Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 1. Общие свойства линейных ОДУ n-го порядка Определение . Функция ( ) ( ) ∈ n y x C X называется решением уравнения (1), если при ее подстановке (1) обращается в тождество. 1 0 . Теорема существования и единственности решения задачи Коши К уравнению (1) могут быть добавлены начальные условия 0 0 ( 1) 0 0 1 0 2 0 0 ( ) , ( ) , ..., ( ) , − ′ = = = ∈ n n y x y y x y y x y x X . (2) Уравнение (1) с дополнительными условиями (2) называется задачей Коши Теорема 1 . Решение задачи Коши (1)–(2) существует и един- ственно на любом сегменте [ , ] a b X ∈ . Доказательство основано на теореме о существовании и единст- венности решения для системы ОДУ в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе (см. Тео- рему 2 из §5 гл. 2). Действительно, замена ( 1) 1 2 , , ... , − ′ = = = n n y y y y y y приводит к системе Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 77 1 2 2 3 1 1 , , ... , ( ) ( ) ( ) = = = − − − n n n dy dy dy y y f x a x y a x y dx dx dx , правые части которой 1 2 ( , , ,..., ), 1,2,..., = i n f x y y y i n , как легко видеть, непрерывны в полосе { } [ , ], i x a b y R ∈ ∈ и удовлетворяют условию Липшица 1 2 1 2 1 ( , , ,..., ) ( , , ,..., ) , 1,2,..., = − ≤ ⋅ − = ∑ n i n i n k k k f x y y y f x y y y N y y i n с постоянной ( ) [ , ] max 1, max max ( ) i i a b N a x ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Пример . Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x ′′ ′ + + = , 0 0 0 0 ( ) , ( ) y x y y x v ′ = = Обозначим 1 2 , ′ = = y y y y , тогда эквивалентная задача Ко- ши для нормальной системы относительно вектор-функции { } 1 1 2 ( ) ( ), ( ) x y x y x ψ = имеет вид 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) y y y q x y p x y f x ′ = ⎧ ⎨ ′ = − − − ⎩ ( ) ( ) 1 0 0 2 0 0 y x y y x v ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ Решение рассматриваемой задачи существует и единственно. 2 0 . Некоторые следствия линейности уравнения Заметим, что оператор ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) − ≡ + + + n n n Ly y a x y a x y в уравнении (1) является линейным и действует из ( ) n C X в ( ) C X . Сформулируем ряд утверждений, являющихся следствием линейно- сти указанного оператора. Теорема 2 (принцип суперпозиции). Пусть в уравнении (1) 1 ( ) ( ) = = ∑ M i i i f x C f x , где i C – некоторые постоянные, а ( ) i y x – реше- ния уравнений ( ) = i i Ly f x , 1,2,..., i M = Глава 3 78 Тогда функция 1 ( ) ( ) = = ∑ M i i i y x C y x является решением уравнения (1). Доказательство производится путем прямой подстановки функции 1 ( ) ( ) M i i i y x C y x = = ∑ в (1): 1 1 2 2 1 ( ) = ≡ = + + + = ∑ M i i M M i Ly L C y x C Ly C Ly C Ly 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) = + + + = M M C f x C f x C f x f x . Тривиальным следствием доказанной теоремы являются сле- дующие три утверждения. Теорема 3 . Любая линейная комбинация решений одно- родного уравнения ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y (3) также есть решение этого однородного уравнения. Теорема 4 . Разность любых двух решений неоднородного уравнения (1) является решением соответствующего однородного уравнения (3). Теорема 5 . Пусть функция ( ) ( ) ( ) z x u x iv x = + удовлетворя- ет уравнению 1 2 ( ) ( ) = + Lz f x if x .Тогда функции ( ) u x и ( ) v x – ре- шения уравнений 1 ( ) Lu f x = и 2 ( ) Lv f x = Верно и обратное утверждение: если ( ) u x и ( ) v x есть ре- шения уравнений 1 ( ) Lu f x = и 2 ( ) Lv f x = , то ( ) ( ) ( ) z x u x iv x = + удовлетворяет уравнению 1 2 ( ) ( ) Lz f x if x = + § 2. Линейное однородное уравнение Рассмотрим однородное уравнение ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y и выясним структуру его решений. Легко видеть, что множество решений (3) образует линейное пространство. В связи с этим возни- кают вопросы: 1) какова размерность этого пространства; 2) как построить базис указанного пространства. Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 79 Сформулируем еще два определения. Определение 1 . Функции 1 ( ), , ( ) m y x y x … называются линейно зависимыми на отрезке [ ] , a b , если существует такой набор посто- янных 1 , , m C C … , среди которых хотя бы одна отлична от нуля, что выполнено равенство [ ] 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) 0 , + + + ≡ ∈ m m C y x C y x C y x x a b . (4) Если (4) выполняется лишь в случае 1 2 0 = = = = m C C C … , то функции 1 ( ), , ( ) m y x y x … линейно независимы на отрезке [ ] , a b . Пусть 1 ( ), , ( ) n y x y x … – совокупность 1 n − раз дифференци- руемых на отрезке [ ] , a b функций (не обязательно решений уравне- ния (3)). Определение 2 . Определителем Вронского системы n функ- ций 1 ( ), , ( ) n y x y x … называется определитель [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 ( ) , ,..., − − ′ ′ ≡ = n n n n n n y x y x y x y x W x W y y y y x y x … … … … … … … … … … (5) Теорема 6 . Пусть функции 1 ( ), , ( ) n y x y x … линейно зависимы на отрезке [ ] , a b . Тогда определитель Вронского этой системы функций [ ] 1 2 ( ) , ,..., 0, [ , ] ≡ ≡ ∈ n W x W y y y x a b . Доказательство. По предположению существует ненулевой набор констант, для которого имеет место тождество [ ] 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) 0, , + + + = ∈ n n C y x C y x C y x x a b . Дифференцируя 1 n − раз, получим [ ] 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) ( ) ... ( ) 0 , ( ) ( ) ... ( ) 0 − − − + + + = ⎧ ⎪ ′ ′ ′ + + + = ⎪ ∈ ⎨ ⎪ ⎪ + + + = ⎩ n n n n n n n n n C y x C y x C y x C y x C y x C y x x a b C y x C y x C y x Глава 3 80 Если рассматривать записанные тождества как систему урав- нений относительно неизвестных 1 , , n C C … , она имеет нетривиаль- ное решение (в силу предположения о линейной зависимости). Сле- довательно, ( ) 0, [ , ] W x x a b ≡ ∈ , что и требовалось доказать. Теорема 7 . Пусть теперь функции 1 ( ), , ( ) n y x y x … – линейно независимые на отрезке [ ] , a b решения однородного уравнения (3). Тогда определитель Вронского этой системы функций [ ] 1 2 ( ) , ,..., 0, [ , ] ≡ ≠ ∀ ∈ n W x W y y y x a b . Доказательство. Предположим обратное, т.е. пусть существует точка [ ] 0 , x a b ∈ такая, что 0 ( ) 0 W x = . Рассмотрим следующую ал- гебраическую систему относительно неизвестных 1 , , n C C … : 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 2 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) ( ) ... ( ) 0 . n n n n n n n n n C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x − − − + + + = ⎧ ⎪ ′ ′ ′ + + + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + + + = ⎩ (6) Так как ее определитель 0 ( ) 0 W x = , то существует нетриви- альное решение 0 0 1 , , n C C … . Рассмотрим функцию 0 0 0 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) 0 n n y x C y x C y x C y x = + + + = , (7) которая является решением однородного уравнения (3). Последова- тельно дифференцируя (7) и учитывая соотношения (6), получим ( 1) 0 0 0 ( ) 0, ( ) 0, ... , ( ) 0 n y x y x y x − ′ = = = . (8) Далее, в силу теоремы единственности решения (Теорема 1) существует единственное решение ( ) 0 y x ≡ , удовлетворяющее усло- виям (8), что означает (см. (7)) линейную зависимость функций 1 ( ), , ( ) n y x y x … , что противоречит условию теоремы. Теорема дока- зана. Из доказанных теорем 6 и 7 вытекает: Следствие .