Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 4. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициен- тами 1 0 . Однородная система линейных уравнений с постоянными ко- эффициентами Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с по- стоянными коэффициентами , = dy Ay dt (1) где ij a – числа, т.е. ( ) ( ) , 1 ij A a i j n = , = , – постоянная ( ) n n × мат- рица. Будем искать ее решение в виде ( ) λ = t y t he , (2) где h – постоянный вектор. Подставляя (2) в (1), получим λ λ λ λ = ⇒ = t t he Ahe Ah h , т.е. h является собственным вектором матрицы A , отвечающим собственному значению λ . Соответствующая задача рассматривалась в курсе линейной алгебры. Напомним некоторые результаты. Собственные значения матрицы A определяются из уравне- ния ( ) det 0 A E λ − = , (3) где E – единичная матрица. Определение . Уравнение (3) называется характеристиче- ским уравнением Уравнение (3) – алгебраическое уравнение n-го порядка, сле- довательно, имеет ровно n корней (с учетом кратности). Поэтому возможны следующие случаи. а) Все корни характеристического уравнения (3) , 1,2,..., λ = k k n – простые (будем называть их простыми собствен- Системы линейных дифференциальных уравнений 111 ными значениями матрицы А ). В этом случае им соответствуют ли- нейно независимые собственные векторы , 1,2,..., = k h k n (всего n штук), которые образуют базис в линейном пространстве n -мерных столбцов. б) Среди корней характеристического уравнения (3) имеются кратные, но корни , 1,2,..., λ = k k n уравнения (3) также являются простыми собственными значениями матрицы А , т.е. число ли- нейно-независимых собственных векторов, отвечающих этим собст- венным значениям, равно кратности корня (алгебраическая крат- ность каждого корня совпадает с геометрической). В этом случае матрица А также имеет n линейно независимых собственных век- торов, и эти векторы образуют базис в пространстве n -мерных столбцов. в) Среди корней уравнения (3) имеются кратные, но корни , 1,2,..., λ = k k n уравнения (3) являются кратными собственными значениями матрицы А , т.е. число линейно-независимых собствен- ных векторов меньше, чем кратность корня. В этом случае собст- венные векторы не образуют базиса в линейном пространстве n - мерных столбцов, и для построения этого базиса нужно использо- вать также присоединенные векторы. Структура ФСР в случае простых собственных значений матрицы системы Теорема 1 . Пусть все собственные значения λ k , 1, 2,..., = k n матрицы А простые и им соответствуют собственные векторы , 1,2,..., = k h k n Тогда вектор-функции ( ) λ ψ = ⋅ k t к k t h e , 1, 2,..., = k n образуют ФСР однородного уравнения (1). Доказательство Напомним, что собственные значения матрицы А простые, если реализуется либо случай а), либо б) приведенной выше классификации. В этом случае матрица А имеет n линейно независимых собственных векторов, которые образуют базис в про- странстве n -мерных столбцов. Глава 4 112 По построению все вектор-функции ( ) λ ψ = ⋅ k t к k t h e , 1, 2,..., k n = являются решениями уравнения (1). Составим определи- тель Вронского этого набора вектор-функций ( ) ( ) 1 2 det det ( ), ( ),..., ( ) ψ ψ ψ = = n W t t t t ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 det , ,..., det , ,..., λ λ λ λ λ λ + + + = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ n n t t t t n n h e h e h e e h h h Так как собственные векторы , 1,2,..., k h k n = линейно незави- симы, то при всех 0 t > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 0 det 0 det , ,..., 0 det 0 0 λ λ λ + + + ⋅ ≠ = ≠ ⇒ = ⋅ ≠ t n W h h h W t e W , т.