Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными коэффициентами 11 12 21 22 , ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ dx a x a y dt dy a x a y dt (1) Точка покоя этой системы – начало координат 0 x y = = . Ха- рактеристическое уравнение имеет вид: ( ) ( ) 11 12 21 22 2 2 11 22 11 22 12 21 0 Tr det 0. λ λ λ λ λ λ − = ⇔ − − + + − ≡ − + = a a a a a a a a a a A A При решении последнего уравнения возможны следующие варианты. 1) Вещественные различные ненулевые собственные значе- ния. В этом случае в некоторой системе координат общее решение системы (1) имеет вид 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 , , где ln λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t t x x x C e y C e t y C C C а) Пусть 1 2 0 λ λ < < , тогда 2 2 1 1 1 2 0, 1 1 2 2 1 0, 0, λ λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ > < ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ = → = → = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t t t t x x C e y C e y C C В этом случае точка покоя 0 x y = = – устойчивый узел – асимпто- тически устойчива. б) Пусть 1 2 0 λ λ < < , тогда 2 2 1 1 1 2 0, 1 1 2 2 1 , , λ λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ > > ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ = → ∞ = → ∞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t t t t x x C e y C e y C C Глава 6 156 Поэтому точка покоя 0 x y = = – неустойчивый узел – неустой- чива. в) Пусть 1 2 0 λ λ < < , тогда ( ) 2 1 1 2 0 1 2 2 1 0, , λ λ λ λ < →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ = → = → ∞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t t t t x x C e y C e y C C Точка покоя 0 x y = = – седло – неустойчива. Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя пред- ставлены на рис. 1. Устойчивый узел Неустойчивый узел Седло Рис. 1 2) Комплексно сопряженные собственные значения 1 , λ α β = + i 2 λ α β = − i . Тогда в некоторой системе координат об- щее решение рассматриваемой системы (1) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos , sin α α α β β = = ⇒ + = t t t x y x C e t y C e t e C C а) Пусть 0 α < , тогда точка покоя 0 x y = = – устойчивый фокус – асимптотически устойчива. б) Пусть 0 α > , тогда точка покоя 0 x y = = – неустойчивый фокус – неустойчива. в) Пусть 0 α = , тогда точка покоя 0 x y = = – центр – устой- чива, но не асимптотически. Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя пред- ставлены на рис. 2. Основы теории устойчивости 157 Устойчивый фокус Неустойчивый фокус Центр Рис. 2 3) Простые кратные собственные значения 1 2 λ λ λ = = . То- гда общее решение рассматриваемой системы (1) имеет вид 2 1 2 1 , t t C x C e y C e y x C λ λ = = ⇒ = а) Пусть 0 λ < , тогда точка покоя 0 x y = = – устойчивый дикритический узел – асимптотически устойчива. б) Пусть 0 λ > , тогда точка покоя 0 x y = = – неустойчивы дикритический узел –неустойчива. 4) Непростые кратные собственные значения 1 2 λ λ λ = = . В этом случае общее решение системы (1) выглядит так: ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 , , где ln ln λ λ λ λ ⎛ ⎞ = = + = ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t t x x C e y C C t e t C C x x y C C C а) Пусть 0 λ < , тогда точка покоя 0 x y = = – устойчивый вырожденный узел – асимптотически устойчива. б) Пусть 0 λ > , тогда точка покоя 0 x y = = – неустойчи- вый вырожденный узел –неустойчива. Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя пред- ставлены на рис. 3. Глава 6 158 Дикритический узел Вырожденный узел Нулевое с.