Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 2. Нелинейные краевые задачи 1 0 . Постановка задачи Рассмотрим двухточечную краевую задачу 2 2 ( , ), = d u f u x dx (0;1) x ∈ (1) 0 (0) , = u u 1 (1) u u = . (2) Если функция ( , ) f u x не линейна по переменной u , то ре- шить задачу аналитически весьма сложно или вовсе невозможно. Поэтому основные методы решения таких задач – численные. В основном они основаны на конечно-разностных методах, и среди них можно выделить следующие. 1) Разностные методы – производные заменяются конечными разностями, задача линеаризуется, для ее решения применяется ме- тод прогонки, а затем применяются методы последовательных приближений. 2) Метод стрельбы – задается '(0) u γ = и решается начальная задача для ( , ) u x γ . Параметр γ подбирается так, чтобы 1 (1, ) u u γ = . При этом необходимо установить разрешимость задачи (1)- (2), а при использовании метода стрельбы важно выделить классы нелинейностей, когда задача (1)-(2) разрешима указанным мето- дом. В последние годы важную роль в исследовании различных классов нелинейных задач приобрели методы качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которых лежат так назы- ваемые теоремы сравнения. Этот подход носит также название ме- тод дифференциальных неравенств. Этот метод развивает и рас- пространяет идеи С.А. Чаплыгина для начальных задач на более сложные классы задач, в том числе краевые. Основной целью на- стоящего раздела курса ДУ является знакомство с этими эффек- тивными подходами. Глава 5 134 В качестве вспомогательного результата нам понадобится теорема, доказательство которой основано на методе стрельбы и приводится в следующем разделе. 2 0 . Существование решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы) Первый достаточно простой результат содержится в сле- дующей теореме. Теорема 1 . Пусть ( , ) f u x непрерывна, ограничена и удовле- творяет условию Липшица при [0,1] x ∈ , u R ∈ . Тогда задача (1) имеет решение. Доказательство Рассмотрим начальную задачу ( ) 0 , , (0,1], (0) , (0) γ ′′ = ∈ ′ = = u f u x x u u u (3) Докажем, что можно выбрать параметр γ так, что 1 (1, ) u u γ = и, следовательно, решение задачи (3) будет являться решением за- дачи (1)-(2) (метод стрельбы). Лемма 1 . Задача Коши (3) имеет единственное решение, не- прерывно зависящее от параметра γ . Результат Леммы 1 является следствием известных теорем существования и единственности, а также теорем о непрерывной зависимости от параметров решения уравнения n -го порядка, раз- решенного относительно старшей производной. Продолжим доказательство теоремы. Пусть ( , ) u x γ – реше- ние задачи Коши (3). Тогда, интегрируя дважды полученное тож- дество, будем иметь 0 0 0 ( , ) ( , ) ξ γ γ ξ = + + ∫ ∫ x u x u x d f u s ds , откуда найдем 1 0 0 0 (1, ) ( , ) ξ γ γ ξ = + + ∫ ∫ u u d f u s ds . Краевые задачи 135 В силу условий Теоремы 1 существует постоянная 0 M > такая, что ( , ) M f u x ≥ при [0;1] x ∈ , u R ∈ . Выберем теперь 0 0 γ γ = > , тогда 0 1 0 0 (1, ) γ γ ≥ + − > u u M u , если 0 0 γ > достаточно велико. Аналогичным образом получаем, что 0 1 0 0 (1, ) γ γ − ≤ − + < u u M u