е. вектор-функции ( ) , 1,2,..., λ ψ = ⋅ = k t к k t h e k n линейно независи- мы при 0 t > и образуют ФСР однородной системы (1). Структура ФСР в случае кратных собственных значений матрицы системы Этот случай рассмотрим при некотором дополнительном ус- ловии, а именно пусть матрица А имеет l n < простых собственных значений , 1,2,..., λ = < k k l n , которым соответствуют (линейно неза- висимые) собственные векторы , 1,2,..., k h k l n = < , а также одно кратное λ (кратности q n l = − ), т.е. 1 2 l l n λ λ λ λ + + = = = = . Обозна- чим 1 l h + – собственный вектор, отвечающий собственному значению λ , а ( ) 1 , 1,2,..., 1 i l h i q + = − – присоединенные векторы, которые на- ходятся из следующих уравнений (см. курс линейной алгебры): 1 1 , λ + + = l l Ah h (1) (1) 1 1 1 , λ + + + = + l l l Ah h h ( ) ( ) ( 1) 1 1 1 , 2,3,..., 1 i i i l l l Ah h h i q λ − + + + = + = − . Из курса линейной алгебры известно, что указанные векторы существуют и являются линейно независимыми, т.е. совокупность n столбцов { } (1) (2) ( 1) 1 2 1 1 1 1 , ,..., , , , ,..., − + + + + = − q l l l l l l штук q n l штук h h h h h h h образует базис в про- странстве столбцов длины n Системы линейных дифференциальных уравнений 113 Теорема 2 . Пусть матрица А имеет l n < простых собствен- ных значений , 1,2,..., λ = < k k l n , которым соответствуют (линейно независимые) собственные векторы , 1,2,..., k h k l n = < , и одно – кратное λ (кратности q n l = − ) с собственным вектором 1 l h + и на- бором присоединенных векторов ( ) 1 , 1,2,..., 1 i l h i q + = − . Тогда ФСР однородной системы (1) имеет следующую струк- туру: ( ) , 1,2,..., λ ψ = ⋅ = k t к k t h e k l ( ) 1 1 λ ψ + + = ⋅ t l l t h e ( ) ( ) (1) 2 1 1 λ ψ + + + = + ⋅ ⋅ t l l l t h t h e ( ) 2 1 ( 1) ( 2) (1) 1 1 1 1 ( 2)! ( 1)! λ ψ − − − − + + + + ⎛ ⎞ = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ q q q q t n l l l l t t t h t h h h e q q В том, что это решения, можно убедиться непосредственной подстановкой в систему (1). Линейная независимость следует из то- го, что в силу отмеченной выше линейной независимости n столб- цов { } (1) (2) ( 1) 1 2 1 1 1 1 , ,..., , , , ,..., q l l l l l h h h h h h h − + + + + при всех 0 t > имеем ( ) ( ) ( ) (1) (2) ( 1) 1 2 1 1 1 1 det 0 det , ,..., , , , ,..., 0 0 q l l l l l W h h h h h h h W t − + + + + = ≠ ⇒ ≠ . Теорема легко обобщается на случай наличия нескольких кратных собственных значений с соответствующими цепочками присоединенных векторов различной длины. Пример . Найти общее решение системы уравнений 1 1 2 2 1 2 3 3 1 2 3 2 , 3 , 2 2 = − ⎧ ⎪ = + + ⎨ ⎪ = − − − ⎩ x x x x x x x x x x x Решение. Матрица системы имеет вид 1 2 0 1 3 1 2 2 1 A − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ , а ее соб- ственными значениями являются 1 1 1, 3 k λ = = ; Глава 4 114 2 1 1 1 0 2 0 2 4 2 1 2 1 , 0 0 0 2 2 2 2 4 2 λ − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − = − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B A E A E B , 1 3 3 1 1 1 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 , 0 ; 0 0 0 0 c B B C C c c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 2 , 0 ; 2 2 2 2 4 2 − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c c c B C c c c B C c c c c c c ( ) 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 2 0 2 2 2 2 2 4 2 ⎧ ⎫ − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + + + + ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ − − − + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ t c c c c c t x t c t c c c e c c c c c c c 2 0 . Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородную систему ( ) x Ax F t = + , где { } = ij A a – постоянная матрица. Напомним, что общее решение неоднородной линейной системы имеет вид 0 = + ч x x x , где 0 x – общее решение соответствующей однородной системы, а ч x – лю- бое частное решение неоднородной. Способы нахождения частного решения неоднородной системы 1. Метод вариации постоянных или с помощью матрицы Коши. 2. Для правых частей специального вида ("квазиполинома") под- бор решений методом неопределенных коэффициентов. 