Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим теперь частный случай линейного дифференци- ального уравнения – линейное однородное уравнение с постоянны- ми коэффициентами ( ) ( 1) 1 ( ) − = + + ... + = , n n n Ly y a y a y f x const. = i a (1п) 1 0 . Общее решение однородного уравнения Нетривиальные частные решения однородного уравнения ( ) ( 1) 1 0 const − = + + ... + = , = n n n i Ly y a y a y a (2п) будем строить в виде ( ) x y x Ce λ = , где 0 C ≠ и λ – постоянные (ме- тод Эйлера). Подставляя в (2п), получим: 1 1 ( ) 0 ( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = + + ... + ≡ = ⇒ = ⎣ ⎦ x n n x x n L Ce C a a e CM e M Определение . Многочлен 1 1 ( ) n n n M a a λ λ λ − = + + ... + , называ- ется характеристическим многочленом уравнения (1п), а уравне- ние 1 1 ( ) 0 λ λ λ − = + + ... + = n n n M a a (3п) называется характеристическим уравнением для (1п). Очевидно, что характеристическое уравнение имеет ровно n корней (с учетом кратности). Рассмотрим несколько возможных ва- риантов. Характеристическое уравнение (3п) имеет n различных (про- стых)корней 1 λ , 2 λ ,... λ n : ( ) 0 k M λ = . Каждому корню k λ соответ- ствует функция ( ) 1,2,..., λ = , = k x k y x e k n , которая является решени- ем однородного уравнения (2п) в силу (3п), так как ( ) 0 λ λ λ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ k k x x k L e M e Теорема 1 Пусть корни характеристического многочлена (3п) простые. Тогда функции ( ) 1,2,..., λ = , = k x k y x e k n образуют ФСР уравнения (2п). Глава 3 90 Доказательство. Для доказательства достаточно показать линей- ную независимость указанной системы функций. Предположим об- ратное, т.е. пусть существует набор констант 1 2 , , ... , n C C C , что 2 1 0 = ≠ ∑ n i i C и выполнено соотношение 1 2 1 2 0 λ λ λ + + + = n x x x n C e C e C e (4п) Положим, для определенности, 1 0 C ≠ . Разделим (4п) на 0 λ ≠ n x e и продифференцируем. Получим 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − + − + + − = n n n n x x x n n n n n C e C e C e Разделим последнее соотношение на 1 ( ) 0 λ λ − − ≠ n n x e и снова продифференцируем: 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 ( )( ) ( )( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − + − − + n n x x n n n n C e C e 2 1 ( ) 2 2 1 ( ) 0 . λ λ λ λ − − − − − − + − = n n x n n n C e Выполнив указанную процедуру 1 n − раз, будем иметь 1 2 ( ) 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ... ( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ λ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = x n n C e Отсюда следует, что 1 0 C = , так как 1 2 ( ) 0 λ λ − ≠ x e и все λ i различ- ны по предположению. Полученное противоречие доказывает теорему. Таким образом, в случае простых корней характеристическо- го уравнения общее решение однородного линейного дифференци- ального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид 1 ( ) λ = = ∑ k n x k k y x C e , где k λ – корни уравнения (3п). Замечание . В случае комплексных корней пару комплекснознач- ных функций ( ) ( ) α β α β + − , i x i x e e , отвечающих паре комплексно со- пряженных корней 1 , k k i i λ α β λ α β + = + = − , обычно заменяют функциями cos sin x x e x e x α α β β , и получают ФСР, содержащую только действительные функции. 