при достаточно большом 0 γ (выбираем 0 γ так, чтобы выполнялись оба неравенства). Так как функция (1, ) u γ непрерывна, то существует такое 0 0 ( ; ) γ γ γ ∈ − , что 1 (1, ) u u γ = . При этом значении γ решение задачи (3) является решением задачи (1)-(2). Таким образом, Теорема 1 доказана. Замечание . Класс функций f в Теореме 1 достаточно узкий: в не- го не попадает даже функция f u = . Поэтому область применимо- сти изложенного метода весьма ограничена. Поэтому далее рас- смотрим конструктивный подход, основанный на методе диффе- ренциальных неравенств, предложенный японским математиком Нагумо (Nagumo) и являющийся развитием идей С.А. Чаплыгина. 3 0 . Теорема Нагумо Определение .Функции ( ) x α , 2 ( ) ( ) ( ) β ∈ x C D C D ∩ называ- ются соответственно нижним и верхним решениями задачи (1) – (2), если выполняются следующие неравенства: 2 2 ( ( ), ) 0 d f x x dx α α − ≥ , 2 2 ( ( ), ) 0 β β − ≤ d f x x dx , , ∈ x D 0 (0) (0) α β ≤ ≤ u , 1 (1) (1) α β ≤ ≤ u Теорема 2 (Нагумо). Пусть существуют ( ) x α и ( ) x β – ниж- нее и верхнее решение задачи (1), причем ( ) ( ) x x α β ≤ , [0,1] x ∈ , а функция ( , ) f u x – непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной u при [ , ] u α β ∈ , [0,1] x ∈ Глава 5 136 Тогда существует решение задачи (1) ( ) u x , удовлетворяю- щее неравенствам ( ) ( ) ( ) x u x x α β ≤ ≤ , [0,1] x ∈ Доказательство. Рассмотрим модифицированную задачу (1)–(2): 2 2 ( , ) = d u h u x dx , (0,1) x ∈ (1*) 0 (0) = u u , 1 (1) = u u , (2) где 2 2 ( , ) ( ) / (1 ), , ( , ) ( , ), , ( , ) ( ) / (1 ), β β β α β α α α ⎧ + − + > ⎪ = ≤ ≤ ⎨ ⎪ + − + < ⎩ f x u u u h u x f u x u f x u u u Лемма 2 . Задача (1*)–(2)имеет решение. Доказательство.Проверим, что ( , ) h u x удовлетворяет условиям Теоремы 1, т.е. ( , ) h u x непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Липшица при [0,1] x ∈ , u R ∈ Ее непрерывность очевидна, а ограниченность немедленно следует из непрерывности и существования предела при u → ±∞ Проверим выполнение условия Липшица в полосе [0,1] x ∈ , u R ∈ . Легко заметить, что производная функции ( , ) h u x по пере- менной u при , 0 1 u x β ≥ ≤ ≤ 2 2 2 ( , ) (1 2 ) / (1 ) β = − − + u h u x u u u ограничена. Тогда, как известно, функции ( , ) h u x удовлетворяет в этой области условию Липшица 1 2 1 1 2 ( , ) ( , ) − ≤ − h u x h u x L u u , где в качестве постоянной Липшица 1 L можно взять 1 sup ( , ) , ,0 1 u L h u x u x β = ≥ ≤ ≤ . Аналогично можно показать, что функция ( , ) h u x удовлетво- ряет условию Липшица в области , 0 1. u x α ≤ ≤ ≤ Краевые задачи 137 Пусть при ( ) ( ) x u x α β ≤ ≤ функция ( , ) ( , ) h u x f u x ≡ удовле- творяет условию Липшица с постоянной 0 L . Покажем, что она удовлетворяет условию Липшица в полосе [0,1] x ∈ , u R ∈ . Рас- смотрим лишь случай 2 1 , β α β > ≤ ≤ u u . Положим 0 u β = , тогда 1 2 ( , ) ( , ) − = h u x h u x 1 0 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − + − ≤ h u x h u x h u x h u x 1 0 ( , ) ( , ) − + h u x h u x 0 2 ( , ) ( , ) − ≤ h u x h u x 0 1 0 ≤ − + L u u 1 L 0 2 − ≤ u u 1 2 , ⋅ − L u u где 0 1 max( , ). = L L L Таким образом, все условия Теоремы 1 выполнены и, следо- вательно, задача (1*)–(2) имеет решение ( ) u u x = . Лемма 2 доказа- на. Покажем теперь, что это решение удовлетворяет неравенст- вам u α β ≤ ≤ . Предположим, что нарушается первое неравенство, т.