решения. Остается проверить, что ( ) t α удовлетворяет неравенству из определения нижнего решения. Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 α α ρσ α ρσ α − − − = − = = − + − = pt pt d V t pe V t dt pe V t V x V x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ρσ α ρσ α − − ⎡ ⎤ = − − − = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − − = ⎣ ⎦ pt pt pe V t V x V x pe V t V x (по теореме Лагранжа) Основы теории устойчивости 153 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 pt pt pt x pe V x e e ρσ θρ σ ρ σ − − − = − + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 , pt pt x pt pt x x V x e pe V x V x e e ρ σ ρσ θρ σ ρ σ − − − − = − − + + ⎡ ⎤ + − + − − ⎣ ⎦ где 0 1 θ ≤ ≤ . Поэтому ( ) ( ) 0 ( ( )) 1 α α ρ σ ρσ − − − = = − − + + pt pt x d f t dt V x e pe ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 θρ σ ρ σ − − ⎡ ⎤ + − + − − ⎣ ⎦ pt pt x x V x V x e e Теперь, выбирая ρ достаточно малым, получим ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ρσ θρ σ ρ σ − − − ⎡ ⎤ + − + − − < ⎣ ⎦ pt pt pt x x pe V x V x e e ( ) ( ) 0 1 , ρ σ − < − pt x V x e т.е. ( ( )) 0 d f t dt α α − < . Этим завершается доказательство второй час- ти теоремы 4. Пример. Рассмотрим уравнение (3) в случае, когда ( ) ( ) 2 1 V x x x = − и исследуем устойчивость его стационарных точек. Получаем три стационарные точки: 1 x = ± и 0 x = . Производная равна ( ) 2 3 1 x V x x = − . В стационарных точках ( 1) 2 0 ± = > x V , ( ) 0 1 0 x V = − < . Следовательно, стационарные точки 1 x = ± – неус- тойчивые, а стационарная точка 0 x = – асимптотически устойчи- вая. Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Решите задачу Коши , (0) 1 y y t y = − + = . Используя определе- ние устойчивости по Ляпунову, исследуйте устойчивость по- лученного решения. 2. Решите задачу Коши , (0) 0 y y t y = + = . Используя опреде- ление устойчивости по Ляпунову, исследуйте устойчивость полученного решения. Глава 6 154 3. Найдите точки покоя уравнения 2 = − y y y и исследуйте их ус- тойчивость. 4. Найдите точки покоя уравнения 3 = − y y y и исследуйте их ус- тойчивость. 5. Найдите точки покоя уравнения sin y y = и исследуйте их ус- тойчивость. 6. Решите задачу Коши для системы , (0) 1, , (0) 1. = − = ⎧ ⎨ = = − ⎩ x y x y x y Используя определение устойчивости по Ляпунову, исследуйте ус- тойчивость полученного решения. 7. Исследуйте устойчивость точки покоя (0,0) системы 2 3 , ⎧ = − − ⎪ ⎨ = − ⎪⎩ x y x y x y а) по первому приближению; б) методом функций Ляпунова, выбрав 2 2 ( , ) = + V x y x y . 8. Исследуйте устойчивость точки покоя (0,0) системы , sin = ⎧ ⎨ =− ⎩ x y y x а) по первому приближению; б) методом функций Ляпунова, выбрав ( ) 2 ( , ) 2 1 cos = − + V x y x y 9. Методом функций Ляпунова исследуйте устойчивость точки по- коя ( ) 0,0 динамической системы { 4 2 , = = − x xy y x y , выбрав 2 4 ( , ) = + V x y x y . 10. Исследуйте на устойчивость положение равновесия ( ) 0,0 O системы 2 , 1 2 3 1 ⎧ = − − + ⎪⎪ + ⎨ ⎪ = − + ⎪ + ⎩ xy x x y t y y x y t |