Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 1. Понятие о регулярных и сингулярных возмущениях При построении математических моделей физических объек- тов, характеризующихся различными масштабами по пространству, либо различными скоростями протекающих в системе процессов, часто возникают задачи, содержащие малые параметры. В этих случаях естественно поставить вопрос: если упростить математи- ческую модель, положив малый параметр равным нулю (т.е. пре- небречь влиянием некоторых процессов или составных частей фи- зической системы), получим ли мы решение, приближенно описы- вающее исходный объект моделирования? Пусть математическая модель в некоторой области D изме- нения переменных описывается уравнением 0 μ = L u , (1) где оператор μ L зависит от малого параметра μ . Обозначим ре- шение этой задачи μ u . Положив параметр μ равным нулю, полу- чим вырожденное (т.е. при 0 μ = ) уравнение 0 0 = L u , решение ко- торого обозначим 0 u . Определение . Задача (1) называется регулярно возмущенной, если решение 0 u вырожденного уравнения 0 0 = L u дает равномер- ное в области D приближение для решения μ u задачи (1). В про- тивном случае задача (1) называется сингулярно возмущенной. Примером регулярно возмущенной задачи является задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на конеч- ном отрезке 0 x H ≤ ≤ , малый параметр μ в котором находится в правой части, т.е. 0 ( ), (0 ) , μ μ = , , , = dy f y x dx y y (2) Понятие об асимптотических методах 175 где 0 0 μ μ < ≤ – малый параметр. В этом случае работает доказан- ная ранее теорема о непрерывной зависимости решения от пара- метра и, следовательно, полагая формально 0 μ = , получаем (обычно более простую) задачу ( ) 0 0 , (0) , = , , = dy f y x dx y y решение которой ( ) y x дает равномерное на отрезке 0 x H ≤ ≤ приближение для решения задачи (2). Если же малый параметр входит в уравнение как множитель при производной (старшей производной), например 0 ( ), (0 ) , μ μ μ = , , , = dy f y x dx y y (3) то вырожденной уравнение ( 0) 0 f y x , , = уже не будет дифферен- циальным, и его решение ( ) y x , вообще говоря, не удовлетворяет начальному условию, т.е. не дает равномерного на всем отрезке 0 x H ≤ ≤ приближения для решения задачи (3). Пример . Рассмотрим задачу , (0) 1, μ = − = dy y dx y решением которой является функция ( ) μ μ − , = x y x e . Если же по- ложить 0 μ = , то получим вырожденное уравнение ( , ,0) 0 f x y y ≡ − = , решение которого ( ) 0 y x ≡ не близко к точному решению ( ) μ μ − , = x y x e в окрестности точки 0 x = . Характерной особенностью подобных задач является наличие пограничного слоя , т.е. области вблизи начальной (или внутренней) точки, где происходит очень резкое изменение решения (см. рис. 1). Глава 7 176 Рис. 1 § 2. Регулярно возмущенная задача 1 0 . Асимптотическое приближение решения по малому пара- метру Рассмотрим задачу Коши 0 0 ( ), 0 , 0 , (0, ) ( ). μ μ μ μ μ = , , < ≤ < ≤ = dy f y x x H dx y y (4) Полагая 0 μ = , получим задачу ( ) 0 0 , (0) , = , , = dy f y x dx y y , (5) решение которой ( ) y x , как было отмечено выше, дает равномерное на отрезке 0 x H ≤ ≤ приближение решения задачи (4), т.