Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 1. Линейное однородное уравнение Определение 1 . Линейным однородным уравнением в част- ных производных первого порядка будем называть уравнение вида ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 0 = ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ n i n i n i z z z z X x X x X x X x x x x x (1) или ( ) ( ) ( ) ,grad 0 X x z x = , где ( ) 1 2 n x x x x = , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 = , , , n X x X x X x X x . Определение 2 . Решением (1) называется функция ( ) = z x ( ) 1 2 , , , n z x x x , обладающая необходимыми частными производ- ными и обращающая (1) в тождество, ( ) 1 2 , ,..., ∈ n x x x D . Далее будем считать, что коэффициенты ( ) 1 , 1,2,..., , , = i n X x x i n в уравнении (1) удовлетворяют сле- дующим условиям: ( ) 1 2 1 1) ( ); 2) 0, = ∈ ≠ ∀ ∈ ∑ i n i i X C D X x x D (У1) Уравнения в частных производных первого порядка 191 Определение 3 . Характеристической системой, соответ- ствующей (1), называется система из n–1 уравнений ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 = = = n n dx dx dx X x X x X x (2) Определение 4 . Характеристиками уравнения (1) назы- ваются решения системы (2). Будем считать, что через каждую точку области D может проходить единственная характеристика – интегральная кривая системы (2), и характеристики можно задать в параметрической форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 = ⎧ ⎪ = = = = ⇒ ⎨ ⎪ = ⎩ n n n n x x t dx dx dx dt X x X x X x x x t ………… (У2) Определение 5 . Первым интегралом (2) называется функ- ция ( ) 1 2 Ψ , , , n x x x , принимающая постоянное значение, когда точка ( ) 1 2 , , , n x x x пробегает интегральную кривую (2). Первым интегралом также называется само выражение ( ) 1 2 Ψ , , , = n x x x C . § 2. Общее решение линейного уравнения в частных производных Теорема 1 . Пусть выполнены условия (У1) и (У2). Тогда 1) любое решение однородного уравнения (1) является пер- вым интегралом системы (2); 2) любой первый интеграл (2) является решением (1). Доказательство. 1) Пусть функция ( ) 1 2 = Ψ , , , n z x x x – решение уравнения (1), т.е. 1 1 2 1 0 ( ) ∂Ψ ∂Ψ + + ≡ ∀ , , , ∈ ∂ ∂ n n n X X x x x D x x В силу условия (У2) Глава 8 192 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + + + ≡ ⇒ ∂ ∂ ∂ ⇒ Ψ , , ≡ ⇒ Ψ , , , = n n n n dx dx dx x dt x dt x dt d x t x t x t x x x C dt и 1 2 ( ) Ψ , , , n x x x есть первый интеграл системы (2). 2) Пусть 1 2 ( ) Ψ , , , n x x x – первый интеграл (2), т.е. при всех t выполнено тождество ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) Ψ , , , = n x t x t x t C . Дифференци- руя его по t , получим 1 2 1 1 2 1 0 0 ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + + + = ⇒ + + ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n n n n dx dx dx X X x dt x dt x dt x x Указанное тождество выполняется вдоль характеристики. Так как в силу (У2) через каждую точку D проходит характеристи- ка, то последнее равенство выполняется тождественно в D, т.е. функция ( ) 1 2 = Ψ , , , n z x x x – решение уравнения (1). Замечание . На каждой характеристике решение линейного уравне- ния (1) принимает постоянное значение. Теорема 2 . Пусть известны 1 n − независимых первых инте- гралов системы (2) 1 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) − − Ψ , , = Ψ , , = n n n n x x C x x C … , причем ( ) 1 1 1 1 1 0, ( ) ( ) − − Ψ , , Ψ ≠ , , ∈ , , n n n D x x D D x x Тогда общим решением уравнения (1) является ( ) 1 1 − = Φ Ψ , ,Ψ n z , где Φ – произвольная дифференцируемая функция 1 n − аргументов. Другими словами, общее решение урав- нения (1) есть дифференцируемая функция 1 n − независимых пер- вых интегралов системы (2). Доказательство. 1) Докажем, что функция ( ) 1 2 = Ψ , , , n z x x x удовлетворяет уравнению (1). Подставив ее в (1), получим: Уравнения в частных производных первого порядка 193 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 .1 − − = = = = = ≡ ∀Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = = ∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ j n n n n n j j i i i i j i j i i i j j i T X X X x x x Следовательно, ( ) 1 2 n z x x x = Ψ , , , – решение (1). 