Определитель Вронского некоторой системы ре- шений однородного уравнения ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 81 либо тождественно равен нулю на отрезке [ ] , a b , и тогда эти реше- ния линейно зависимы, либо не обращается в ноль ни в одной точке отрезка [ ] , a b ; в этом случае рассматриваемые решения линейно не- зависимы. Определение 3 . Совокупность любых n (число n – порядок уравнения) линейно независимых на отрезке [ ] , a b решений уравне- ния (3), называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородного линейного дифференциального уравнения. Следствие . Определитель Вронского, составленный из функ- ций, входящих в ФСР, отличен от нуля. Теорема 8 (о существовании ФСР). Всякое линейное од- нородное дифференциальное уравнение с непрерывными коэффици- ентами имеет ФСР. Доказательство. Зададим произвольный числовой, отличный от нуля, определитель: 11 1 1 21 2 2 1 0. Δ = ≠ k n k n n nk nn a a a a a a a a a Построим n решений 1 ( ), , ( ) n y x y x … следующих задач Коши: 0 1 0 2 ( 1) 0 0 ( ) ( ) 1,2,..., . ( ) , − = ⎧ ⎪ = , ⎪⎪ ′ = , = ⎨ ⎪....................... ⎪ ⎪ = ⎩ k k k k n nk k Ly y x a x a y k n y x a Составим определитель Вронского для этих решений. Очевидно, что 0 ( ) 0 W x = Δ ≠ . Следовательно, решения 1 ( ), , ( ) n y x y x … линейно не- зависимы, т.е. образуют ФСР, что и требовалось доказать. Замечание. Так как существует множество способов задать опре- делитель Δ, фигурирующий в доказательстве теоремы 8, то ФСР од- Глава 3 82 нородного линейного дифференциального уравнения определена не- единственным образом. Теорема 9 . Пусть 1 ( ), , ( ) n y x y x … – ФСР линейного одно- родного уравнения ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y Тогда любое решение ( ) z x этого уравнения представимо в виде 1 ( ) ( ) = = ∑ n i i i z x C y x , где 1 , , n C C … – некоторые постоянные. Доказательство. Пусть ( ) z x – решение задачи Коши 0 0 1 0 0 2 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) − = ⎧ ⎪ = , ⎪ ⎪ ′ = ⎨ ⎪ ....................... ⎪ ⎪ = . ⎩ n n Lz z x z z x z z x z (9) Покажем, что можно выбрать постоянные 1 , , n C C … так, что 1 ( ) ( ) = = ∑ n i i i z x C y x . Подставив это выражение в начальные условия в (9), получим систему 0 1 1 0 2 2 0 0 1 0 1 1 0 2 2 0 0 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) , − − − ⎧ + + + = ⎪ ′ ′ ′ + + + = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + + + = ⎩ n n n n n n n n n n C y x C y x C y x z C y x C y x C y x z C y x C y x C y x z определитель которой 0 ( ) 0 W x ≠ , т.е. система имеет решение 0 0 1 , , n C C … . Составим функцию 0 0 1 ( ) ( ) = = ∑ n i i i z x C y x и заметим, что она также является решением задачи Коши (9). Но по Теореме 1 реше- ние задачи Коши (9) единственно. Следовательно, Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 83 0 0 1 ( ) ( ) ( ), [ , ] = ≡ = ∈ ∑ n i i i z x z x C y x x a b , что и требовалось доказать. Замечание . Выражение 1 ( ) ( ) = = ∑ n i i i z x C y x , где набор функций 1 ( ), , ( ) n y x y x … есть ФСР, дает общее решение однородного линей- ного уравнения. Доказанная теорема утверждает, что ФСР образует базис в пространстве решений однородного линейного уравнения. § 3. Неоднородное линейное уравнение 1 0 . Общее решение неоднородного уравнения Рассмотрим снова уравнение (1) ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ). − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y f x Пусть ( ) y x – некоторое его частное решение. Теорема 10 .Любое решение ( ) y x неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) представимо в виде суммы его частного решения ( ) y x и общего решения ( ) z x соответствующего однородного уравнения, т.е. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + ≡ + ∑ n i i i y x y x z x y x C y x , где 1 ( ), , ( ) n y x y x … есть ФСР, а 0 0 1 , , n C C … – произвольные посто- янные. Доказательство.Пусть ( ) y x – любое решение уравнения (1). Легко видеть (в силу линейности), что функция ( ) ( ) ( ) z x y x y x = − удовле- творяет однородному уравнению. Тогда 1 ( ) ( ) ( ) = − = ∑ n i i i y x y x C y x , что и доказывает утверждение теоремы. 2 0 . Функция Коши Если известна ФСР однородного уравнения, то можно постро- ить частное решение соответствующего неоднородного уравнения, Глава 3 84 удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Рассмотрим сле- дующую задачу Коши: ( ) 1) 0 ( ) 0, ( ) 0, ,...., ( ) 1 . n Ly a x b y y y ξ ξ ξ ξ − = < < < ⎧⎪ ⎨ ′ = = = ⎪⎩ Известно, что ее решение существует и непрерывно вместе с произ- водными зависит от параметра ξ. Обозначим ( , ) K x ξ – решение этой специальной задачи. Примеры 1) ( ) 0 1 y y y ξ ′ − = ⎧ ⎨ = ⎩ , ==> ( ) x y K x e ξ ξ − ≡ , = ; 2) ( ) 0 0, ( ) 1 y y y y ξ ξ ′′ + = ⎧ ⎨ ′ = = ⎩ , ==> ( ) sin( ) y K x x ξ ξ ≡ , = − Определение . Функция ( , ) K x ξ , являющаяся решением специ- альной задачи Коши ( 1) ( , ) 0, , ( , ) 0, ( , ) 0, , .... , ( , ) 1, ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − = < < < ⎧⎪ ⎨ ′ = = = ⎪⎩ x n x x L K x a x b K K K называется функцией Коши уравнения (1). Теорема 11 . Функция ( ) ( ) 0 ( ) ξ ξ ξ = , ∫ x x y x K x f d , где ( , ) K x ξ – функция Коши уравнения (1), является решением задачи Коши для неоднородного уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т.е. ( 1) 0 0 0 0 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) 0 [ , ] . n Ly f x x a b y x y x y x x a b − = ∈ ⎧ ⎨ ′ = = ... = = , ∈ ⎩ Доказательство. Мы должны убедиться в том, что функция ( ) ( ) 0 ( ) ξ ξ ξ = , ∫ x x y x K x f d удовлетворяет уравнению и указанным ну- левым начальным условиям. Непосредственно проверяется: Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 85 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − = − = × = , ⇒ = ′ ′ ′ × = , + , ⇒ = ′′ ′ ′′ ′′ × = , + , ⇒ = ∫ ∫ ∫ Начальные условия t n t x n x x x n x x x a x y K x f d y x a x y K x x f x K x f d y x a x y K x x f x K x f d y x 0 0 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) 1 0 0 ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − − − = − = × = , + , ⇒ = × = , + , ∫ ∫ x n n n n x x x x n n n x x x a x y K x x f x K x f d y x y K x x f x K x f d Умножая ( ) − n k a x на ( ) ( ) k y x и складывая полученные равен- ства, имеем 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ = = + , = ∫ x x x Ly f x L K x f d f x , т.е. функция ( ) ( ) 0 ( ) ξ ξ ξ = , ∫ x x y x K x f d удовлетворяет уравнению (1) и нулевым начальным условиям. Теорема доказана. Примеры 1) ( ) 0 ( ), ( ) ( ) (0) 0 ξ ξ ξ − ′ − = ⎧ ⇒ = ⎨ = ⎩ ∫ x a x y ay f x y x e f d y 2) 0 ( ), sin( ) ( ) (0) 0, (0) 0 ξ ξ ξ ′′ + = ⎧ ⇒ = − ⎨ ′ = = ⎩ ∫ x y y f x y x f d y y 3 0 . Метод вариации постоянных Теорема 12 . Пусть 1 ( ), ... , ( ) n y x y x – ФСР однородного урав- нения ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y Глава 3 86 Тогда функция 1 ( ) ( ) ( ) = = ∑ n i i i y x c x y x будет решением неодно- родного уравнения (1), если ( ) i c x удовлетворяют системе линейных уравнений ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 0, 0,1,2,..., 2 ( ) ( ) ( ) . = − = ⎧ ′ = = − ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ′ = ⎪⎩ ∑ ∑ n j i i i n n i i i c x y x j n c x y x f x (10) Доказательство. Система (10) однозначно разрешима относитель- но ( ) i c x ′ , так как