е. ( , ) ( ) ( ) y x y x μ α μ − = , где ( ) 0 α μ → при 0 μ → . Чтобы уточнить полученное приближение, будем искать ре- шение задачи (4) в виде ряда по степеням малого параметра μ 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ... μ μ μ , = + + + y x y x y x y x (6) Понятие об асимптотических методах 177 Подставим это разложение в (4) и представим правую часть уравнения (4) и начальное условие также в виде рядов по степе- ням μ : 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ( ( ) ( ) ..., , ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) μ μ μ μ μ μ μ + + = + + ≡ ⎡ ⎤ ≡ , , + , , ⋅ + , , + ⎣ ⎦ = + + y dy dy f y x y x x dx dx f y x f y x y x f y x y y y Приравнивая теперь члены при одинаковых степенях пара- метра μ в правых и левых частях уравнения и начального условия в (4), получим последовательность задач для определения функций ( ) i y x в разложении (6). 1. 0 0 0 0 0 ( 0), : (0) μ ⎧ = , , ⎪ → ⎨ ⎪ = ⎩ dy f y x dx y y Эта задача совпадает с (5). Потребуем, чтобы ее решение 0 ( ) ( ) y x y x = существовало на отрезке 0 x H ≤ ≤ и было единст- венным. Далее, 2. 1 0 1 0 1 1 ( ( ) 0) ( ( ) 0), : (0) 0. μ μ ⎧ = , , ⋅ + , , ⎪ → ⎨ ⎪ = ⎩ y dy f y x x y f y x x dx y Задача для 1 ( ) y x является линейной и ее решение может быть получено в квадратурах, например, методом вариации посто- янной. Аналогично находятся следующие члены ряда (6), причем задачи для ( ), 2,3,... i y x i = также будут линейными. Справедлива следующая теороема. Теорема 1 . Пусть: 1) в некоторой области { } 0 | | , 0 , 0 D y b x H μ μ = < ≤ ≤ ≤ ≤ про- странства переменных ( ) y x μ , , функция ( ) f y x μ , , является непрерывной вместе со всеми частными производными до 1 n + -го порядка; 2) вырожденная задача (5) имеет на отрезке 0 x H ≤ ≤ единст- венное решение 0 ( ) y x . Глава 7 178 Тогда при достаточно малых μ ( 1 0 0 μ μ μ < ≤ ≤ ) на сегменте 0 x H ≤ ≤ существует единственное решение ( ) y y x μ = , задачи (4), причем имеет место оценка 1 ( , ) ( , ) n n y x Y x C μ μ μ + − ≤ , где 0 C > – некоторая постоянная, не зависящая от параметра μ , а ( , ) μ n Y x – частичная сумма ряда (6). Доказательство этой теоремы мы не приводим. Его можно найти, например, в книге А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова «Асим- птотические разложения решений сингулярно возмущенных урав- нений». Далее проиллюстрируем результат на конкретных приме- рах. Пример 1 . Рассмотрим задачу Коши 0 1 ( , , ), 0, (0, ) 1 2 ( ). μ μ μ μ μ = + ≡ > = + ≡ dy y f x y x dx y y Точным решением ее является 1 ( , ) (1 2 ) ( 1) μ μ μ μ μ = + ⋅ + − x x y x e e Будем строить решение в виде ряда по параметру μ : 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ... μ μ = + + + y y x y x y x . Подставив этот ряд в правую часть уравнения и в начальное условие, разложим функции ( , , ) f x y μ и 0 ( ) y μ в ряды Маклорена по степеням параметра μ : ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 , ( ) ( ) ( ) ..., 1 ( ) ( ) ( ) ... 1 ( ) ( ) ... μ μ μ μ μ μ μ μ + + + ≡ ≡ + ⋅ + + + = = + + + f x y x y x y x y x y x y x y x y x 0 ( ) 1 2 μ μ = + y Приравнивая теперь коэффициенты при степенях параметра в правой левой частях уравнения и начального условия, получим последовательность задач: 0 0 0 0 1, : ( ) 1 , (0) 1, μ ⎧ = ⎪ → ⇒ = + ⎨ ⎪ = ⎩ dy y x x dx y , Понятие об асимптотических методах 179 1 2 0 1 1 1 ( ) 1 : ( ) 2 2 (0) 2, μ ⎧ = = + ⎪ → ⇒ = + + ⎨ ⎪ = ⎩ dy y x x x y x x dx y , 2 2 3 2 2 1 2 2 ( ) 2 : 0 ( ) 2 2 2 6 (0) 0, μ ⎧ = ≡ + + ⎪ → ⇒ = + + ⎨ ⎪ = ⎩ dy x x x y x x y x x dx y и т. д. Таким образом, асимптотическое приближение решения ис- следуемой задачи (первые 3 члена ряда по степеням параметра μ ) имеет вид 2 2 3 2 ( , ) 1 2 2 2 2 6 μ μ μ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x y x x x x , что, как легко видеть, совпадает разложением в ряд Маклорена точного решения ( 0 x > – фиксировано): 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 1 ( ( , ) (1 2 ) 1) 1 (2 ) 2 ( ) ( ) 2 2 6 1 2 2 ( ). 