2) Покажем, что любое решение уравнения (1) можно пред- ставить в виде ( ) 1 2 n z x x x = Ψ , , , . Подставим , j Ψ Ψ , 1,2,..., 1 j n = − в (1). Получим 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0, 0, 0 − − ∂Ψ ∂Ψ ⎫ + + = ⎪ ∂ ∂ ⎪ ∂Ψ ∂Ψ ⎪ + + = ⎪ ∂ ∂ ⎬ ⎪ ⎪ ∂Ψ ∂Ψ ⎪ + + = ⎪ ∂ ∂ ⎭ n n n n n n n n X X x x X X x x X X x x – однородная системы линейных алгебраических уравнений отно- сительно функций 1 ,..., n X X . Так как в силу условия (У1) в области D выполнено 2 1 0 = ≠ ∑ n i i X , то указанная однородная СЛАУ имеет ненулевое реше- ние, следовательно определитель ( ) 1 1 1 2 , 0 ( , ) − Ψ Ψ , , Ψ Δ = ≡ , , n n D D x x x в об- ласти D . Это означает, что функции 1 1 − Ψ, Ψ , , Ψ n зависимы, т.е. существует функция F такая, что ( ) 1 1 0 n F − Ψ,Ψ , ,Ψ = . Но по условию теоремы якобиан ( ) 1 1 1 1 0 ( ) − − Ψ , , Ψ ≠ , , n n D D x x , поэтому в силу из- вестных результатов математического анализа последнее уравне- ние можно разрешить относительно Ψ : ( ) 1 1 n z − = Ψ = Φ Ψ , ,Ψ , где Ф – некоторая дифференцируемая функция. Таким образом, функ- ция ( ) 1 1 n z − = Φ Ψ , ,Ψ является общим решением (1). Глава 8 194 § 3. Задача Коши 1 0 . Двумерный случай Зададим некоторую кривую ( ) ( ) x x s y y s = , = и поставим за- дачу построения решения уравнения (1) с дополнительным услови- ем (задача Коши): ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , 0, ( ). ϕ = = ∂ ∂ + = ∂ ∂ = x x s y y s z z X x y X x y x y z s Геометрически это означает, что нужно получить уравнение поверхности ( , ) z z x y = , удовлетворяющей (1) и проходящей через кривую ( ) ( ) x x s y y s = , = Найдем первый интеграл ( ) 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( ) Ψ = ⇒ Ψ , = x y C x s y s C . Из полученного соотношения выразим параметр ( ) 1 1 s w c = и подставим в начальное условие: ( ) ( ) 1 1 1 1 , ϕ =Ψ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ c x y z w c Если кривая, на которой задается начальная функция, гладкая и не совпадает с характеристикой, то каждая характеристика урав- нения пересекают эту кривую лишь в одной точке. Так как харак- теристики заполняют всю рассматриваемую область, то задача Коши имеет единственное решение в этой области: вдоль каждой из характеристик переносится то значение ( ) s ϕ , которое задано на начальной кривой ( ) ( ) x x s y y s = , = (вдоль характеристики реше- ние принимает постоянное значение). Если начальная кривая совпадает с характеристикой, то ис- комого решения может не существовать вовсе (если ( ) const ϕ ≠ s ), либо оно может быть не единственным (в случае ( ) const ϕ = s ). 2 0 . Постановка задачи и схема решения в общем случае Рассмотрим следующую задачу Коши: Уравнения в частных производных первого порядка 195 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , 1, 0 0, D , , , ϕ − = − = = ∂ = ≠ ∈ ∂ = ∑ i i n n i n i i n x x s s i n z X x X x x z s s … … Искомая функция задается на многообразии ко-размерности 1 (размерности 1 n − ), т.е. на гиперповерхности. Опишем алгоритм построения решения указанной задачи Коши. 1) Находим 1 n − независимых первых интегралов (2): ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − − ⎧Ψ , , = , ⎪ ⎨ ⎪Ψ , , = ⎩ n n n n x x C x x C 2) Подставляем в полученные выражения уравнение многообра- зия ( ) 1 1 , , , 1,2,..., i i n x x s s i n − = … = : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , − − − − − − ⎧Ψ , , = , ⎪⎪ ⎨ ⎪Ψ , , = ⎪⎩ n n n n n n n n x s s x s s C x s s x s s C … … … … 3) Исключаем 1 1 − , , n s s , что возможно, т.к. якобиан отличен от нуля: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − = , , , , = , , n n n n s w C C s w C C 4) Ищем решение в виде функции, задающей начальное усло- вие: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 , 1, 1 . ϕ − − − = , , , , , , , = Ψ , , = − n n n i i n z w C C w C C C x x i n Полученная функция и есть решение рассматриваемой зада- чи Коши. Убедимся в этом. Действительно, 1) это (в силу теоремы.2) – решение уравнения (1), т.к. частный случай ( ) 1 1 − = Φ Ψ , ,Ψ n z ; 2) оно удовлетворяет начальному условию ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , 1, , , ϕ − − = = = i i n n x x s s i n z s s … … Глава 8 196 Замечание . Если начальная кривая ( ) 1 1 , , , 1, − = = = i i n x x s s i n z … ( ) 1 1 , , ϕ − = n s s … является характеристикой, то решение задачи Коши либо не однозначно, либо не существует. 