1. Пусть характеристическое уравнение M ( ) 0 λ = (3п) имеет кратные корни, т.е. Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 91 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = − − − − s m k k k k s m M , где s k – кратность корня λ s , причем 1 2 + + ... + + ... + = s m k k k k n В этом случае ФСР выглядит иначе. Далее рассмотрим слу- чай, когда имеется один кратный корень. Теорема 2 . Пусть , 1, 2,..., i i k n p λ = = − – простые корни характеристического уравнения, а 1 k λ + – корень кратности p. Тогда корню 1 k λ + отвечает p линейно независимых частных решений уравнения (2п) 1 1 1 1 2 1 , , ... , k k k k p x x x x e xe x e x e λ λ λ λ + + + + − , , т.е. совокупность n функций 1 1 1 1 1 2 2 1 , , , ... , , , ... , k k k k k p x x x x x x x e e e e xe x e x e λ λ λ λ λ λ λ + + + + − , образуют ФСР однородного уравнения (2п). Доказательство. Покажем, что все указанные функции удовле- творяют однородному уравнению (2п). Это проверяется непосред- ственной подстановкой в уравнение (2п) функций системы 1 1 1 1 2 1 , , ... , λ λ λ λ + + + + − , k k k k p x x x x e xe x e x e Рассмотрим тождество ( ) λ λ λ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ x x L e M e и продифференци- руем его по λ . Применяя формулу Лейбница, получим ( ) ( ) λ λ λ λ λ ⎡ ⎤ ′ = + ⎣ ⎦ x x x L xe M e M xe , …. { } 1 ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ − ⎡ ⎤ ′ = + + ... + ⎣ ⎦ p x p p p x L x e x M px M M e . Если λ s – корень кратности s k , то ( 1) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 λ λ λ λ − ′ = , = , ... , = , ≠ s s k k s s s s M M M M Следовательно, 0 λ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ p x L x e при всех 0 1 1 s p k = , ,..., − , т.е. функции вида λ p x x e , где 0 1 1 = , ,..., − s p k , являются решениями од- нородного уравнения (2п). Вторую часть теоремы, т.е. линейную независимость указан- ных функций, можно доказать аналогично тому, как это было сдела- Глава 3 92 но в Теореме 1.В качестве упражнения докажите указанное утвер- ждение для случая корня кратности 2. Замечание . В случае комплексных корней каждую пару ком- плекснозначных функций ( ) α β + p i x x e и ( ) α β − p i x x e , отвечающих паре комплексно сопряженных кратных корней λ α β = + k i и 1 λ α β + = − k i , заменяют функциями cos α β p x x e x и sin α β p x x e x , по- лучая ФСР, содержащую только действительные функции. 2 0 . Неоднородное уравнение Напомним, что (см. §3) общее решение ( ) y x неоднородного линейного дифференциального уравнения представимо в виде сум- мы его частного решения ( ) y x и общего решения ( ) z x соответст- вующего однородного уравнения, т.е. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + ≡ + ∑ n i i i y x y x z x y x C y x , где 1 ( ), , ( ) n y x y x … есть ФСР, а 0 0 1 , , n C C … – произвольные посто- янные. Общие методы поиска частных решений линейных уравнений были рассмотрены в §3. Для уравнений с постоянными коэффициен- тами в случае специального вида правых частей частные решения могут быть эффективно получены еще несколькими способами. Метод неопределенных коэффициентов Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами. ( ) ( 1) 1 ( ) − = + + ... + = , n n n Ly y a y a y f x (5п) где ( ) ( ) λ = x l f x P x e , ( ) P x – многочлен степени l, λ – константа. Лемма 1 . Пусть 1 2 , , , , , λ λ λ λ s m … … – корни характеристиче- ского уравнения ( ) 0 M λ = кратностей 1 2 , , , , , s m k k k k … … , где 1 2 + + ... + + ... + = s m k k k k n Тогда: 1) Если ( 1 ) λ λ ≠ = ,..., s s m (нерезонансный случай) то частное решение уравнения (5п) ищем в виде ( ) ( ) λ = , x l y x Q x e Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 93 где ( ) l Q x – многочлен степени l, с неопределенными коэффициен- тами. 2) Если λ λ = s (кратности s k ) (резонансный случай), то част- ное решение уравнения (5п) ищем в виде ( ) ( ) λ = , s k x l y x x R x e где ( ) l R x – многочлен степени l с неопределенными коэффициен- тами. Подставляя искомый вид решений в (5п) и приравнивая коэф- фициенты при одинаковых степенях x , находим неопределенные коэффициенты многочленов ( ) l Q x и ( ) l R x (метод неопределенных коэффициентов). Примеры 1) 3 4 x y y e ′′ + = , 2 ( ) 4 0 M λ λ = + = , 1 2 2 3 i λ λ , = ± ≠ = , 3 = x y Ae ; 2) 3 4 ( 2) ′′ + = + x y y x e , 2 ( ) 4 0 M λ λ = + = , 1 2 2 3 i λ λ , = ± ≠ = , 3 ( ) = + x y Ax B e ; 3) 2 4 ( 2) ′′ − = + x y y x e , 2 ( ) 4 0 M λ λ = − = , 1 2 1 1 2 1, m λ λ λ , = ± , = = , 2 ( ) = + x y x Ax B e ; 4) 3 3 ( 2) − ′′′ ′′ ′ + + + = + x y y y y x e , 3 ( ) ( 1) 0 M λ λ = + = , 1 1 1 1 3, 1 m λ λ λ = − , = = = − ; 3 ( ) − = + x y x Ax B e ; 5) 2 4 cos 2 ± ′′ − = = ix y y x Ree , 2 ( ) 2 0 M λ λ = − = , 1 2 2 2 k i λ λ λ λ , = ± , = ± , ≠ , cos 2 sin 2 y A x B x = + ; 6) 2 4 cos 2 Re ± ′′ + = = ix y y x e , 2 ( ) 2 0 M λ λ = + = , ( ) cos2 sin 2 y x A x B x = + Замечание 1 . К уравнению с постоянными коэффициентами сво- дится однородное уравнение Эйлера ( ) 1 ( 1) 1 0 − − + + ... + = , n n n n n x y a x y a y если положить = t x e . Глава 3 94 Замечание 2 . Методом неопределенных коэффициентов решается неоднородное уравнение Эйлера со специальной правой частью ( ) (ln ) λ = f x S x x (переходящей при замене = t x e в функцию ( ) ( ) λ = t f t S t e ). Операторный метод Хевисайда Пусть d D dx = – оператор дифференцирования, тогда = k k k d D dx . Используя введенные обозначения, получим ( ) ( 1) 1 1 1 1 ( ) − − − = + + ... + = + + ... + + ≡ n n n n n n n n Ly y a y a y D y a D y a Dy a y P D y и запишем уравнение (5п) в виде ( ) ( ) = n P D y f x , а его частное решение как ( ) ( ) 1 = n y f x P D Свойства операторного многочлена ( ) n P D . 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = ⇔ = n n n n P D kv x kP D v x kv x k v x P D P D ; 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = ⇔ = kx kx kx kx n n n n e P D e P k e e P D P k ; 3. ( ) ( ) 2 2 sin sin cos cos ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = − ⇔ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ n n ax ax P D P a ax ax ( ) ( ) 2 2 sin sin 1 1 cos cos ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⇔ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ − ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ n n ax ax ax ax P D P a ; 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ⇔ kx kx n n P D e v x e P D k v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ⇔ = + kx kx n n e v x e v x P D P D k ; 5. 