2 2 6 μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ = + ⋅ + − = ⎛ ⎞ = + ⋅ + + ⋅ + + + + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x e y x e x x x x x o x o x x x x x x o Замечание .Если рассматривать задачу не на конечном отрезке 0 x H ≤ ≤ , а на асимптотически большом (порядка 1 μ ), или бес- конечном промежутке, то предельный переход 0 0 lim ( , ) ( ) y x y x μ μ →+ = уже может не быть равномерным по x . В этом можно убедиться в разобранных ниже примерах. Пример 2 . Рассмотрим задачу Коши 1 , 0 , (0, ) 1 2 , μ μ μ = + < ≤ = − + dy y x H dx y , где 0 μ > – малый параметр. Ее точным решением является Глава 7 180 ( ) ( ) 1 ( , ) 1 2 1 μ μ μ μ μ = − + ⋅ + − x x y x e e Соответствующая невозмущенная (т.е. при 0 μ = ) задача имеет вид 1 0 (0) 1 dy x H dx y = < ≤ = − , а ее решение есть ( ) 1 y x x = − . Легко видеть, что имеет место равномерный на отрезке 0 x H ≤ ≤ предельный переход ( ) ( ) 0 0 1 lim ( , ) lim 1 2 1 1 ( ) x x y x e e x y x μ μ μ μ μ μ μ →+ →+ ⎡ ⎤ ≡ − + ⋅ + − = − + ≡ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , что соответствует результату, сформулированному в теореме 1. Однако, если 1 H μ ∼ , т.е. на асимптотически большом (или беско- нечном промежутке) это неверно. Пример 3 . Рассмотрим задачу Коши 0 0 (0) 0, (0) 1 y y x H y y ′′ + = < ≤ ′ = = Ее точное решение – ( ) sin y x x = Внесем в уравнение малое регулярное возмущение ( 0 μ > – малый параметр): 2 (2 ) 0, 0 , (0, ) 0, (0, ) 1, μ μ μ μ ′′ + + + = < ≤ ′ = = y y y x H y y (7) и будем строить приближенное решение задачи Коши (7) на отрез- ке 0 x H ≤ ≤ в виде ряда 2 0 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ... μ μ μ = + + + y x y x y x y x Подставляя записанный ряд в уравнение и начальное усло- вие, и приравнивая коэффициенты при степенях μ , получим по- следовательность задач для определения членов ряда: 0 0 0 0 0 0 0, : (0) 0, (0) 1, ( ) sin , μ ′′ + = ⎧ → ⇒ ⎨ ′ = = ⎩ ⇒ = y y y y y x x Понятие об асимптотических методах 181 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2sin 0, : (0) 0, (0) 0, ( ) sin cos , μ ′′ ′′ + + ≡ + + = ⎧ → ⇒ ⎨ ′ = = ⎩ ⇒ = − + y y y y y x y y y x x x x 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 0, : (0) 0, (0) 0, ( ) sin cos sin , 2 μ ′′ + + + = ⎧ → ⇒ ⎨ ′ = = ⎩ ⇒ = − − y y y y y y x y x x x x x ……………………..… . Нетрудно проверить, что функция 2 0 1 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) sin ( sin cos ) (sin cos sin ). 2 μ μ μ μ μ = + + = = + − + + − − y x y x y x y x x x x x x x x x x удовлетворяет уравнению и начальным условиям с точностью 2 ( ) μ o Точное решение задачи (7) есть sin(1 ) ( , ) 1 x y x μ μ μ + = + Убедитесь сами, что первые три члена асимптотического разложения указанной функции по малому параметру μ совпада- ют с полученным выше приближенным решением, т.