Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 1. Общие свойства систем линейных ОДУ Определение 1 . Нормальной системой линейных диффе- ренциальных уравнений называется система вида ( ) ( ) x A t x F t = + , (1) где ( ) A t – квадратная матрица ( ) n n × , а ( ) { } 1 ( ), , ( ) n F t f t f t = … – заданная вектор-функция, определенные при [ ] , t a b ∈ , ( ) { } 1 ( ), , ( ) n x t x t x t = … Везде далее предполагается, что элементы ( ) ij a t матрицы ( ) A t , а также функции ( ) i f t непрерывны на отрезке [ ] , a b Определение 2 . Однородной системой линейных диффе- ренциальных уравнений , соответствующей системе (1), называется система уравнений ( ) x A t x = (2) Сформулируем и докажем несколько теорем, устанавливаю- щих наиболее важные свойства решений систем линейных уравне- ний, и являющихся следствием линейности операций дифференци- рования и умножения матриц. Теорема 1 Любая линейная комбинация решений одно- родной системы (2) также является решением этой системы. Доказательство. Пусть ( ) 1 1 x A t x = и ( ) 2 2 x A t x = . По- ложим 1 2 x x x α β = + , тогда ( ) 1 2 1 2 α β α β = + = + = d x x x x x dt ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 A t x A t x A t x x A t x α β α β = + = + = Системы линейных дифференциальных уравнений 99 Теорема 2 . Разность любых двух решений неоднородной сис- темы (1) есть решение однородной системы (2). Доказательство. Пусть ( ) ( ) 1 1 x A t x F t = + и ( ) ( ) 2 2 x A t x F t = + Тогда, вычитая, получим ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 d x x x x A t x A t x A t x x dt − = − = − = − Следствие . Сумма любого (частного) решения неоднород- ной системы (1) и решения соответствующей однородной системы (2) есть решение неоднородной системы (1). Сформулируем правило сложения решений неоднородной системы линейных уравнений, которое применяется при практиче- ском нахождении решений неоднородной системы. Теорема 3 . Если ( ) ( ) 1 1 1 x A t x F t = + и ( ) ( ) 2 2 2 x A t x F t = + , то их линейная комбинация 1 2 x x x α β = + – решение системы урав- нений ( ) ( ) ( ) 1 2 x A t x F t F t α β = + + Доказательство проведите самостоятельно. Теорема 4 (существования и единственности для линейной системы). Решение задачи Коши для системы (1) с начальным условием ( ) 0 0 x t x = существует и единственно на любом отрезке [ ] 0 , [ , ] t T a b ⊂ Доказательство. Сформулированный результат следует из того, что функции ( ) 1 2 1 1 2 2 , ,..., , ( ) ( ) ( ) ( ) i n i i i in n G x x x t f t a t x a t x a t x = + + + + непрерывны, имеют ограниченные непрерывные частные производ- ные по переменным i x и, следовательно, удовлетворяют условию Липшица в полосе [ , ] t a b ⊂ , i x −∞ < < ∞ . Поэтому применима тео- рема существования и единственности решения нормальной систе- мы, где постоянная Липшица , , [ , ] m ax m ax ( ) i j i j a b N a t ⎡ ⎤ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Замечание . Поскольку ( ) 0 x t = очевидно есть решение (2), то реше- ние ( ) x t однородной линейной системы с непрерывной матрицей ( ) A t тождественно равно нулю на всем отрезке [ , ] a b , если оно рав- Глава 4 100 но нулю в какой-либо точке этого отрезка. Это следует из Теоре- мы 4. § 2. Однородная система 1 0 . Линейная зависимость системы вектор-функций. Определи- тель Вронского Пусть задана совокупность n решений 1 ( ), , ( ) n x t x t … одно- родной системы ( ) x A t x = , (2) определенных на отрезке [ ] , t a b ∈ Определение 3 . Решения 1 ( ), , ( ) n x t x t … однородной системы (2) называются линейно зависимыми на отрезке [ ] , a b , если сущест- вует постоянный вектор { } 1 2 , ,..., , 0 n С c c c C = ≠ такой, что ( ) [ ] 0, , . X t С t a b ⋅ ≡ ∈ Если последнее равенство выполняется лишь в случае 0 С = , то решения 1 ( ), , ( ) n x t x t … называются линейно независимыми. Определение 4 . Определитель ( ) ( ) det t X t Δ = матрицы ( ) ( ) 1 ( ), , ( ) n X t x t x t = … , столбцами которой являются решения системы (2) называется определителем Вронского совокупности решений { } 1 ( ), , ( ) n x t x t … 2 0 . ФСР однородной системы и ее свойства Определение 5 . Совокупность n линейно независимых на отрезке [ ] , a b решений 1 ( ), , ( ) n x t x t … однородной линейной системы (2) называется фундаментальной совокупностью решений (ФСР), а матрица ( ) ( ) 1 ( ), , ( ) n W t x t x t = … , столбцами которой являются эти решения – фундаментальной матрицей. Системы линейных дифференциальных уравнений 101 Теорема 5 Определитель Вронского ( ) detW t фундамен- тальной матрицы определенной на отрезке [ ] , t a b ∈ , (т.