е. существует точка * (0,1) ∈ x такая, что * * ( ) ( ) 0 α − > x u x . Тогда существует точка 0 (0,1) x ∈ , в которой разность ( ) ( ) x u x α − дости- гает положительного максимума и, следовательно, 0 ( ( ) ( )) 0 α = ′′ − ≤ x x x u x (4) В этой точке ( ) u x удовлетворяет уравнению 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ( ), ) ( ( ) ( )) / (1 ( )) α α ′′ − = − + − + u x f x x x u x u x , а ( ) x α – дифференциальному неравенству 0 0 0 ( ) ( ( ), ) α α ′′ ≥ x f x x Складывая два последних соотношения, получим 0 2 0 0 0 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) / (1 ( )) 0 α α = ′′ − ≥ − + > x x x u x x u x u x , что противоречит (4), а значит ( ) ( ) x u x α ≤ для всех [0,1] x ∈ . Ана- логично показывается что ( ) ( ) x u x β ≥ при [0,1] x ∈ Заметим, что если ( ) ( ) x u x α β ≤ ≤ , то имеет место ( , ) ( , ) h u x f u x ≡ , следовательно, решение модифицированной зада- чи (1*)–(2) является также решением задачи (1)–(2). Это завершает доказательство теоремы. Глава 5 138 4 0 . Примеры Пример 1 .Рассмотрим задачу (1)–(2) с кубическойнелинейностью ( )( ) 2 1 2 2 ( ) ( ) ϕ ϕ = − − d u u u x u x dx , (0,1), ∈ x 0 (0) = u u , 1 (1) u u = ; 0 1 , 0 > u u , предполагая, что 1 ( ) 0 x ϕ < , 2 ( ) 0 x ϕ > – непрерывные при [0,1] x ∈ функции. Докажем существование решения. Очевидно, что ( ) 0 x α ≡ – нижнее решение. Пусть 2 2 [0,1] max ( ) x ϕ ϕ = . Тогда в качестве верхнего решения можно взять любую постоянную 0 1 2 ( ) max[ , , ] β ϕ = ≥ C x u u . Действительно, в этом случае ( , ) 0 f C x ≥ (см. рисунок) и, следова- тельно, 2 2 ( , ) 0 β β − ≤ d f x dx Тогда по теореме Нагумо существует решение краевой зада- чи ( ) u x , удовлетворяющее неравенствам 0 ( ) u x ≤ ≤ 0 1 2 ( ) max[ , , ] β ϕ = x u u В качестве нижнего решения можно выбрать также ( ) 0 x α δ = > , где 0 1 2 [0,1] min(min ( ), , ) x u u δ ϕ ≤ , оставив верхнее решение прежним. Таким образом, можно показать существование положи- тельного решения ( ) u x , удовлетворяющего неравенствам ( ) ( ) u x x δ β ≤ ≤ Пример 2 .Рассмотрим задачу (1)–(2) со степеннойнелинейностью 2 2 = p d u u dx , (0,1), ∈ x 0 (0) = u u , 1 (1) u u = ; 0 1 , 0 > u u , где 1 p > . В этом случае ( ) 0 x α ≡ – нижнее решение. В качестве верх- него решения можно взять любую постоянную = C 0 1 ( ) max[ , ] β = ≥ x u u . Тогда из теоремы Нагумо следует существо- вание неотрицательного решения краевой задачи ( ) u x , удовлетво- ряющего неравенствам 0 ( ) u x ≤ ≤ 0 1 ( ) max[ , ] β = x u u . Основы теории устойчивости 139 Глава 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Лекция 13 § 1. Постановка задачи. Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нор- мальной системы ОДУ ( ) x f t x = , (1) непрерывно зависит от начальных условий при [ ] , t a b ∈ , если пра- вая часть ( ) f t x , удовлетворяет условиям теорем существования и единственности. В этой главе мы исследуем зависимость решения задачи Коши от начальных условий, когда [ ) 0 , t t ∈ +∞ . Далее будем использовать следующее определение нормы вектор-функции ( ) 1 2 , ,..., = n y y y y : 2 1 ( ) = ≡ = ∑ m m i R i y y y Предположим, что для системы уравнений (1) выполнены условия теорем существования и единственности на множестве та- ких точек ( ) t x , , что ( ) , , t x D α ∈ +∞ ∈ , где D — открытое множе- ство в пространстве переменного x Пусть ( ) x t ϕ = – решение системы уравнений (1), определен- ное при 0 t t ≥ Определение . Решение ( ) x t ϕ = системы (1) называется ус- тойчивым по Ляпунову , если для любого 0 ε > существует ( ) 0 δ ε > такое, что для любого ( ) 0 0 0 : x t x ϕ δ − < решение ( ) x t ψ = системы (1) с начальным условием ( ) 0 0 ψ = t x опреде- лено при 0 ≥ t t и ( ) ( ) t t ψ ϕ ε − < при всех 0 t t ≥ Глава 6 140 Если, кроме того, ( ) ( ) lim 0 t t t ψ ϕ →∞ − = , то решение ( ) x t ϕ = на- зывается асимптотически устойчивым. Исследование устойчивости решения ( ) x t ϕ = системы урав- нений (1) может быть сведено к исследованию устойчивости три- виального решения, т.е. некоторого положения равновесия другой нормальной системы. В самом деле, введем новую неизвестную функцию ( ) ( ) ( ) y t x t t ϕ = − , (2) которая удовлетворяет следующей системе уравнений: ( ) ( ) ( ) 1 ϕ ϕ = , + − , = , y f t y f t f t y , (3) где ( ) 1 0 0 f t , = . При этом устойчивость (по Ляпуновy или асимпто- тическая) решения ( ) x t ϕ = равносильна устойчивости решения 0 y = системы уравнений (3). В дальнейшем будем считать, что замена (2) уже сделана. То- гда система уравнений (1) имеет решение 0 x ≡ , т.е. ( ) 0 0 f t , = . § 2. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость тривиального решения Рассмотрим однородную систему из n линейных дифферен- циальных уравнений x Ax = , (1) где A – постоянная действительная матрица. Пусть , λ μ ν = + k k k i 1 2,..., , = , ≤ k m m n – собственные значения матрицы A. Лемма 1 Пусть Re 0, 1,2,..., λ μ = < = k k k m , тогда су- ществуют постоянные 0, 0 R α > > такие, что при всех 0 t ≥ для решения системы (1) ( ) x t ϕ = справедлива оценка ( ) α ϕ − ≤ t t Re , Основы теории устойчивости 141 где норма вектор-функции ( ) 2 1 ϕ ϕ = = ∑ m i i Доказательство. Как было показано ранее, любое решение ( ) x x ϕ = системы уравнений (1) имеет вид ( ) ( ) 1 λ ϕ = = ∑ k m t k k t g t e , (2) где ( ) k g t – вектор-функция, каждая координата которой есть неко- торый многочлен. По условию леммы Re 0, 1,2,..., λ μ = < = k k k m . Поэтому существует константа 0 α > такая, что Re 0, 1,2,..., . λ μ α = < − < = k k k m (3) Из (2) следует, что ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 μ ν μ ϕ + = = ≤ ≤ ∑ ∑ k k k m m i t t k k k k t g t e g t e Умножив это неравенство на α t e , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 0 1 1 0 1 1 lim 0 0 : , 0 μ α μ ν α μ α μ α α α ϕ ϕ ϕ < < + + = = + → = + = − ≤ ≤ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ ∃ > ≤ ≥ ⇒ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ∑ ∑ ∑ ∑ k k k k k t m m i t t k k k k t m k t k m t k k t t t e g t e g t e g t e R g t e R t t e R t Re Лемма 2 . Пусть Re 0, 