е. частичная сумма построенного ряда дает равномерное на конечном отрезке 0 x H ≤ ≤ приближение для точного решения. Замечание . В рассмотренном примере 3, как точное решение воз- мущенного уравнения, так и решение вырожденного уравнения яв- ляются периодическими функциями (периоды – соответственно 2 1 π μ + и 2 π – асимптотически близки). Однако полученное нами асимптотическое приближение содержит малые непериодические слагаемые вида cos x x μ и 2 2 sin μ x x , т.е. уже не является периоди- ческой функцией! Это означает, что рассмотренный способ по- строения асимптотического ряда дает равномерное приближение для решения начальной задачи лишь на конечном отрезке 0 x H ≤ ≤ , но не может быть использован для получения равно- мерного приближения периодического решения. Глава 7 182 В случае периодической задачи нужно использовать другие подходы, например, метод усреднения Крылова–Боголюбова, с которым можно ознакомиться в книге Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского «Асимптотические методы в теории нели- нейных колебаний». § 3. Сингулярные возмущения 1 0 . Теорема Тихонова Предельный переход 0 0 lim ( , ) ( ) μ μ →+ = y x y x , о котором гово- рится в теореме 1, имеет место на конечном отрезке 0 x H ≤ ≤ , где H – некоторая постоянная, причем на указанном множестве это предельный переход является равномерным относительно [0, ] x H ∈ . Таким образом, в случае регулярного возмущения реше- ние вырожденного уравнения дает равномерное на отрезке при- ближение для точного решения. Однако, в случае сингулярного возмущении это не так и, более того, решение вырожденного урав- нения может быть вообще не близко к точному решению. Рассмотрим систему уравнений, содержащую малый пара- метр при старшей производной. Требуется найти функции ( ) z x μ , и ( ) y x μ , – решение следующей задачи Коши: 0 0 ( ), ( ), (0 ) , (0 ) , μ μ μ ⎧ = , , ⎪⎪ ⎨ ⎪ = , , ⎪⎩ , = , = dz F z y x dx dy f z y x dx z z y y (8) где 0 μ > – малый параметр. В данном случае правая часть первого уравнения 1 ( ) dz F z y x dx μ = , , не является регулярно возмущенной (см. опреде- ление 1). Полагая формально 0 μ = в задаче (8), получим невоз- мущенную (вырожденную) систему 0 ( ), ( ), = , , ⎧ ⎪ ⎨ = , , ⎪⎩ F z y x dy f z y x dx , (9) Понятие об асимптотических методах 183 где первое уравнение системы – алгебраическое (а не дифференци- альное) относительно переменной z . Предположим, что оно имеет действительные решения – функции ( , ), 1,2,..., ϕ = = i i z y x i p , – при- чем все корни изолированы, т.е. для каждого из них существует ок- рестность ( , ) i z y x d ϕ − ≤ , в которой нет других решений этого уравнения. Пусть ( , ) z y x ϕ = – один из корней первого уравнения систе- мы (9). Обозначим ( ) ( ,0) y x y x ≡ , тогда получим следующую вы- рожденную задачу 0 ( ( ) ), (0) ϕ = , , , = dy f y x y x dx y y (10) Теорема 2 (теорема А.Н.Тихонова). Пусть: 1) функции ( ) ( ) , , , ′ ′ ′ ′ , , , , , , z y z y F z y x f z y x F F f f – непрерывны в некоторой области трех переменных ( ) , , : = × , z y x G D Z ; ( ) , ∈ , ∈ y x D z Z ; 2) функции ( ) ( ) y y x C D ϕ ϕ′ , , ∈ ; 3) существует решение задачи (10) ( ) y y x = на сегменте 0 x H ≤ ≤ ; 4) корень ( ) y x ϕ , является устойчивым в области D , т.е. ( ) 0 ϕ = , ∂ < ∂ z y x F z ; 5) начальное значение 0 z принадлежит области влияния устой- чивого корня 0 ( ) y x ϕ , уравнения 0 0 ( 0) 0 F z y , , = , т.