е. составлен- ной из столбцов ФСР на отрезке [ ] , a b ) отличен от нуля во всех точ- ках этого отрезка. Доказательство. Предположим обратное, т.е. пусть ( ) 0 det 0 W t = в некоторой точке [ ] 0 , t a b ∈ . Рассмотрим систему n линейных одно- родных уравнений относительно компонент вектора { } 1 , , n C c c = … : ( ) 0 0 W t C = (3) Так как определитель этой системы ( ) 0 det 0 W t = , то сущест- вует нетривиальное решение 0 C ≠ системы уравнений (3). Это оз- начает, что столбцы матрицы ( ) 0 W t – векторы ( ) ( ) 1 0 0 , , n x t x t … – линейно зависимы, что противоречит определению ФСР. Теорема 6 Пусть матрица ( ) A t непрерывна на отрезке [ ] , a b , и в какой-либо точке [ ] 0 , t a b ∈ векторы 1 0 0 ( ), , ( ) n x t x t … ли- нейно независимы. Тогда совокупность решений { } 1 ( ), , ( ) n x t x t … линейно незави- сима на всем отрезке [ ] , a b . Доказательство. Докажем, что при каждом фиксированием [ ] , t a b ∈ равенство ( ) 0 W t C = выполняется лишь при 0 C = . Пред- положим обратное, т.е. пусть при некотором [ ] 1 , t a b ∈ существует такой вектор 0 C ≠ , что ( ) 1 0 W t C = . Тогда линейная комбинация ( ) ( ) 1 x t W t C = есть решение системы (2), удовлетворяющее усло- вию ( ) 1 0 x t = . Согласно теореме 4 ( ) [ ] 0, , x t t a b ≡ ∈ . В частности, для 0 t t = ( ) ( ) 0 0 0 x t W t C = = , т. е. векторы 1 0 0 ( ), , ( ) n x t x t … линейно зависимы, что противоречит условию. Глава 4 102 Следствие Пусть { } 1 ( ), , ( ) n x t x t … – любая совокупность решений системы (2), определенных на отрезке [ ] , a b . Определи- тель Вронского этой совокупности решений либо отличен от нуля во всех точках отрезка [ ] , a b (если он отличен от нуля хотя бы в одной точке этого отрезка), либо тождественно равен нулю на всем отрезке [ ] , a b . В первом случае соответствующие решения однородной сис- темы (2) { } 1 ( ), , ( ) n x t x t … линейно независимы, во втором – линейно зависимы. Теорема 7 . Любое решение ( ) x t однородной системы (2) есть линейная комбинация столбцов ФСР: ( ) ( ) ( ) 1 = = = ∑ n k k k x t c x t W t C . Доказательство. Действительно, в точке [ ] 0 , t a b ∈ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = = = ∑ n k k k x t c x t W t C (4) Рассмотрим два решения однородной системы (2): ( ) x t и ( ) 1 = ∑ n k k k c x t . В силу (4) эти два решения удовлетворяют одному и то- му же начальному условию при 0 t t = . Следовательно, на основании Теоремы 5 ( ) ( ) ( ) 1 = = = ∑ n k k k x t c x t W t C при любом [ ] , t a b ∈ Замечание . Из Теоремы 8 следует, что общее решение однородной системы (2) имеет вид ( ) ( ) ( ) 1 = = = ∑ n k k k x t c x t W t C , (5) где ( ) W t – фундаментальная матрица, C – произвольный постоян- ный вектор. Системы линейных дифференциальных уравнений 103 Следствие .Множество всех решений однородной системы (2) образует n-мерное векторное (линейное) пространство, базисом ко- торого может служить любая ФСР. Доказательство. При любых 1 , , n c c … выражение (5) представ- ляет собой решение системы (2), а в силу Теоремы 8 любое решение (2) может быть записано в виде (5). Поэтому (5) есть общее решение (2). Сумма двух решений (2) и произведение решения (2) на число есть снова решения этой системы. Кроме того, любая ФСР линейно независима и любое решение через нее линейно выражается. Следо- вательно, множество всех решений (2) образует n-мерное векторное пространство, базисом которого служит любая ФСР. Замечание . Так как каждый столбец матрицы ( ) ( ) 1 ( ), , ( ) n W t x t x t = … является решением системы (2), то фунда- ментальная матрица ( ) W t однородной системы (2) удовлетворяет матричному уравнению ( ) dW A t W dt = ⋅ и может быть определена как решение этого уравнения с условием ( ) [ ] det 0, , W t t a b ≠ ∈ Теорема 8 . Линейная однородная система (2) имеет ФСР. Доказательство. Определим фундаментальную матрицу (и, следовательно, ФСР) как решение задачи Коши ( ) ( ) 0 , , det 0 dW A t W W t B B dt = ⋅ = ≠ . В силу следствия из Теоремы 7 ( ) det 0 W t ≠ при всех [ ] , . t a b ∈ Таким образом, ( ) W t – фундаментальная матрица, а ее столбцы образуют ФСР системы (2). Замечание В качестве фундаментальной матрицы удобно ис- пользовать ( ) ( ) W t t = Φ , где ( ) t Φ – решение специальной задачи Коши ( ) ( ) 0 , d A t t E dt Φ = ⋅ Φ Φ = , где E – единичная ( ) n n × матрица. Глава 4 104 § 3. Неоднородная система 1 0 . Общее решение неоднородной системы Рассмотрим неоднородную систему (1) ( ) ( ) x A t x F t = ⋅ + Пусть ( ) ч y t – некоторое частное решение этой системы. Теорема 9 Любое решение ( ) x t неоднородной системы (1) представимо в виде ( ) ( ) ( ) ч x t x t W t C = + ⋅ , где ( ) W t – фундаментальная матрица, C – произвольный постоян- ный вектор. Доказательство. Достаточно проверить подстановкой, что век- тор-функция ( ) ( ) ( ) ч z t x t x t = − является решением однородной сис- темы. 2 0 . Метод вариации постоянных (метод Лагранжа). Матрица Коши Пусть матрица ( ) A t и вектор ( ) F t непрерывны на отрезке [ ] , a b , и известна ФСР однородной системы (2). Покажем, что тогда общее решение неоднородной линейной системы (1) может быть найдено с помощью квадратур. Пусть ( ) ( ) 1 , , n x t x t … – ФСР однородной системы (2), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , n W t x t x t = … – ее фундаментальная матрица. Как было по- казано выше, фундаментальная матрица ( ) W t является решением матричного уравнения ( ) ( ) ( ) W t A t W t = (6) Заметим, что определитель фундаментальной матрицы ( ) [ ] det 0, , W t t a b ≠ ∈ , и будем искать решение системы (1) в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = = ∑ n k k k x t c t x t W t C t (7) Дифференцируя (7) и подставляя Системы линейных дифференциальных уравнений 105 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t W t C t W t C t = + в (1), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W t C t W t A t W t C t F t ⎡ ⎤ + − = ⎣ ⎦ (8) В силу (6) квадратная скобка в (8) равно нулю, поэтому (8) принимает вид ( ) ( ) ( ) W t C t F t = (9) Так как ( ) det 0 W t ≠ , то существует обратная матрица ( ) 1 W t − . Тогда ( ) ( ) ( ) 1 C t W t F t − = , откуда ( ) ( ) ( ) 0 1 0 τ τ τ − = + ∫ t t C t W F d C , (10) где 0 C – произвольный постоянный вектор. Подставляя (10) в фор- мулу (7), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 t t x t W t C W t W F d τ τ τ − = + ∫ (11) Докажем, что (11) есть общее решение неоднородной системы (1). Так как 0 C – произвольный постоянный вектор, то, выбирая 0 0 C = , получим частное решение системы (1): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 τ τ τ − = ∫ t ч t x t W t W F d . Теперь (11) можно переписать в виде ( ) ( ) ( ) 0 = + ч x t x t W t C , (12) где 0 C – произвольный постоянный вектор. С другой стороны, ( ) ( ) 0 0 = x t W t C – общее решение однородной системы (2), и в силу Теоремы 8 формула (12) (следовательно, и (11)), дает общее реше- ние неоднородной системы (1). Покажем теперь, как с помощью представления (11) решить задачу Коши для системы (1): ( ) ( ) ( ) 0 0 , x A t x F t x t x = ⋅ + = Глава 4 106 Полагая в формуле (11) 0 t t = получим ( ) ( ) 0 0 0 0 x t W t C x = = , откуда ( ) 1 0 0 0 C W t x − = ⋅ Таким образом, решение задачи Коши для системы (1) дается формулой ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 τ τ τ − − = ⋅ + ∫ t t x t W t W t x W t W F d , или ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 τ τ τ − − = ⋅ + ∫ t t x t W t W t x W t W F d . Если обозначить ( ) ( ) ( ) 1 , W t W K t τ τ − = , то решение задачи Коши для системы (1) примет вид ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , τ τ τ = ⋅ + ∫ t t x t K t t x K t F d . Определение 6 Матрица ( ) ( ) ( ) 1 , K t W t W τ τ − = называет- ся матрицей Коши, "импульсной" матрицей или матрицантом. Замечание . Очевидно, что матрица Коши однозначно определя- ется как решение задачи Коши ( ) ( ) 0 0 , ( ) , = d K t t A t K t t dt , где ( ) 0 0 , K t t E = – единичная матрица. Следовательно, для построения матрицы Коши можно либо воспользоваться определением и фор- мулой (22), либо решить n векторных задач Коши: ( ) k k x A t x = , 0 0 ( ) 1 0 k x t k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ← ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1,2,..., k n = Теорема 10 . ФСР однозначно определяет нормальную фор- му линейной однородной системы, т.