3 0 . Примеры Пример 1 . Рассмотрим линейное уравнение 0 z z y x x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ Найдем первый интеграл системы для характеристик ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 0 , = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − ⇒ Ψ = + = dx dy ydy xdx d x y y x x y x y C Таким образом, характеристиками являются окружности, и общее решение уравнения имеет вид ( ) ( ) 2 2 2 2 = + = Φ = Φ + C x y z C x y Пример 2 . Рассмотрим теперь задачу Коши 2 1 0 1 ( ) ϕ = , = ∂ ∂ − = = + = ∂ ∂ x y s z z y x z s s x y , т.е. требуется найти интегральную поверхность, проходящую через кривую 2 1 1 ( ) ϕ = , = = + = x y s z s s (ветвь гиперболы). Подставим 1, x y s = = в полученный в примере 1 инте- грал 2 2 x y C + = и найдем 2 2 2 2 2 2 1, 2 2 1 1 1 1 = = = + Ψ = + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ ⇒ = + − = = + x y s C x y x y C s C s C z C C x y Таким образом, решение 2 2 = + z x y задачи Коши сущест- вует и единственно. С точки зрения геометрии полученное реше- ние описывает часть конической поверхности. Уравнения в частных производных первого порядка 197 § 4. Квазилинейное уравнение 1 0 . Постановка задачи Определение . Уравнение в частных производных первого порядка ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 ∂ ∂ , , , , + + , , , , = ∂ ∂ n n n n z z X x x x z X x x x z x x ( ) 1 2 = , , , , n X x x x z (1) называется квазилинейным. Будем искать решение ( ) 1 ,..., = Ψ n z x x уравнения (1) в неяв- ном виде ( ) 1 ,..., , 0 = n V x x z . Предположим, что последнее уравне- ние можно разрешить относительно z , т.е. существует функция ( ) 1 ,..., n z x x = Ψ . Пусть, кроме того 1 ( ) 0 =Ψ , , ∂ ≠ ∂ n z x x V z в области D , тогда существуют производные ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ i i V x z V x z Подставляя в (1) и умножая на V z ∂ ∂ , получим линейное од- нородное уравнение для функции ( ) 1 ,..., , n V x x z : ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 ∂ ∂ , , , , + + , , , , + ∂ ∂ n n n n V V X x x x z X x x x z x x ( ) 1 1 2 ( ) 0 . =Ψ , , ∂ + , , , , = ∂ n n z x x V X x x x z z (2) 2 0 . Алгоритм построения решения квазилинейного уравнения 1) Квазилинейному неоднородному уравнению (1) сопостав- ляем линейное однородное уравнение (2) относительно функции ( ) 1 2 , ,..., , n V x x x z : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 ∂ ∂ ∂ , , , + + , , , + , , , = ∂ ∂ ∂ n n n n n V V V X x x z X x x z X x x z x x z Глава 8 198 Для полученного уравнения (2) записываем систему уравне- ний характеристик: 1 1 = = = n n dx dx dz X X X (3) Ее решения – интегральные кривые в пространстве ( ) 1 , , , n x x z . 2) В соответствии с изложенным выше, ищем общее решение линейного однородного уравнения (2) как функцию от n первых интегралов системы (3) 1 1 1 1 ( ) , ( ) Ψ , , , = Ψ , , , = n n n n x x z C x x z C в виде ( ) 1 = Φ Ψ , ,Ψ n V 3) Формула ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 0 = Φ Ψ , , , , ,Ψ , , , = n n n V x x z x x z да- ет решение ( ) 1 ,..., = Ψ n z x x поставленной задачи в неявной форме. Замечание 1 . Решения, удовлетворяющие лишь системе (2) на- зываются специальными и могут не содержаться в полученной формуле. Замечание 2 . Схема решения задачи Коши аналогична схеме для линейной задачи. Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Найдите общее решение уравнения 0 z z y x x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ 2. Найдите решение задачи Коши 2 1 0, 1 ( ) ϕ = , = ∂ ∂ − = = + = ∂ ∂ x y s z z y x z s s x y 3. Найдите общее решение и решение задачи Коши 0 + = x y z cz , 0 | ( ) ϕ = = y z x . 4. Найдите общее решение и решение задачи Коши 0 − = x y yz xz , 2 1 | = = x z y Список литературы 199 Список литературы 1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференци- альные уравнения. Учебник для вузов. – 5-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. –7-е изд. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные урав- нения. –5-е изд. – М.: Наука, 1984. 4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – М.: Высшая школа, 1990. 5. Волков В.Т., Ягола А.Г. «Интегральные уравнения. Вариа- ционное исчисление (курс лекций).» – М.: КДУ, 2009. Список литературы 200 Учебное издание НЕФЕДОВ Николай Николаевич ПОПОВ Виктор Юрьевич ВОЛКОВ Владимир Тарасович ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс лнкций Подписано в печать 16.03.2016 г. Формат 60х90/16. Объем 12,5 п.л. Тираж 500 экз. Заказ № Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 Отпечатано в ППП Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6 |