е. если 1 ( , ) y x ϕ и 2 ( , ) ϕ y x – два ближайших к ( ) y x ϕ , корня соответ- ственно снизу и сверху, то необходимо, чтобы начальное значение 0 z лежало в интервале ( ) 0 0 1 2 ( , ) ; ( , ) y x y x ϕ ϕ , назы- ваемой областью влияния (или областью притяжения)кор- ня ( ) y x ϕ , . Тогда: 1) существует решение ( , ) z x μ , ( , ) y x μ задачи (8), определен- ное на сегменте 0 x H ≤ ≤ ; Глава 7 184 2) имеет место предельный переход 0 0 lim ( ) ( ), 0 , lim ( ) ( ( ) ), 0 , μ μ μ μ ϕ →+ →+ , = ≤ ≤ , = , < ≤ y x y x x H z x y x x x H где ( ) y x – решение вырожденной задачи (10). Доказательство сформулированной теоремы можно найти, напри- мер, в книге А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова «Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений». Замечание . Предельный переход для функции ( , ) y x μ является равномерным относительно x на отрезке 0 x H ≤ ≤ , в то время как для функции ( , ) z x μ – неравномерным. Можно доказать, что рав- номерный предельный переход в формуле для ( , ) z x μ имеет место на отрезке 0 ≤ ≤ x x H , где 0 0 > x Пример 1 . Рассмотрим задачу Коши 2 , (0, ) 1, μ μ = − = dz z dx z (11) решение которой легко выписывается: ( , ) 2 μ μ − = − x z x e (12) Функция в правой части уравнения (8) есть ( , ) 2 F z z μ = − . Полагая в (11) 0 μ = , получим вырожденное уравнение ( ,0) 2 0 F z z ≡ − = , которое имеет единственное (следовательно, изолированное) решение ( ) ( ) 2 z x x ϕ = ≡ . Так как ( ) 2 1 0 ϕ = ≡ ∂ = − < ∂ z x F z , то корень вырожденного уравнения является устойчивым. Заметим, что других корней у уравнения (11) нет, поэтому областью влияния устойчивого корня вырожденного уравнения ( ) ( ) 2 z x x ϕ = ≡ является вся плоскость ( ) , x z , и начальное значение (0, ) 1 z μ = принадлежит этой области влияния. Структуру области влияния можно изучить и непосредственно: так как условие ( ) 2 1 0 ϕ = ≡ ∂ = − < ∂ z x F z выполняется на всей плоскости ( ) , x z , то при Понятие об асимптотических методах 185 2 z > имеет место ( ) ,0 0 0 < ⇒ < F z dz dx , а при 2 z < – ( ) ,0 0 0 > ⇒ > F z dz dx , т.е. при любом начальном значении (0, ) z μ решение задачи (11) ( , ) z x μ будет приближаться к устой- чивому корню вырожденного уравнения ( ) ( ) 2 z x x ϕ = ≡ . Суммируя сказанное выше, на основании теоремы Тихонова можно утверждать, что имеет место предельный переход 0 lim ( ) ( ) 2, 0 μ μ ϕ →+ , = ≡ < ≤ z x x x H . В справедливости последнего утверждения при любом 0 H > можно легко убедиться непосредственно, вычислив предел точного решения (12): 0 0 lim ( ) lim (2 ) 2, 0 μ μ μ μ − →+ →+ , = − = > x z x e x Кроме того, на множестве 0 0 x x ≥ > имеет место 0 0 0 0 0 0 lim sup ( ) ( ) lim sup (2 ) 2 μ μ μ μ ϕ − →+ →+ ≥ > ≥ > , − = − − = x x x x x z x x e 0 0 0 0 0 lim sup lim 0, μ μ μ μ − − →+ →+ ≥ > = = = x x x x e e т.е. предельный переход является равномерным относительно x на указанном множестве. Все вышесказанное можно видеть на рис. 2, где построены гра- фики решения задачи (11) при различных значениях параметра μ Рис. 2. Глава 7 186 Замечание (о геометрическом смысле термина “сингулярное воз- мущение”). Так как параметр μ считается достаточно малым, то левую часть уравнения (11) можно рассматривать как некоторое “малое” возмущение к вырожденной задаче ( ,0) 2 0 F z z ≡ − = , ре- шение которой получить существенно проще, чем решение полной задачи (11). Возникает вопрос: будет ли это решение близко к точ- ному решению (11)? Как установлено выше, при выполнении усло- вий теоремы А.