3. Операторный метод. Системы линейных дифференциальных уравнений 115 § 5. Некоторые приемы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений и систем В этом параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи, когда решение дифференциальных уравнений либо упрощается, ли- бо сводится к квадратурам. 1 0 . Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 − + + + = n n n x a t x a t x Пусть известно частное решение ( ) t ϕ этого уравнения, отлич- ное от нуля на рассматриваемом отрезке [a, b]. Тогда порядок урав- нения можно понизить, сделав замену переменных ( ) x y t ϕ = ⋅ . По- лучим следующее уравнение для y: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 . ϕ ϕ ϕ ϕ − − − + + + ⋅ + + + + + ⋅ = n n n n n n t y b t y b t y a t a t y Последнее слагаемое этой формуле равно нулю, так как ( ) t ϕ является решением исходного уравнения. Обозначая y z = , по- лучим линейное однородное уравнение ( ) 1 n − -го порядка относи- тельно функции ( ) z t ( ) ( ) 0 t ϕ ≠ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 0 ϕ − − − + + + = n n n t z b t z b t z 2 0 . Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений ( ) ( ) x A t x F t = + с диагональной матрицей ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 0 0 diag , , 0 0 0 0 nn nn a t A t a t a t a t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … В этом случае система распадается на n линейных уравнений первого порядка ( ) ( ) 1,2,3,..., = + = i ii i i x a t x f t i n и потому интегрируется в квадратурах. Глава 4 116 3 0 . Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений ( ) ( ) x A t x F t = + с треугольной матрицей ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 21 22 31 32 33 1 2 3 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n n nn a t a t a t A t a t a t a t a t a t a t a t … … … … … … … … … В этом случае интегрирование системы также сводится к квадратурам. Действительно, первое уравнение системы ( ) ( ) 1 11 1 1 x a t x f t = + – линейное уравнение с одной неизвестной функцией 1 ( ) x t , и его решения находятся с помощью квадратур. Второе уравнение систе- мы, записанное в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 21 1 x a t x f t a t x t = + + – также линейное уравнение с одной неизвестной функцией 2 ( ) x t . Последовательно решая получившиеся линейные уравнения, найдем решение исходной системы. 4 0 . Метод исключения для системы линейных дифференциаль- ных уравнений Выше было показано, что одно линейное уравнение n-го по- рядка сводится к линейной системе из n уравнений. Имеет место и обратное утверждение, т.е. любой линейной системе можно сопос- тавить линейное уравнение n-го порядка. Этот способ решения сис- темы линейных дифференциальных уравнений называется методом исключения. Мы не будем обосновывать такую возможность в об- щем виде, а ограничимся лишь рассмотрением примера. Указанный метод особенно эффективен в случае системы двух уравнений: ее можно свести к одному уравнению 2-го порядка, по- строить ФСР и общее решение для него, а затем и для системы. Системы линейных дифференциальных уравнений 117 Пример . Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 ⎧ = + + ⎪ ⎨ = + + ⎪⎩ x a x a x f t x a x a x f t и сведем ее к одному уравнению второго порядка относительно функции 1 ( ) x t . Для этого продифференцируем первое уравнение и вместо производных 1 x и 2 x подставим правые части исходной сис- темы: ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 11 11 1 12 2 1 12 21 1 22 2 2 = + + = + + + + + ≡ x a x a x f a a x a x f a a x a x f ( ) 11 1 12 2 1 ≡ + + b x b x q t Выразим 2 x из первого уравнения исходной системы ( ) 2 1 11 1 1 12 1 x x a x f a = − − и подставим в правую часть записанного выше соотношения. Полу- чим ( ) 12 1 11 1 1 11 1 1 1 12 b x b x x a x f q a = + − − + , или ( ) ( ) 12 1 12 1 11 12 12 11 1 1 a x b x a b a b x g t − + − = Записав общее решение этого уравнения, найдем 1 ( ) x t . Под- ставив его в выражение для 2 x , найдем общее решение системы { } 1 2 ( ), ( ) x t x t . Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Образует ли множество решений нормальной системы одно- родных линейных обыкновенных дифференциальных уравне- ний первого порядка линейное пространство? Если да, то ка- кова его размерность и что можно взять в качестве базиса? Ответ обоснуйте. 2. Образует ли множество решений нормальной системы неод- нородных линейных обыкновенных дифференциальных урав- нений первого порядка линейное пространство? Если да, то Глава 4 118 какова его размерность и что можно взять в качестве базиса? Ответ обоснуйте. 3. На каком интервале решение задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных урав- нений первого порядка существует и единственно? Ответ обоснуйте. 4. Является ли решение задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений пер- вого порядка функцией ограниченной степени роста? Ответ обоснуйте. 5. Найдите производную определителя Вронского, построенного на решениях нормальной системы однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого по- рядка. 6. Выведите формулу Лиувилля для определителя Вронского, построенного на решениях нормальной системы однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений пер- вого порядка 7. Можно ли, зная фундаментальную матрицу решений нормаль- ной системы однородных линейных обыкновенных диффе- ренциальных уравнений первого порядка, восстановить мат- рицу этой системы? Если да, то опишите алгоритм. Если нет – обоснуйте. 8. Можно ли, зная общее решение нормальной системы неодно- родных линейных обыкновенных дифференциальных уравне- ний первого порядка, восстановить матрицу этой системы и ее правую часть? Если да, то опишите алгоритм. Если нет – объ- ясните, почему? 9. Какова степень гладкости решения нормальной системы неод- нородных линейных обыкновенных дифференциальных урав- нений первого порядка? 10. Для уравнения 2 0 0 0 0 2 0, 0 γ ω γ ω + + = < < x x x запишите экви- валентную нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 11. Сведите систему ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 , ⎧ = + + ⎪ ⎨ = + + ⎪⎩ x a x a x f t x a x a x f t к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Системы линейных дифференциальных уравнений 119 12. Для следующих нормальных систем ОДУ 1-го порядка , , = − ⎧ ⎨ = ⎩ x y y x 2 , , = − ⎧ ⎨ = − ⎩ x x y y , 2 , = ⎧ ⎨ = ⎩ x x y y , 4 , = ⎧ ⎨ = ⎩ x y y x , , = − ⎧ ⎨ = + ⎩ x x y y x y , , = − − ⎧ ⎨ = − ⎩ x x y y x y найдите: а) фундаментальную совокупность решений и общее ре- шение; б) фундаментальную матрицу и ее определитель; в) матрицу Коши; г) решение задачи Коши с начальными условиями ( ) ( ) 0 1, 0 1 x y = = − . Глава 5 120 Глава 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Лекция 11 Краевыми задачами называются задачи для дифференци- альных уравнений, в которых дополнительные условия (в отличие от начальной задачи) ставятся в нескольких точках. Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для ли- нейных дифференциальных уравнений 2-го порядка и некоторые задачи для нелинейных уравнений 2-го порядка. Более подробно будет изучена краевая задача с граничными условиями 1-го рода (Дирихле) и отмечены некоторые особенности задач с граничными условиями 2-го рода (Неймана) и 3-го рода. |