з. Рис. 3 5) Пусть имеется нулевое собственное значение 1 2 0, 0 λ λ ≠ = . Тогда решение (1) имеет вид 1 1 2 , λ = = t x C e y C . § 7. Консервативная механическая система с одной степенью свободы Консервативная механическая система с одной степенью свободы (без трения) описывается уравнением второго порядка ( ) x f x = , (1) где ( ) f x – функция класса 1 ( , ) C a b . Тогда функция ( ) ( ) ( ) , , ξ ξ = − ∈ ∫ x c U x f d c a b (2) называется потенциальной энергией механической системы. Уравнение второго порядка (1) эквивалентно системе урав- нений ( ) ( ) , = ′ = = − x p y f x U x (3) Непрерывность производной ( ) f x ′ обеспечивает, в силу со- ответствующих теорем, существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений (3). Положению равновесия 0 = x x уравнения (1) соответствует точка покоя 0 , 0 = = x x p сис- темы уравнений (3). Положение равновесия 0 = x x уравнения (1) является также стационарной точкой потенциальной энергии ( ) U x . Основы теории устойчивости 159 В самом деле, если 0 = x x – положение равновесия, то 0 ( ) 0 = f x и, в силу (2), 0 0 ( ) ( ) 0 ′ ≡ − = U x f x В случае, когда 0 x является точкой строгого экстремума по- тенциальной энергии ( ) U x , имеет место следующая теорема. Теорема . Пусть ( ) f x – функция класса 2 ( , ) C a b . Тогда, 1) если 0 = x x – точка строгого минимума потенциальной энер- гии ( ) U x , то положение равновесия 0 , 0 = = x x p системы уравнений (3) устойчиво по Ляпунову; 2) если 0 = x x – точка строгого максимума потенциальной энер- гии ( ) U x и 0 ( ) 0 ′ > f x , то положение равновесия 0 , 0 = = x x p системы уравнений (3) неустойчиво. Доказательство. Без ограничения общности можно считать 0 0 = x , так как этого всегда можно добиться заменой переменных 0 = − y x x . Пусть 0 x = – точка строгого минимума потенциальной энер- гии, тогда в некоторой окрестности этой точки имеет место ( ) (0) U x U > при 0 x ≠ . Рассмотрим функцию ( ) ( ) ( ) 2 , 0 2 = − + p V x p U x U – полная энергия механической системы. Тогда ( ) ( ) 0 V V p U x x p ∂ ∂ ′ + − = ∂ ∂ , следовательно, в силу леммы Ляпунова, положение равновесия 0 , 0 = = x x p устойчиво по Ляпунову. Пусть 0 x = – точка строгого максимума потенциальной энергии ( ) U x и (0) 0 f ′ > , тогда (0) 0 U ′ = , (0) (0) 0 U f ′′ ′ = − < и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 1 0 0 0 , 0 1 . 2 2 θ θ θ θ = ′′ − ′ ′ ′′ ′′′ ′′ ′′ = + + = − < < f x F x U x U U x U x x U x f x x Система (3) принимает вид ( ) ( ) , 0 x p p U x F x ′′ = = − + , (4) Глава 6 160 где ( ) ( ) 2 1 2 θ ′′ = − F x f x x , и при достаточно малых x имеет место оценка 2 ( ) F x Mx ≤ Линеаризуем систему уравнений (4): ( ) , 0 x p p U x ′′ = = − Матрица системы 0 1 (0) 0 A U ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ′′ − ⎝ ⎠ имеет действительные собст- венные значения (0) U λ ′′ = ± − , одно из которых положительно. Поэтому, в силу теоремы о неустойчивости, положение равновесия 0, 0 x p = = . Теорема доказана. 3амечание . Как видно из доказательства, первое утверждение теоремы остается справедливым также в случае, когда ( ) f x – функция класса 1 ( , ) C a b . Можно показать, что и второе утвержде- ние теоремы остается верным при этих же предположениях. § 8. Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения 2-го порядка 1 0 . Постановка задачи Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение ( ) x f x = (1) Это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: ( ) ( ) , x p p f x U x ′ = = = − (2) Определение 1 . Плоскость переменных ( ) , x p называется фазовой плоскостью системы (2) (или уравнения (1)). Точки покоя системы (2) определяются из алгебраических уравнений ( ) 0, 0 . = ⎧ ⎨ = ⎩ p f x Основы теории устойчивости 161 Пусть уравнение ( ) 0 f x = имеет n корней 0 = i x x , 1,2,..., i n = . Тогда точки ( ) 0 ,0 i x фазовой плоскости ( ) , x p являют- ся точками покоя системы (2). Ниже будем предполагать, что кор- ни уравнения (3) простые, т.