е. матрицу ( ) A t . Иначе гово- Системы линейных дифференциальных уравнений 107 ря, зная фундаментальную матрицу ( ) W t системы, можно одно- значно восстановить эту систему уравнений. Доказательство. Пусть задана фундаментальная матрица ( ) W t однородной системы (2). Тогда из (6) ( ) ( ) ( ) W t A t W t = => ( ) ( ) ( ) 1 − = A t W t W t Замечание . Общее решение неоднородной системы (1) одно- значно определяет эту систему. В самом деле ( ) ( ) ( ) 1 A t W t W t − = Далее, выбирая какое-нибудь частное решение ( ) ч x t системы (1), находим вектор ( ) ( ) ( ) ( ) = − ч ч F t x t A t x t . Рассмотрим теперь вопрос о степени гладкости решения ли- нейной неоднородной системы (1). По определению решение ( ) x x t = является дифференцируемой вектор-функцией переменного t на всем отрезке [ ] , a b . Может ли решение обладать большей глад- костью? Теорема 11 . Пусть матрица ( ) A t и вектор ( ) F t k раз дифференцируемы на отрезке [ ] , a b . Тогда любое решение ( ) x x t = системы (1) 1 k + раз дифференцируемо. Доказательство . Так как ( ) x t — дифференцируемая вектор- функция, то в правой части системы (1) при 1 k ≥ стоит дифферен- цируемая вектор-функция. Поэтому существует ( ) ( ) ( ) x A t x A t x F t = + + Если 2 k ≥ то в правой части только что полученного равенст- ва снова стоит дифференцируемая вектор-функция, и потому суще- ствует ( ) x t . Повторяя это рассуждение k раз, получим утверждение теоремы. Замечание . Если матрица ( ) A t и вектор ( ) F t бесконечно диф- ференцируемы, т. е. имеют на [ ] , a b производные всех порядков, то из доказанной теоремы следует, что и любое решение системы (1) бесконечно дифференцируемо. Глава 4 108 Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Могут ли указанные совокупности вектор-функций образовы- вать ФСР однородной системы линейных дифференциальных уравнений при [0; ) t ∈ +∞ ? Если да, то запишите соответст- вующую однородную систему: a) 1 2 2 1 , − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t x x t t ; б) 1 2 2 1 , − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t x x t t ; в) 1 2 1 1 , 1 t x x t + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; г) 1 2 , ( 1) t t t t e te x x e t e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; д) 1 2 cos sin , sin cos x x x x x x − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; е) 1 2 sin sin , cos cos x x x x x x − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; ж) 1 2 3 1 0 0 0 , sin , cos 0 cos sin x x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; з) 1 2 1 0 0 , sin 0 cos x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. Образует ли множество решений нормальной системы неод- нородных линейных обыкновенных дифференциальных урав- нений первого порядка линейное пространство? Если да, то какова его размерность и что можно взять в качестве базиса? Ответ обоснуйте. 3. Можно ли, зная ФСР однородной системы линейных обыкно- венных дифференциальных уравнений первого порядка, вос- становить матрицу этой системы? Если да, то опишите алгоритм. Если нет – обоснуйте. Системы линейных дифференциальных уравнений 109 4. Можно ли, зная общее решение неоднородной нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных урав- нений первого порядка, восстановить матрицу этой системы и ее правую часть? Если да, то опишите алгоритм. Если нет – обоснуйте. 5. Для уравнения 2 0 2 0 γ ω + + = x x x запишите эквивалентную нормальную систему линейных обыкновенных дифференци- альных уравнений первого порядка. 6. Сведите систему ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 , , ⎧ = + + ⎪ ⎨ = + + ⎪⎩ x a x a x f t x a x a x f t к одному дифференциальному уравнению второго порядка. 7. Найдите матрицу Коши системы линейных уравнений и запи- шите с ее помощью решение задачи Коши: а) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , 4 , ⎧ = + ⎪ ⎨ = − + ⎪⎩ x x f t x x f t 1 2 (0) 1, (0) 2 ; = = x x б) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 , 2 3 , ⎧ = − + ⎪ ⎨ = − + + ⎪⎩ x x f t x x x f t 1 2 (0) 1, (0) 1 . = − = x x |