1, 2,..., k k k m λ μ = < = , тогда для лю- бого решения системы (1) ( ) 0 , x t x ϕ = , удовлетворяющего началь- ному условию ( ) 0 0 0, x x ϕ = , выполнена равномерная на промежутке 0 t ≥ оценка ( ) 0 0 , , 0 α ϕ − ≤ ≥ t t x r x e t , где 0, 0 r α > > - некоторые постоянные. Глава 6 142 Доказательство. Пусть ( ) j x t ϕ = – решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальному условию { } 1 2 (0) , , , ϕ δ δ δ = = n j j j j j e … – единичный координатный вектор. То- гда, по теореме единственности ( ) { } 1 2 0 0 0 0 0 0 1 , ( ) , , , , ϕ ϕ = = = ∑ m j n j k t x t x x x x x … , так как в правой части последнего равенства записано решение системы уравнений (1), удовлетворяющее при 0 t = тому же на- чальному условию, что и ( ) 0 , t x ϕ В силу Леммы 1 существуют постоянные , 0 j R α > такие, что при всех 0 t ≥ верно ( ) , 1,2,..., α ϕ − ≤ = t j j t R e j n . Положим { } 1 max , , = n R R R … , тогда ( ) , 1,2,..., α ϕ − ≤ = t j t Re j n Следовательно, при всех 0 t ≥ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 , α α α ϕ ϕ − − − = = ≤ ⋅ ≤ = = ∑ ∑ m m j t t t j r k k t x t x Re x nR e x re x . Установим теперь необходимые и достаточные условия ус- тойчивости положения равновесия 0 x = системы уравнений (1). Теорема 1 . Для того чтобы положение равновесия 0 x = системы уравнений (1) было асимптотически устойчивым, необ- ходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A имели отрицательные действительные части. Доказательство. Достаточность. Пусть 0 ε > – произвольное положительное число, а ( ) ( ) 0 , x t t x ψ ϕ = = – решение системы уравнений (1), удов- летворяющее начальному условию ( ) 0 0 x ψ = . В силу Леммы 2 справедлива равномерная при 0 t ≥ оценка ( ) ( ) 0 0 , α ψ ϕ − ≡ ≤ t t t x r x e , где 0, 0 r α > > – некоторые постоянные. Основы теории устойчивости 143 Пусть / r δ ε = , тогда если 0 x δ < , то ( ) α ε ψ ε − < ≤ t t r e r при всех 0 t ≥ , т.е. положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Так как lim 0 α − →+∞ = t t e , то ( ) lim 0 t t ψ →+∞ = , следовательно, поло- жение равновесия 0 x = асимптотически устойчиво. Достаточ- ность доказана. Необходимость. Пусть существует k такое, что Re 0 λ μ = ≥ k k , тогда положение равновесия 0 x = не может быть устойчивым по Ляпунову. В самом деле, положим `1 1 Re 0 λ μ = ≥ и рассмотрим 0 h ≠ – собственный вектор матрицы A , т.е. `1 Ah h λ = . Тогда ( ) `1 Re λ = t x he – решение системы уравнений (1). Пусть 1 2 h h ih = + , тогда ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 1 Re cos sin 0 μ ν μ ν ν + →+∞ = + = − → / i t t t x h ih e e h t h t Этим же свойством, очевидно, обладает любое решение `1 Re( ) λ = t x c he , которое при достаточно малом с сколь угодно близко в момент 0 t = к положению равновесия 0 x = , но при t → +∞ не стремится к нулю. Следовательно, положение равнове- сия 0 x = не является асимптотически устойчивым. Необходи- мость доказана. Замечание . Для устойчивости по Ляпунову положения равновесия 0 x = системы уравнений (1) необходимо (но не достаточно!), что- бы все собственные значения матрицы А имели неположительные действительные части. |