е. ( ) 0 0, 1,2,..., x i f x i n ′ ≠ = На практике часто бывает нужно не только исследовать ус- тойчивость точек покоя, но и знать расположение всего множества траекторий на фазовой плоскости. Определение 2 . Фазовой траекторией называется проек- ция интегральной кривой системы (2) (уравнения (1)) на фазовую плоскость. Фазовые траектории могут быть эффективно использованы для качественного описания поведения решения. Для уравнения вида (1) это описание будет достаточно простым и полным. Кроме того, оказывается, что расположение фазовых траекторий в малой окрестности точек покоя уравнения (1) полностью аналогично рас- положению фазовых траекторий для линеаризованного уравнения (1) (или линеаризованной системы (2)). 2 0 . Система первого приближения Выберем одну из точек 0 = i x x и разложим функцию ( ) f x в ряд Тейлора в окрестности этой точки с точностью до членов пер- вого порядка ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) i x i i i f x f x f x x x x x ο = ′ = + − + − Сохранив в правой части системы (2) только линейные сла- гаемые, получим ( )( ) 0 0 , x i i x p p f x x x ′ = = − –систему первого приближения. Обозначим 0 − = i x x x . В новых переменных ( ) , x p иссле- дование точки покоя ( ) ( ) 0 , ,0 i x p x = сводится к исследованию точки покоя ( ) ( ) , 0,0 x p = системы ( ) 0 , x i x p p f x x ′ = = ⋅ . Глава 6 162 Исследуем характеристические числа этой системы. Корни характеристического уравнения ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1,2 0 1 0 λ λ λ λ − ′ ′ = − = ⇒ = ± ′ − x i x i x i f x f x f x Если ( ) 0 0 x i f x ′ > , то характеристические числа действитель- ные и разных знаков, если ( ) 0 0 x i f x ′ < , то характеристические числа чисто мнимые. В первом случае из теоремы Ляпунова об устойчи- вости по первому приближению следует, что соответствующая точка покоя системы (2) является неустойчивой. Во втором случае эта теорема ответ об устойчивости не дает. Для системы первого приближения в случае действительных 1,2 λ разных знаков точка покоя является седлом, а в случае чисто мнимых 1,2 λ – центром. Эта классификация переносится и на сис- тему (2) и уравнение (1). 3 0 . Фазовые траектории В области 0 p > фазовый портрет системы (2), а, следова- тельно, и уравнения (1) образуют фазовые траектории, являющие- ся интегральными кривыми уравнения ( ) = dp f x dx p (4) Разделяя переменные в уравнении (4), получим ( ) , pdp f x dx = откуда 2 ( ) 2 p f x dx C = + ∫ или 2 ( ) p f x dx C = + ∫ Аналогично, в области 0 p < , 2 ( ) p f x dx C = − + ∫ Очевидно, что при каждом C интегральные кривые, если они существуют, расположены симметрично относительно оси x на фазовой плоскости. Определение 3 . Фазовые траектории уравнения (4), прохо- дящие через точки покоя типа седла, называют сепаратрисами. Основы теории устойчивости 163 Замечание .Можно показать, что движение точки фазовой плоско- сти по сепаратрисам, проходящим через данное седло ( ) 0 ,0 x , про- исходит так, что точка приближается к этому седлу при t → +∞ или при t → −∞ . Уравнения сепаратрис, проходящих через седловую точку ( ) 0 ,0 x , удобно записывать в виде 0 2 ( ) = ± ∫ x x p f s ds . (5) Отметим, что в силу автономности уравнения (1) и единст- венности решения задачи Коши для этого уравнения, через каждую точку ( ) 0 0 , x p фазовой плоскости может проходить только одна фазовая траектория, откуда следует, что фазовые траектории урав- нения (1) не пересекаются. Точки покоя не могут лежать на фазо- вых траекториях системы, поскольку они сами являются решения- ми системы, и, таким образом, будет нарушена единственность ре- шения системы. Фазовые траектории могут лишь стремиться к ука- занным точкам при t → +∞ или при t → −∞ . Если начальное усло- вие задачи Коши соответствует точке покоя, то решение не меняет- ся при изменении t , оставаясь этой точкой покоя. 