Н. Тихонова (и, в частности, для задачи (11)), иско- мая близость имеет место, если исключить некоторую окрестность начальной точки. Таким образом, отличие точного решения от ре- шения вырожденного уравнения носит сингулярный характер и проявляется лишь в окрестности одной точки. В случае же регу- лярного возмущения, решения задач при 0 μ = (невозмущенной) и при малых 0 μ > (возмущенной) равномерно близки на сегменте, включающем начальную точку. Пример 2 . Рассмотрим задачу Коши 2 ( , ), (0, ) 0. μ μ μ = − ≡ = ≠ dz z z F z dx z h Выясним, при каких начальных значениях (0, ) z h μ = точное решение ( , ) z x μ близко к решению вырожденного уравнения ( ,0) 0 F z = при 0 x > Соответствующее вырожденное уравнение 2 ( ,0) 0 ≡ − = F z z z имеет два изолированных корня: устойчивый 1 ( ) 0 x ϕ ≡ , так как ( ) 1 0 ( ) 0 2 1 1 0 z z x F z z ϕ = = ≡ ∂ = − = − < ∂ , и неустойчивый 2 ( ) 1 x ϕ ≡ , так как ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 1 0 z z x F z z ϕ = = ≡ ∂ = − = > ∂ Заметим, что областью влияния устойчивого корня 1 ( ) 0 x ϕ ≡ являются полуплоскость 0 z < и полоса 0 1 z < < . Поэтому для на- чальных значений 0 h < и 0 1 h < < в соответствии с теоремой А.Н. Тихонова при каждом 0 x H < ≤ имеет место предельный переход 1 0 lim ( , ) ( ) 0 z x x μ μ ϕ →+ = ≡ . Если же 1 h > (начальное значение вне об- Понятие об асимптотических методах 187 ласти влияния корня 1 ( ) 0 x ϕ ≡ ), то условия теоремы нарушены, и предельный переход, вообще говоря, невозможен. Проиллюстриру- ем этот результат, выписав точное решение задачи Коши ( , ) 1 x x he z x he h μ μ μ − − = + − Если 0 h < или 0 1 h < < , то знаменатель дроби не обращается в нуль на полупрямой 0 x > . Поэтому решение определено при всех 0 x > , и 0 lim ( , ) 0 z x μ μ →+ = . В случае (0, ) 1 z h μ = > знаменатель дроби обращается в нуль при 0 x x = , где 0 x – решение уравнения 1 1 μ − = − x e h (оно разрешимо для всех 1 h > , так как 0 1 1 1 < − < h ). Это означает, что решение исследуемой задачи Ко- ши ( , ) z x μ существует лишь на интервале 0 0 x x < < , а в точке 0 = x x разрушается, причем 0 0 lim ( , ) x x z x μ → − = +∞ . 2 0 . Асимптотическое разложение решений сингулярно возму- щенных задач. Метод пограничных функций Детальное рассмотрение этого вопроса выходит за рамки на- шего курса. Его можно найти, например, в книге А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [4]. Здесь мы ограничимся лишь описанием основ- ных идей на конкретном примере. Рассмотрим задачу Коши 2 1 ( 1) ( , , ) 0 (0, ) 2 ( , ) dz z z F x z x dx z h x μ μ μ μ μ μ = − + − ≡ > = + ≡ Точным решением ее является ( ) ( 1) ( , ) 1 1 ( 1) 1 x x e z x e μ μ μ μ μ μ − − + = + + + − Заметим, что имеет место предельный переход 0 0 lim ( , ) ( ) 1 z x x μ μ ϕ →+ = ≡ при каждом фиксированном 0 x > , где 0 ( ) 1 x ϕ ≡ – устойчивый корень вырожденного уравнения ( , ,0) 0 F x z = , что соответствует результату, сформулированному в теореме А.Н. Тихонова. Однако если 0 x > является асимптотиче- ски малым (т.е. 0 0 x x < < , где 0 x μ ∼ ), то величина x e μ − конечна, и отличие решения ( , ) z x μ от корня 0 ( ) 1 x ϕ ≡ вырожденного уравне- Глава 7 188 ния не мало. Поэтому в областях 0 0 x x μ < < ∼ и 0 x x разложе- ния в точного решения ( , ) z x μ в ряд по степеням малого параметра 0 μ > будут различны. Пусть 0 x > фиксировано и не является асимптотически ма- лым (т.