1 , ∈ n n N D – это операция n-кратного интегрирования; 6. ( ) ( ) 1 1 1 0 ( ) + + − + + ≡ > m m M m m M m a D a D a D P x M m ; Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 95 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) 1 1 > = ≡ + = k n k k k k n F x P D Q D R D Q D F x P D ; 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 + = + n n n k v x k v x k v x k v x P D P D P D ; 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 = v x v x F D F D F D F D Примеры 1) 4 4 4 4 1 , , ( ) 4 ′ = = = = ∫ x x x x y e Dy e y x e dx e ; 2) 4 2 3 ′′ ′ − − = x y y y e , ( ) 2 4 2 3 − − = x D D y e , ( ) 4 4 4 2 2 1 ( ) 5 2 3 4 2 4 3 = = = − − − ⋅ − x x x e e y x e D D ; 3) 9 sin 5 ′′ + = y y x , ( ) 2 9 sin 5 D y x + = , ( ) 2 2 1 sin5 1 ( ) sin5 sin 5 16 9 5 9 = = = − + − + x y x x x D ; 4) 7 IV y y x ′′ + = , ( ) 4 2 7 + = D D y x , ( ) 4 2 2 2 1 1 ( ) 7 7 1 = = + + y x x x D D D D Вычислим 2 1 7 1 + x D . Воспользуемся правилом деления мно- гочлена «столбиком»: 2 2 2 2 1 1 1 1 + − − + − D D D D Таким образом, 0 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 = ⎛ ⎞ = − = − = − = ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ D D x x x x x x D D D , откуда ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 7 ( ) 7 7 7 6 1 = = = = + ∫ ∫ x y x x x xdx dx D D D Глава 3 96 Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Сформулируйте и докажите теорему о структуре ФСР одно- родного линейного уравнения n-го порядка с постоянными ко- эффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. 2. Сформулируйте и докажите теорему о структуре ФСР одно- родного линейного уравнения n-го порядка с постоянными ко- эффициентами в случае наличия одного двукратного корня характеристического уравнения. 3. Образует ли множество решений однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами линейное пространство? Если да, то укажите его размерность и базис. Ответ обоснуйте. 4. Образует ли множество решений неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами линейное пространство? Если да, то укажите его размерность и базис. Ответ обоснуйте. 5. Найдите ФСР и общее решение однородного уравнения: 0 y y ′′ + = ; 0 y y ′′ − = ; 0 y y ′′′ + = ; 0 y y ′′′ − = ; 0 ′ − = V y y ; 0 y y ′′ ′ + = ; 0 y y ′′ ′ − = ; 0 y y ′′′ ′ + = ; 0 y y ′′′ ′′ + = ; 0 ′ ′′ − = V y y ; 4 4 0 y y y ′′ ′ + + = ; 6 9 0 y y y ′′ ′ − + = ; 3 3 0 y y y y ′′′ ′′ ′ + + + = ; 3 3 0 y y y y ′′′ ′′ ′ − + − = ; 4 5 0 y y y ′′ ′ + + = ; 2 5 0 y y y ′′ ′ − + = 6. Выпишите вид частного решения (с неопределенными коэф- фициентами) для неоднородного дифференциального уравне- ния ( ) y y f x ′′ + = , если: ( ) sin f x x = ; ( ) cos f x x x = ; ( ) cos 2 f x x = ; ( ) sin 2 f x x x = ; ( ) 3 − = x f x e ; 2 ( ) − = x f x x e ; 2 ( ) cos = x f x e x ; 2 ( ) 2 1 f x x x = − + 7. Выпишите вид частного решения (с неопределенными коэф- фициентами) для неоднородного уравнения ( ) y y f x ′′ ′ + = , если: ( ) sin f x x = ; ( ) cos f x x x = ; ( ) cos 2 f x x = ; ( ) sin 2 f x x x = ; Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 97 ( ) 3 − = x f x e ; 2 ( ) − = x f x x e ; 2 ( ) cos = x f x e x ; 2 ( ) 2 1 f x x x = − + 8. Выпишите вид частного решения (с неопределенными коэф- фициентами) для неоднородного дифференциального уравне- ния 4 5 ( ) y y y f x ′′ ′ + + = , если: 2 ( ) 2 1 f x x = + ; 2 ( ) x f x xe − = ; 2 ( ) x f x x e = ; ( ) cos f x x = ; ( ) sin f x x x = ; ( ) 3 sin 2 f x x x = ; 2 ( ) cos x f x e x − = ; 2 ( ) 2 sin x f x e x = |