4 0 . Примеры решения задач Пример 1 . (уравнение с квадратичной нелинейностью). Рассмот- рим уравнение ( ) ( ) 2 2 d x x a x f x dt = − ≡ , где 0 a > . Это уравнение эк- вивалентно системе ОДУ 1-го порядка ( ) , = = − x p p x a x (6) Корни 1 2 0, x x a = = уравнения ( ) 0 f x = определяют две точки покоя системы (6) ( ) ( ) , 0,0 x p = и ( ) ( ) , ,0 x p a = . Причем, ( ) 0 0 x f a ′ = > ; ( ) 0 x f a a ′ = − < , поэтому ( ) 0,0 – точка покоя типа седла , ( ) ,0 a – точка покоя типа центра. Получим явное выражение для фазовых траекторий системы (6). В соответствии с п. 3, Глава 6 164 2 ( ) ( ) 2 p x x a dx C U x C = − + = − + ∫ , где 3 2 ( ) 3 2 x x U x a = − Тогда уравнения фазовых траекторий описываются формулой 2 ( ) 2 ( ) p x x a dx C U x C = ± − + = ± − + ∫ . (7) Графики функции ( ) f x и ее первообразных при различных значениях C , а также фазовые портрет для системы (6) изображе- ны на рис. 1. Рис. 1 Основы теории устойчивости 165 На рис. 1, а показана функция ( ) f x . На рис. 1, б представле- ны различные первообразные функции ( ) f x : 2 ( ) ( ) 2 p f x dx C U x C = + = − + ∫ Кривая 2 на рис. 1, б – первообразная, соответствующая се- паратрисе. Значение этой первообразной в каждой точке x числен- но равно площади под кривой ( ) f x , изображенной на рис. 1, а. Здесь мы полагаем значение площади под графиком ( ) f x положительным при ( ) 0 f x > и отрицательным при ( ) 0 f x < . В об- ласти положительных значений x функция 2 2 p возрастает до тех пор, пока ( ) 0 f x > . В точке x a = график ( ) f x проходит через ноль и затем становится меньше нуля, т.е. 2 2 p начинает убывать. Когда площади 1 S и 2 S сравняются по абсолютной величи- не, ( ) 2 2 = − U x p обратится в нуль. Соответствующее значение x x = можно определить из уравнения 0 ( ) ( ) − = − − ∫ ∫ a x a x a x dx x a x dx , то есть ( ) 0 0 − = ∫ x x a x dx . Это точка 3 2 = x a . Дальше в область по- ложительных значений x сепаратрису продолжить нельзя, так как 2 2 p может принимать только неотрицательные значения. В области отрицательных значений x функция 2 0 ( ) 2 = ∫ x p f s ds принимает положительные значения при ( ) 0 f x < и, следовательно, 2 ( ) 2 = − U x p существует при всех отрицатель- ных x На рис. 1, в номером 2 обозначены сепаратриса, проходящая через седло (0,0) . При этом часть сепаратрисы, расположенная в правой полуплоскости, образует так называемую петлю. Стрелка- ми показано направление движения точки по фазовой траектории при изменении t . Это направление можно определить, исходя из следующих соображений: если 0 dx p dt = > (верхняя полуплос- Глава 6 166 кость), то x – возрастает, т.е. движение происходит направо; в ниж- ней полуплоскости 0 dx p dt = < , x убывает, т.е. движение по фазо- вым траекториям – налево. Будем изменять значение C . При увеличении C кривая (график первообразной) на рис. 1, б приподнимается (кривая 1). Формула (7) определяет незамкнутые фазовые траектории, которые продолжаются вправо до некоторой точки, лежащей правее x При уменьшении C кривая на рис.1, б опускается и её поло- жительная часть будет состоять из двух отдельных кривых (кривая 3 ). Формула (7) определяет в правой полуплоскости замкнутые траектории, стягивающиеся с уменьшением C к точке покоя ( ) ,0 a Эти замкнутые траектории соответствуют периодическим движе- ниям. В левой полуплоскости на рис. 1, в формула (7) определяет незамкнутые траектории. Задача При каких значениях 0 x разрешима краевая задача ( ) ( ) ( ) 2 0 2 , 0 , 0 = − = ∞ = d x x a x x x x dt Решение . Согласно п. 3 0 , точка фазовой плоскости, двигаясь по сепаратрисе седла ( ) 0,0 , приближается к этому седлу либо при t → +∞ , либо при t → −∞ . Поэтому задача разрешима при тех 0 x , которым соответствует точка фазовой плоскости, лежащая на сепа- ратрисе, входящей в точку покоя ( ) 0,0 . Подберем значение ( ) ( ) 0 0 x z = так, чтобы точка ( ) ( ) 0 , 0 x p фазовой плоскости находилась на сепаратрисе. Тогда, двигаясь по сепаратрисе от точки ( ) ( ) 0 , 0 x p в направлении t → +∞ , она будет приближаться к точке ( ) 0,0 при t → +∞ . При 0 0 x < и 0 3 2 = x a задача имеет единственное решение. Если 0 0 3 2 < < x a , то задача имеет два решения, так как каждо- му 0 x , лежащему внутри петли, соответствует два значения ( ) 0 p таких, что точка ( ) ( ) 0 , 0 x p лежит на петле, то есть на сепаратрисе, Основы теории устойчивости 167 входящей в точку покоя ( ) 0,0 . В случае 0 3 2 > p a , очевидно, ре- шений краевой задачи нет. Пример 2. (уравнение с кубической нелинейностью). В этом случае в зависимости от вида функции ( ) f x могут представиться сле- дующие варианты. а) Симметричный случай – ячейка на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет для уравнения ( ) 2 2 2 2 ( ) = ≡ − d x f x x x a dt Определим точки покоя: ( ) 2 2 ( ) 0 0 0, = ⇔ − = ⇒ = = ± f x x x a x x a На рис. 2, а показан график функции ( ) 2 2 ( ) = − f x x x a . Най- дем по этому графику знак производной x f ′ в точках покоя 0 x = и x a = ± : ( ) 0 0 x f ′ < , ( ) 0 x f a ′ ± > . Поэтому, согласно §5, точка ( ) 0,0 – центр, а точки ( ) ,0 a и ( ) ,0 a − – сёдла. Запишем уравнения первообразных функции ( ) f x (рис. 2, б): 2 4 2 2 ( ) 2 4 2 = = − + ∫ x a p x x f x dx a C . Заметим, что функция ( ) f x – нечетная, значит её первооб- разная – функция четная, и фазовый портрет будет симметричным относительно оси ординат. В силу симметрии имеем ( ) ( ) − = ∫ ∫ x x a a f s ds f s ds , и уравнения сепаратрис седловых точек ( ) ,0 a и ( ) ,0 a − можно записать в одной формулой: 2 ( ) = ± ∫ x a p f x ds . На рис. 2, в сепаратрисы, проходящие через седла ( ) ,0 a и ( ) ,0 a − обозначены номером 2, причем эти сепаратрисы оказыва- ются общими для обоих сёдел. В этом случае говорят, что сепарат- рисы образуют ячейку на фазовой плоскости. Глава 6 168 Рис. 2 Будем изменять значение C .При увеличении C график первообразной приподнимается над осью OY . Соответствующая фазовая траектория будет определена на всей вещественной оси (рис. 2, в, кривая 1). Основы теории устойчивости 169 Если уменьшать значение C , то график первообразной опус- кается относительно оси OY , и область неотрицательных значений ( ) 2 2 = − U x x будет состоять из трех промежутков (рис. 2, б, кри- вые 3). Внутри промежутка a x a − < < этим значениям C соответ- ствуют замкнутые фазовые траектории, а при x a > – незамкнутые фазовые траектории (рис. 2, в, кривые 3). При больших по абсолютной величине отрицательных значе- ниях C функция 2 ( ) 2 = − U x p принимает неотрицательные зна- чения только если x достаточно велико. Этим значениям C соот- ветствуют незамкнутые фазовые траектории, обозначенные на рис. 2, в номером 4. б) Несимметричный случай. Построим фазовый портрет уравнения ( )( ) 2 1 2 2 1 2 ( ) , 0 = ≡ + − < < d x f x x x a x a a a dt Точки покоя этого уравнения: 1 2 0, , = = − = x x a x a . На рис. 3, а показан график функции ( ) = f x ( )( ) 1 2 = + − x x a x a . Знаки производной x f ′ для каждого значения в точках покоя 0 x = , 1 x a = − , 2 = x a следующие: ( ) 0 0 ′ < x f , ( ) 1 0 ′ − > x f a , ( ) 2 0 x f a ′ > . Следовательно, точка ( ) 0,0 – точка покоя типа центра, а ( ) 1 ,0 −a и ( ) 2 ,0 a – точки покоя типа седла. На рис. 3, б