е. 0 x x ). Тогда при 0 μ → + имеет место ( ) μ μ − = x n e o , где n – любое натуральное число, и для точного решения получаем “регулярное разложение” (регулярный ряд) ( , ) 1 ( ) μ μ = + n z x o , или с точностью до членов первого порядка ( , ) 1 ( ) z x o μ μ = + Вблизи начальной точки, т.е. при 0 0 μ < < x x ∼ величина 1 x e μ − ∼ , поэтому разложение в ряд точного решения будет содер- жать кроме регулярной части еще “пограничные функции”, зави- сящие от “быстрой” переменной ρ μ = x , которые убывают при x → +∞ . Действительно, соответствующий ряд с точность до чле- нов первого порядка по μ имеет вид: ( ) 2 ( 1) ( , ) 1 1 ( 1) 1 1 ( ) (2 ) ( ) ( , ) ( , ) . μ μ ρ ρ ρ μ μ μ μ μ μ μ μ ρ μ − − − − − + = + = + + − = + + + ⋅ − + ≡ + Π x x e z x e o e e e o z x z Возникает вопрос: можно ли получить асимптотическое при- ближение решения (т.е. члены записанного выше ряда), не находя точного решения в явном виде, а решая, как и в случае регулярного возмущения, некоторую последовательность более простых задач? Оказывается, что при определенных условиях это возможно. Если представить решение в виде суммы двух рядов по степеням малого параметра – регулярного ( , ) z x μ и пограничного ( , ) z ρ μ Π – то, подставив эти ряды в уравнение и начальное условие и приравняв коэффициенты при степенях параметра μ отдельно в регулярной части (зависящей от переменной x ) и погранслойной части (зави- сящей от “быстрой” переменной ρ μ = x ), получим последова- тельность задач для определения членов разложения. Указанный метод носит название метода пограничных функций А.Б. Васильевой и подробно описан в упомянутой выше книге А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [4]. Понятие об асимптотических методах 189 Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Получите три первых члена асимптотического приближения по параметру μ решения задачи Коши 1 ; (0, ) 1 2 dy y y dx μ μ μ = + = − + 2. Проверьте выполнение условий теоремы А.Н. Тихонова о предельном переходе для задачи Коши ; (0, ) 1 z x z z μ μ ′ = − = . 3. Определите, какие из корней вырожденного уравнения син- гулярно возмущенной задачи 3 ; (0, ) μ μ ′ = − = z z z z h являются устойчивыми в соответ- ствии с теоремой А.Н. Тихонова о предельном переходе, и найдите их область влияния. 4. Используя теорему А.Н. Тихонова определите, будет ли вы- полняться предельный переход 0 lim ( ) 1, 0 z x x H μ μ →+ , = < ≤ в задаче 3 ; (0, ) μ μ ′ = − = z z z z h , если: а) 2 h = ; б) 0.3 h = ; в) 0.5 h = − 5. Используя теорему А.Н. Тихонова определите, будет ли вы- полняться предельный переход 0 lim ( ) 0, 0 z x x H μ μ →+ , = < ≤ в задаче 3 ; (0, ) μ μ ′ = − = z z z z h , если: а) 2 h = ; б) 0.3 h = ; в) 0.5 h = − Глава 8 190 Глава 8. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Лекция 16 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид 1 1 , , , , 0 ⎛ ⎞ ∂ ∂ , , = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ n n z z F x x z x x … или ( ) , ,grad 0 F x z z = . Проблема существования и единственности решения в об- щем случае окончательно не решена. Далее мы рассмотрим только линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка. |