определитель этой системы есть определитель Вронского ( ) 0 W x ≠ . Заметим, что вектор-функции ( ) { } ( ) ( ) { } 1 1 1 1 1 ( ) ( ), ... , ( ) , ... , ( ) , ... , ( ) ψ ψ − − = = n n n n n x y x y x t y x y x образуют ФСР для системы уравнений ( ) A x ψ ψ ′ = Нетрудно показать (сделайте это самостоятельно), что если ( ) i c x ′ удовлетворяют уравнениям (10), то функция 1 ( ) ( ) ( ) ψ = = ∑ n i i i z x c x x является решением неоднородной системы ( ) ( ) z A x z F x ′ = + , где 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − ⎝ ⎠ n n n A x a x a x a x a x … … … … … … … … … , { } ( ) 0, , 0, ( ) F x f x = … Но тогда первая координата вектора ( ) z x , т.е. функция 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ = = = = ∑ ∑ n n i i i i i i y x c x x c x y x есть решение (1). Линейные дифференцильные уравнения n-го порядка 87 Замечание 1 (физический смысл функции Коши).Рассмотрим Зада- чу Коши 0 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0 . n Ly x x y x y x y x δ ξ − = − ′ = = = … Ее решение 0 - 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) δ ξ δ ξ ξ ξ ξ = , − = , ∫ По определению x функции x y x K x d K x Таким образом, функция Коши – функция влияния на точку с координатой x источника, сосредоточенного в точке 0 ξ ("импульс- ная" функция). Замечание 2 Для уравнения с постоянными коэффициентами функция Коши может быть найдена по формуле (докажите само- стоятельно) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − − ′ ′ ′ = n n n n n n n y y y y y y K x W x y y y y x y x y x Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Пусть для функций ( ), ( ) u x v x определитель Вронского [ ] , 0 W u v ≡ при [ , ] x a b ∈ . Следует ли отсюда, что функции ( ) u x и ( ) v x линейно независимы на отрезке [ , ] a b . 2. Пусть для функций ( ), ( ) u x v x определитель Вронского [ ] , 0 W u v ≡ при [ , ] x a b ∈ . Следует ли отсюда, что функции ( ) u x и ( ) v x линейно зависимы на отрезке [ , ] a b . 3. Пусть функции 1 2 ( ), ( ) y x y x – два различных решения ли- нейного уравнения ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x ′′ ′ + + = и их определи- тель Вронского [ ] 1 2 , 0 W y y ≡ при [ , ] x a b ∈ . Следует ли от- Глава 3 88 сюда, что функции 1 ( ) y x и 2 ( ) y x линейно зависимы на отрезке [ , ] a b ? 4. Докажите, используя определение, что функции 2 ( 1) , 0 1 ( ) 0, 1 2 ⎧ − ≤ ≤ ⎪ = ⎨ ≤ ≤ ⎪⎩ x x u x x и 2 0, 0 1 ( ) ( 1) , 1 2 ≤ ≤ ⎧⎪ = ⎨ − ≤ ≤ ⎪⎩ x v x x x – линейно независимы на отрезке [0,2] , однако их определи- тель Вронского [ ] , 0 W u v ≡ на этом отрезке. 5. Докажите, что функции 1 ( ) 1 y x ≡ , 2 ( ) sin y x x = и 3 ( ) cos = y x x образуют ФСР линейного однородного уравнения 0 y y ′′′ ′ + = 6. Докажите, что функции 1 ( ) sh y x x = и 1 ( ) sh ( ) y x l x = − обра- зуют ФСР линейного однородного уравнения 0 y y ′′ − = на отрезке [0, ] l . 7. Докажите, что функции 1 ( ) sin y x x = , 2 ( ) 2cos y x x = и 3 ( ) cos 3sin y x x x = + не могут быть ФСР никакого линейного однородного уравнения. 8. Сформулируйте и докажите теорему о существовании ФСР линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. 9. Сформулируйте и докажите теорему о представлении общего решения однородного линейного дифференциального уравне- ния n-го порядка через ФСР. 10. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего ре- шения линейного неоднородного дифференциального уравне- ния n-го порядка. 11. Постройте функцию Коши и запишите с ее помощью ре шение начальной задачи: а) ( ), (0) 0 y y f x y ′ − = = ; б) ( ), (0) 0 y y f x y ′ + = = ; в) ( ), (0) 0, (0) 0 y y f x y y ′′ ′ − = = = ; г) ( ), (0) 0, (0) 0 y y f x y y ′′ ′ + = = = . |