изображены графики первообразных 2 ( ) 2 p f x dx C = + ∫ Номером 1 отмечена первообразная 2 2 ( ) 2 = ∫ x a p f s ds . Она ка- сается оси OY в точке ( ) 2 ,0 a . На фазовой плоскости (рис. 3, в) ей соответствуют сепаратрисы, проходящие через седло ( ) 2 ,0 a (обо- значены номером 1). Сепаратрисы седла 1 ( ,0) −a описываются уравнением ( ) 1 2 − = ± ∫ x a p f s ds и отмечены на фазовой плоскости (рис. 3, в) номером 3. Глава 6 170 Рис. 3 В остальном рассмотрение фазового портрета аналогично случаю с квадратичной нелинейностью. На рис. 3, б номерами 2 и 4 обозначены два различные положения первообразной 2 ( ) 2 = + ∫ p f x dx C , а на рис 3, в теми же цифрами отмечены соот- ветствующие фазовые траектории. Основы теории устойчивости 171 Пример 3 .Математический маятник. Рассмотрим поведение фазовых кривых следующего авто- номного дифференциального уравнения второго порядка: 2 2 ( ) sin d x f x x dt = ≡ − Это уравнение эквивалентно системе уравнений 1-го порядка , sin x p p x = = − Корни x m π = уравнения ( ) 0 f x = определяют точки покоя этой системы ( ) ( ) , ,0 m x p m π = . Заметим, что ( ) 1, 2 , 1, 2 1 x m k f m k Z m k π − = ⎧ ′ = ∈ ⎨ = + ⎩ , следовательно, ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 1 ,0 k x p k π + = + – точки покоя типа седло, ( ) ( ) 2 , 2 ,0 k x p k π = – точки покоя типа центр. Получим явное выражение для фазовых траекторий: 2 sin cos 2 p xdx C x C = − + = − + ∫ В рассматриваемом случае ( ) cos U x x = − , поэтому, уравнения фа- зовых траекторий 2cos , 2 p x C C = ± + ≥ − . Рис. 4 Глава 6 172 Фазовый портрет представлен на рис. 4. При 2 C = получаем сепаратрису, соединяющую точки покоя. Если 2 2 C − < < , то фазо- вые траектории замкнуты и заполняют область между сепаратри- сами («захваченные» частицы, совершающие финитные колебания в потенциальных ямах). В случае 2 C > фазовые траектории не- замкнуты и соответствуют «пролетным» частицам, движение кото- рых инфинитно (периодические колебания около некоторого зна- чения скорости), причем верхней и нижней ветвям фазовых кривых соответствуют различные направления скорости. Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Изобразить фазовые траектории системы ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , ⎧ = − − ⋅ + − ⎪ ⎨ = − ⋅ + − ⎪⎩ x y x x y R y x y x y R Указание: перейти в полярные координаты. 2. Для системы уравнений , 4 = − ⎧ ⎨ = ⎩ x y y x а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. 3. Для системы уравнений , 4 = ⎧ ⎨ = ⎩ x y y x а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. 4. Для системы уравнений , 2 = ⎧ ⎨ = ⎩ x x y y а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. Основы теории устойчивости 173 5. Для системы уравнений 2 , = − ⎧ ⎨ = − ⎩ x x y y а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. 6. Для системы уравнений , = − − ⎧ ⎨ = − ⎩ x x y y x y а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. Указание: перейти в по- лярные координаты. 7. Для системы уравнений , = − ⎧ ⎨ = + ⎩ x x y y x y а) определить тип точки покоя 0, 0 x y = = ; б) исследовать устойчивость указанной точки покоя; в) изобразить фазовые траектории. Указание: перейти в по- лярные координаты. 8. Для уравнения (1 ) y y y = − а) найти точки покоя; б) исследовать устойчивость точек покоя; в) изобразить фазовые траектории. 9. Для уравнения ( 1) y y y = − а) найти точки покоя; б) исследовать устойчивость точек покоя; в) изобразить фазовые траектории. 10. Для уравнения 2 (1 ) = − y y y а) найти точки покоя; б) исследовать устойчивость точек покоя; в) изобразить фазовые траектории. 11. Для уравнения 2 ( 1) = − y y y а) найти точки покоя; б) исследовать устойчивость точек покоя; в) изобразить фазовые траектории. |